Instrumenty rynku kapitałowego OBLIGACJE

Najważniejsze rodzaje
obligacji.



Obligacje o stałym oprocentowaniu
(fixed interest bonds);



Obligacje o zmiennym oprocentowaniu
(floating rate notes);



Obligacje zamienne (convertibles)

Nabywca  obligacji  zamiennej  ma  prawo  do  jej
zamiany  na  akcje  przedsiębiorstwa,  które  ją
wyemitowało  (  na  ściśle  określonych  warunkach  –
np. przez podanie tzw. conversion ratio – proporcji
wymiany.

Najważniejsze rodzaje
obligacji cd.



Obligacje zerokuponowe



Obligacje indeksowane (index-linked
bonds)

Obligacje  te  zalicza  się  do  obligacji  o  zmiennym
oprocentowaniu.  Stopa  oprocentowania  obligacji
indeksowanych  zależy  od  pewnej  zmieniającej  się
wartości  np.  stopy  inflacji.  Obligacje  indeksowane
polegają  na  tym,  że  odsetki,  a  czasem  i  wartość
nominalna  wypłacana  po  upływie  terminu  wykupu
są

powiększane

(indeksowane)

procent

wynikający np. z wielkości inflacji.

Stopa dochodu w terminie do
wykupu
(yield to maturity – YTM)

Stopa dochodu w terminie do wykupu to
efektywna stopa zwrotu z tytułu posiadania
obligacji.

P =  [ Ct / ( 1 + YTM )

]

t = 1

gdzie:
P – wartość obligacji;
Ct – dochód z tytułu posiadania obligacji, uzyskany w
t-tym

okresie;

n – liczba lat (okresów) do terminu wykupu obligacji.

Stopa dochodu w terminie do
wykupu
(Yield to maturity – YTM) cd.

Ponieważ często rozwiązanie analityczne

równania wyceny ze względu na YTM nie

jest możliwe, stosuje się wzór przybliżony.

YTM = [ I + (FV – CV) / n] / [( FV + CV) / 2]

gdzie:
I – odsetki z tytułu posiadania obligacji
FV – wartość nominalna obligacji
CV – bieżąca wartość obligacji

Obligacja zerokuponowa – wzór
na wycenę

P = FV / ( 1 + YTM )

Oznaczenia jw.

Na podstawie powyższego wzoru można
określić stopę dochodu ww. terminie do
wykupu obligacji zerokuponowej.

YTM = (FV / P)

1/n

- 1

Obligacje o stałym
oprocentowaniu
– wzór na wycenę

Obligacja z n – okresowym (np. n – letnim)
terminem

wykupu,

stałym

oprocentowaniu, w przypadku której odsetki
płacone są po upływie każdego okresu.

P =  [ I / (1 + YTM)

] + [ FV / (1 + YTM)

]

t = 1

oznaczenia jw.

Obligacje o zmiennym
oprocentowaniu
– wzór na wycenę

Gdy oprocentowanie obligacji jest zmienne,

tzn. zmienia się wielkość wypłacanych

odsetek, do wyceny stosuje się następujący

wzór:

P =  [ I

/ ( 1 + YTM)

] + [ FV / ( 1 + YTM)

]

t = 1

gdzie:
I

– odsetki z tytułu posiadania obligacji, wypłacone w

okresie t

Zależności pomiędzy stopą zwrotu do
wykupu (YTM), bieżącą i nominalną
stopą zwrotu

Obligacja A: P = 100,

YTM = 10%;

Obligacja B:

P = 103,24

YTM = 9%;

Obligacja C:

P = 96,9

YTM = 11%.

Nominalna stopa zwrotu (NR) w przypadku wszystkich

trzech obligacji wynosi 10% ( jest to po prostu

oprocentowanie ), a więc bieżąca stopa zwrotu (CR) wynosi

odpowiednio:

Obligacja A:

10/100 = 10%;

Obligacja B:

10/103,24 = 9,69%;

Obligacja C:

10/96,9 = 10,32%.

Można więc przedstawić zależność, iż dla:

Obligacja A:

YTM = CR = NR;

Obligacja B:

YTM < CR < NR;

Obligacja C:

YTM > CR > NR.

