TWIERDZENIE
COSINUSÓW
TWIERDZENIE
COSINUSÓW
W dowolnym trójkącie kwadrat dowolnego
boku równa się sumie kwadratów dwóch
pozostałych boków pomniejszonej o
podwojony iloczyn tych boków
i cosinusa kąta zawartego między nimi.
C
B
A
α
γ
β
a
c
b
Oznaczenia trójkąta w rozwiązywanych zadaniach są takie
same: naprzeciw wierzchołka A jest bok długości a; naprzeciw
wierzchołka B bok długości b; naprzeciw wierzchołka C jest bok
długości c.
Przykład 1.
Oblicz długość nieznanego boku w trójkącie ABC
jeżeli:
a)
lub - odpada
Długość nieznanego boku równa się
b)
lub - odpada
Długość nieznanego boku równa się
c)
lub - odpada
Długość nieznanego boku równa się
Przykład 2.
Wyznacz miary kątów trójkąta, wiedząc, że:
a=10cm, b=8cm, c=6cm.
Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami b i c.
Obliczamy miarę kąta zawartego między bokami a i c.
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.
Obliczamy miarę trzeciego kąta w trójkącie.
Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie wynoszą: 90°,
53°, 37°.
Przykład 3.
Wierzchołki trójkąta ABC mają współrzędne: A=(-
2,3) B=(1,0) C=(6,3). Wyznacz długości boków i
miary kątów wewnętrznych w trójkącie ABC.
A
B
C
c
b
a
Obliczamy długości boków trójkąta ABC,
wykorzystując wzór na długość odcinka.
Wykorzystując twierdzenie cosinusów wyznaczamy miary kątów
wewnętrznych w trójkącie.
Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.
Obliczamy miarę trzeciego kąta w trójkącie.
Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie
ABC
wynoszą: 45°, 104°, 31°.
Przykład 4.
Znajdź kąt między prostymi k i l o równaniach:
k: y=x
l: y=-x+4
Wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego obydwu prostych.
Tworzymy układ równań:
Wybieram dowolne dwa punkty – jeden należący do jednej
prostej, drugi należący do drugiej prostej.
Łącząc te punkty otrzymujemy trójkąt ABC, w którym kąt
wewnętrzny α jest jednocześnie kątem między prostymi k i l.
Obliczam długości boków trójkąta ABC.
Wykorzystując twierdzenie cosinusów wyznaczamy miarę kąta
przy wierzchołku A.
Odp: Kąt między prostymi ma miarę 90˚.