Rynkowa stopa procentowa

Każda inwestycja może być traktowana jako bieżące wyrzeczenie dla

niepewnych przyszłych korzyści. Za to wyrzeczenie inwestor oczekuje nagrody

w postaci stopy zwrotu inaczej stopy procentowej (rate of return, interest rate)

z tej inwestycji. Stopa zwrotu jest ceną czasu i ryzyka.
Uważa się, że stopa zwrotu z inwestycji jest sumą czterech składników:

r =  +  + l + 

r – nominalna stopa procentowa
 - realna stopa procentowa
 - oczekiwana stopa inflacji
l – oczekiwana premia płynności (liquidity premium)
 - oczekiwana premia za ryzyko (risk premium)

Należy zauważyć, że w powyższym równaniu trzy pierwsze składniki

odzwierciedlają cenę czasu, a ostatni składnik odzwierciedla cenę ryzyka.

Rynkowa stopa procentowa
cd.

}
}
}
}

Czas do terminu
wykupu

r – nominalna stopa
procentowa

 - realna stopa procentowa

 - oczekiwana stopa

inflacji

l – oczekiwana premia
płynności

 - oczekiwana premia za

ryzyko

Rynkowa stopa procentowa
cd.



Realna  stopa  procentowa  jest  to  cena  równowagi  na  rynku  pieniądza,
innymi  słowy  cena  ,  przy  której  równoważy  się  podaż  pieniądza,
kreowana  przez  kredytodawców  i  popyt  na  pieniądz  kreowany  przez
pożyczkobiorców.  Zwiększony  popyt  wywołuje  wzrost  realnej  stopy
procentowej,  a zwiększona podaż jaj spadek.



Premia  płynności  wynika z faktu, że  na rynku dostępne są instrumenty
finansowe  o  różnych  długościach  terminu  do  wykupu.  Z  reguły
kredytodawcy  preferują  instrumentu  krótkoterminowe.  Wynika  to  z
faktu,  że  instrumenty  takie  są  bardziej  płynne.  Wobec  tego
kredytodawcy  akceptują  z  instrumentów  krótkoterminowych  niższą
stopę  zwrotu.  Z  drugiej  strony  kredytobiorcy,  preferują  instrumenty
długoterminowe.  Zaakceptują  zatem  wyższą  stopę  zwrotu  z
instrumentów  długoterminowych.  Wynika  z  tego,  że  premia  płynności
rośnie w miarę wzrostu długości okresu do terminu wykupu.



Premia za ryzyko wynika z oczywistego faktu, że inwestor chce
otrzymać nagrodę za ponoszone ryzyko.

Twierdzenia o wycenie
obligacji

Jeśli rośnie wartość obligacji, to spada stopa dochodu YTM i
odwrotnie, jeśli spada wartość obligacji, to rośnie stopa
dochodu YTM;

Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość premii lub
dyskonta zmniejsza się w miarę zbliżania się do terminu
wykupu;

Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość premii lub
dyskonta zmniejsza się w coraz większym tempie w miarę
zbliżania się do terminu wykupu;

Wzrost  wartości  obligacji  wywołany spadkiem  stopy dochodu  o
określoną  wartość  jest  wyższy  niż  spadek  wartości  obligacji
wywołany  wzrostem  stopy  dochodu  o  tę  samą  wartość.
Własność tę nazywamy efektem wypukłości;

Twierdzenia o wycenie
obligacji cd.

Procentowa  zmiana  wartości  obligacji  wywołana  zmianą  stopy
dochodu  jest  tym  mniejsza,  im  wyższe  jest  oprocentowanie
obligacji,  przy  założeniu  tego  samego  terminu  wykupu.  Ta
własność  nie  dotyczy  obligacji,  w  przypadku  których  pozostała
już  tylko  jedna  płatność  (a  więc  można  je  traktować  jako
obligacje

zerokuponowe)

oraz

obligacji

perpetualnych.

Własność tę można nazwać efektem odsetek;

Procentowa  zmiana  wartości  obligacji  wywołana  zmianą  stopy
dochodu  jest  tym  mniejsza,  im  krótszy  jest  okres  do  terminu
wykupu.  Są  jednak  wyjątki,  gdy  własność  ta  nie  zachodzi   (np.
obligacji  o  bardzo  długim  okresie  do  terminu  wykupu
sprzedawanych  z  dużym  dyskontem).  Własność  tę  można
nazwać efektem terminu wykupu.

Twierdzenie 1.
Jeśli rośnie wartość obligacji, to spada stopa dochodu
YTM i odwrotnie, jeśli spada wartość obligacji, to
rośnie stopa dochodu YTM

Przykład.  Obligacja  trzyletnia,  o  wartości  nominalnej  100,  o
oprocentowaniu  równym  NR  =  10%,  odsetki  płacone  co  roku.  Dla
różnych  wartości  stopy dochodu  YTM  otrzymujemy  różne wartości
obligacji.



Gdy YTM = 10% to:

P=10/(1,1)+10/(1,1)

+110/(1,1)

= 100

Gdy YTM = NR to wartość obligacji = wartości nominalnej;



Gdy YTM = 9% to: P=10/(1,09)+10/(1,09)

+110/(1,09)

= 102,53

Gdy YTM < NR to wartość obligacji > wartości nominalnej;



Gdy YTM = 11% to:

P=10/(1,11)+10/(1,11)

+110/(1,11)

97,56
Gdy YTM > NR to wartość obligacji < wartości nominalnej i jest to
tzw. obligacja z dyskontem. Przy tym różnica między wartością
nominalną a wartością rynkową jest tutaj tzw. wielkością dyskonta.

Twierdzenie 2.
Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość
premii lub dyskonta zmniejsza się w miarę
zbliżania się do terminu wykupu

Przykład. Dana jest obligacja czteroletnia, o wartości nominalnej 100, o

oprocentowaniu nominalnym NR=10%, w przypadku której odsetki

płacone są co roku. Zakładamy, że YTM do terminu wykupu nie zmieni

się. Zanalizujmy trzy różne przypadki wartości YTM: 8%, 10%, 12%. W

poniższej tablicy przedstawione są wartości obligacji w poszczególnych

latach (na rok przed kolejnymi płatnościami odsetek.

Tablica ta ilustruje własność 2, czyli zmniejszanie się wielkości premii i

dyskonta w miarę zbliżania się do terminu wykupu. Sugeruje to

dodatkową interpretację własności 2. Jeśli dane są dwie obligacje o tym

samym oprocentowaniu, tej samej wartości nominalnej i tej samej stopie

dochodu, to obligacja z krótszym terminem wykupu charakteryzuje się

mniejszym dyskontem (lub odpowiednio mniejszą premią)

Liczba lat do

wykupu

Wartość obligacji

YTM = 8%

YTM = 10%

YTM = 12%

4
3
2
1

106,62
105,15
103,57
101,85

100
100
100
100

93,93
95,20
96,62
98,21

Twierdzenie 3.
Jeśli nie zmienia się stopa dochodu YTM, wielkość
premii lub dyskonta zmniejsza się w coraz większym
tempie w miarę zbliżania się do terminu wykupu

Przykład. Stanowi on kontynuację przykładu poprzedniego

Z powyższej tablicy widać, że wielkość dyskonta i premii zmniejsza się

w coraz większym tempie w miarę zbliżania się do terminu wykupu co

ilustruje własność 3.

Liczba lat do

terminu

wykupu

Wielkość

premii

Procent

spadku premii

Wielkość

dyskonta

Procent

spadku

dyskonta

4
3
2
1

6,62
5,15
3,57
1,85

22,21
30,68
48,18

6,07
4,80
3,38
1,79

20,92
29,58
47,04

Twierdzenie 4.
Wzrost wartości obligacji wywołany spadkiem
stopy dochodu o określoną wartość jest wyższy niż
spadek wartości obligacji wywołany wzrostem
stopy dochodu o tę samą wartość. Własność tę
nazywamy efektem wypukłości

Przykład.  Obligacja  trzyletnia,  o  wartości  nominalnej  100,  o
oprocentowaniu  równym  NR  =  10%,  odsetki  płacone  co  roku.  Dla
różnych  wartości  stopy  dochodu  YTM  otrzymujemy  różne  wartości
obligacji.

Gdy YTM = 10% to:

P=10/(1,1)+10/(1,1)2+110/(1,1)3 = 100

Gdy YTM = 9% to:

P=10/(1,09)+10/(1,09)2+110/(1,09)3 = 102,53

Gdy YTM = 11% to:

P=10/(1,11)+10/(1,11)2+110/(1,11)3 = 97,56

Widać, że spadek stopy dochodu o 1% (z 10% do 9%) wywołuje wzrost
wartości o 2,53 (ze 100 do 102,53). Z kolei wzrost stopy procentowej o
1% (z 10% do 11%) wywołuje spadek wartości o 2,44 (ze 100 do 97,56),
a więc mniej niż wzrost wartości.

Twierdzenie 5.
Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy
dochodu jest tym mniejsza, im wyższe jest oprocentowanie
obligacji, przy założeniu tego samego terminu wykupu. Ta
własność nie dotyczy obligacji, w przypadku których pozostała już
tylko jedna płatność (a więc można je traktować jako obligacje
zerokuponowe) oraz obligacji perpetualnych. Własność tę można
nazwać efektem odsetek

Przykład. Dane są trzy obligacje A,B,C, przy czym:



obligacja A ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 10%;



obligacja B ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 8%;



obligacja C ma termin wykupu 2 lata oprocentowanie NR = 10%.

Obliczmy wartość tych obligacji dla YTM = 7% i dla YTM = 6% oraz
procentowy wzrost wartości wynikający ze spadku stopy dochodu.

Efekt odsetek ilustruje porównanie obligacji A i B, gdzie 2,66 > 2,61.

Obligacja

Wartość obligacji

Procent wzrostu

wartości

YTM = 7%

YTM = 6%

A
B
C

107,87
102,62
105,42

110,69
105,35
107,33

2,61
2,66
1,81

Twierdzenie 6.
Procentowa zmiana wartości obligacji wywołana zmianą stopy
dochodu jest tym mniejsza, im krótszy jest okres do terminu
wykupu. Są jednak wyjątki, gdy własność ta nie zachodzi (np.
obligacji o bardzo długim okresie do terminu wykupu
sprzedawanych z dużym dyskontem). Własność tę można nazwać
efektem terminu wykupu

Przykład. Dane są trzy obligacje A,B,C, przy czym:



obligacja A ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 10%;



obligacja B ma termin wykupu 3 lata oprocentowanie NR = 8%;



obligacja C ma termin wykupu 2 lata oprocentowanie NR = 10%.

Obliczmy wartość tych obligacji dla YTM = 7% i dla YTM = 6% oraz
procentowy wzrost wartości wynikający ze spadku stopy dochodu.

Efekt terminu do wykupu ilustruje porównanie obligacji A i C gdzie 2,61 >
1,81.

Obligacja

Wartość obligacji

Procent wzrostu

wartości

YTM = 7%

YTM = 6%

A
B
C

107,87
102,62
105,42

110,69
105,35
107,33

2,61
2,66
1,81

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 5

Przypadek 1. Stopy zwrotu po roku wzrastają z 10% do 11%. Wtedy

przychody z tytułu obligacji wynoszą odpowiednio:



Obligacja jednoroczna: 107 x 37 x 1,1 = 4394,49



Obligacja trzyletnia : 8 x 49 x 1,11 + 8 x 49 + (108/1,11) x 49 =

5594,69

Wobec tego łączny przychód wynosi:

4394,49 + 5594,69 = 9989,18

Metoda uodparniania portfela może być uogólniona na przypadek wielu

obligacji. Załóżmy, że inwestor może tworzyć portfel złożony „n” obligacji, o

udziałach w

, w

, ………w

i o duration D

, D

, ……D

. Załóżmy również, że czas

trwania płatności, której musi dokonać inwestor w przyszłości wynosi D

. Metoda

uodparniania sprowadza się wówczas do rozwiązania układu dwóch równań.



= 1

i =1



= D

i =1

Układ ten ma z reguły wiele rozwiązań.

Krzywa zależności stopy dochodu do
wykupu YTM, a czasem do terminu
wykupu cd.

Kształt krzywych próbują wyjaśnić trzy teorie:

Teoria  oczekiwań  –  która  wychodzi  z  założenia,  iż  krzywa
odzwierciedla  przewidywania  rynku  co  do  przyszłych  wartości  stopy
procentowej:  aktualną  (kasową)  i  przyszłą  (terminową).  Załóżmy,  iż
np. obligacja jednoroczna ma 6% stopę procentową, a dwuletnia 7%
stopę  procentową.  Według  teorii  oczekiwań  stopa  zwrotu  obligacji
dwuletniej  odzwierciedla  aktualna  stopę  procentową  (6%)  i  przyszłą
stopę  procentową  za  rok.  Wynika  z  tego,  że  stopy  zwrotu  dwóch
inwestycji  dwuletnich,  z  których  jedna  polega  na  zakupie  obligacji
dwuletniej,  a  druga  na  dwukrotnym  zakupie obligacji  jednorocznych,
powinny być równe. Tak więc zgodnie z podanymi danymi:

1,07

= 1.06 (1 + r

) gdzie r

to terminowa (roczna) stopa

procentowa za rok

Wynika z tego, że

= 1,07

/ 1,06 – 1 = 0.08

Powyższy sposób pozwala na wyznaczenie wszystkich
terminowych stóp procentowych i wyznaczenie krzywych
rentowności

Krzywa zależności stopy dochodu do
wykupu YTM, a czasem do terminu
wykupu cd.

Teoria preferencji płynności – twierdzi, iż inwestorzy preferują
obligacje krótkoterminowe dla których występuje mniejsze
ryzyko.

Inwestorzy

wymagają

instrumentów

długoterminowych wyższej rentowności.

Teoria  segmentacji  rynku  –  w  teorii  tej  twierdzi  się,  iż  stopy
zwrotu  obligacji  o  różnych  terminach  wykupu  są  efektem
podaży  i  popytu  na  te  instrumenty.  Twierdzi  się  ponadto,  iż
występuje segmentacja inwestorów tzn. ograniczanie się tylko
do  pewnych  rodzajów  obligacji.  W  wyniku  tego  dla  różnych
typów obligacji występują różne krzywe rentowności.

Kasowa stopa dochodu

Przykład. Dane są wartości stóp dochodu w okresie do wykupu czterech
obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu, o wartości nominalnej 100, w
przypadku których odsetki płacone są co roku, sprzedawane po cenie równej
wartości nominalnej (a zatem YTM = oprocentowaniu), o terminach wykupu 1,
2, 3, 4 lata. Stopy te wynoszą odpowiednio:
r

= 8,5%, r

= 9%, r

= 9,4%, r

= 10%.

Na  tej  podstawie  oblicza  się  stopy  dochodu  (YTM),  jakie  powinny  mieć
obligacje skarbowe zerokuponowe emitowane na 1, 2, 3, 4 lata. Oczywiście w
przypadku obligacji jednorocznej stopa ta wynosi 8,5%. Przestawiona powyżej
obligacja  skarbowa  jednoroczna  jest  bowiem  równoważna  obligacji
zerokuponowej, a zatem obligacje te powinny mięć tę samą stopę zwrotu.
Weźmy  teraz  pod  uwagę  obligację  dwuletnią.  Można  ją  traktować  jako
obligację dającą dwie płatności: 9 (odsetki) po pierwszym roku i 109 (odsetki +
wykup)  po  drugim  roku.  Jeśli  przyjmiemy,  że  YTM  dla  pierwszej  płatności
powinna  być  równa  YTM  jednorocznej  obligacji  zerokuponowej,  a  YTM  dla
drugiej płatności powinna być równa YTM dwuletniej obligacji zerokuponowej,
to otrzymujemy:
100 = 9/(1 + 0,085) + 109/(1+ r

)

gdzie r

– kasowa stopa dochodu dla obligacji dwuletniej.

Wynika z tego, że r

= 9,0225%

Kasowa stopa dochodu cd.

Podobnie dla obligacji trzyletniej otrzymujemy:

100 = 9,4/(1 + 0,085) + 9,4/(1 + 0,0225)

+ 109,4/(1 + r

)

Wynika z tego, że r

= 9,4549% W podobny sposób otrzymujemy

dla obligacji czteroletniej r

= 10,1421%.

Do obliczania kasowych stóp dochodu na podstawie obligacji o stały
oprocentowaniu sprzedawanych po cenie równej wartości
nominalnej stosuje się wzór rekurencyjny.

k-1

={ (FV + I) / [ FV -



( I / (1 + r

)

) ] }

1/k

– 1

t = 1

gdzie: I – wielkość odsetek, FV – wartość nominalna obligacji, r

–

kasowa stopa dochodu obligacji.

Terminowe stopy dochodu

Kasowe  stopy  dochodu  można  wykorzystać  do  skonstruowania
terminowych  stóp  dochodu.  Otrzymuje  się  w  ten  sposób  krzywą
terminowej  stopy  dochodu.  Wykorzystuje  się  tu  podobną
argumentację  jak  w  teorii  oczekiwań.  Jedyna  różnica  jest  taka,  że
znane  są  wszystkie  kasowe  stopy  dochodu,  a  na  ich  podstawie
wyznacza  się  terminowe  stopy  dochodu.  Oznacza  to,  że
zainwestowanie  w  obligację  o  terminie  wykupu    l    lat,  a  po  jej
wykupie  w  obligację  o  terminie  wykupu  m  powinno  przynieść  taki
sam dochód, jak zainwestowanie w obligację o terminie wykupu l +
m lat. Wynika z tego, że:

(1 + r

s,l + m

)

l + m

= (1 + r

)

(1 + r

l,m

)

m ,

gdzie:

l,m

– terminowa stopa dochodu dla obligacji m-letniej za l lat.

W rezultacie otrzymujemy wzór na terminową stopę dochodu:

l,m

= [(1 + r

s,l + m

)

l + m

/ (1 + r

)

]

1/m

- 1

Terminowe stopy dochodu cd.

Przykład. Dane są kasowe stopy dochodu dla obligacji z terminem
wykupu 1, 2, 3, 4 lata (obliczone w poprzednim przykładzie
wartości zaokrąglone):

= 8,5%,

= 9,02%,

= 9,45%, r

= 10,14%. Obliczmy wszystkie

terminowe stopy dochodu W przypadku terminowej stopy dochodu
dla obligacji dwuletniej za 1 rok otrzymujemy:

1,2

= [ (1 + 0,0945)

1+2

/ (1 + 0,085) ]

-1 = 9,9281%

W ten sam sposób otrzymujemy pozostałe terminowe stopy
dochodu, które wynoszą:

1,1

= 9,5425%, r

1,3

= 10,6921%,

2,1

= 10,3151%,

2,2

11,2715%,

3,1

= 12,2362%.

Dekompozycja obligacji 1

Dekompozycja  obligacji  polega  na  oddzielnym  obrocie
odsetkami (kuponami) płaconymi w różnych okresach. Oznacza
to,  że  obligacja  jest  dekomponowana  na  płatności  uzyskiwane
w  poszczególnych  okresach  i  te  płatności  traktowane  są  jako
odrębne obligacje. W języku finansowym nazywa się to coupon
stripping  lub  strip  (  od  skrótu  separate  trading  of  registered
interest  and  principal).  W  gruncie  rzeczy  zatem  obligacja
traktowana jest jako zbiór (portfel) obligacji zerokuponowych o
różnych  terminach  wykupu.  W  technice  tej  stosowana  jest
podobna idea jak przy określaniu kasowej stopy zwrotu.

Dekompozycja obligacji

Przykład. Załóżmy, że stopy dochodu obligacji z terminami wykupu 1, 2,
3 lata wynoszą odpowiednio 8%, 8,4%, 9%. Obligacje te sprzedawane są
po cenie równej wartości nominalnej wynoszącej 100, a odsetki płacone
są raz w roku. Dokonamy teraz dekompozycji tych obligacji jako obligacji
zerokuponowych.

100

8,4 108,

7,7778

8,4

108,
4

92,222
2

100

109

84,0099

7,6568

8,333

109

Rozpatrzmy  tera  obligację  dwuletnią.  Jej  cena  wynosi  100.  Po
rozdzieleniu  jej  na  dwie  części  otrzymujemy  roczną  obligację
zerokuponową  o  wartości  nominalnej  8,4  oraz  dwuletnią  obligację
zerokuponową  o  wartości  nominalnej  108,4.  W  tym  przypadku  roczna
obligacja zerokuponowa powinna przynieść stopę dochodu równą 8%, a
zatem jej cena wynosi:

P = 8,4/1,08 = 7,7778

Wynika  z  tego,  że  wartość  obligacji  zerokuponowej  (druga  część
zdekomponowanej  obligacji)  wynosi  100  –  7,7778  =  92,2222.  Stopa
dochodu  w  okresie  do  wykupu  tej  obligacji  jest  zatem  równa  (na
podstawie wzoru na YTM dla obligacji zerokuponowej YTM = (FV / P)

1/n

–

1):

YTM = (108,4/92,2222)

1/2

-1 = 8,4169%

Dekompozycja obligacji

Rozpatrzmy teraz obligację trzyletnią. Jej cena wynosi 100. Po rozdzieleniu

jej na trzy części otrzymujemy roczną obligację zerokuponową o wartości

nominalnej 9, dwuletnią obligację zerokuponową o wartości nominalnej 9

oraz trzyletnią obligację zerokuponową o wartości nominalnej 109. Roczna

obligacja zerokuponowa powinna przynieść stopę dochodu 8%, a zatem jej

cena wynosi:
P = 9/1,08 = 8,3333.
Z kolei dwuletnia obligacja zerokuponowa powinna przynieść 8,4169% (na

podstawie wcześniejszych wyliczeń), zatem jej cena winna wynosić:

P = 9/(1,084169)

= 7,6568

Wynika z tego, że wartość trzyletniej obligacji zerokuponowej (trzecia

część) wynosi 100 – 8,3333 – 7,6568 = 84,0099. Stopa dochodu w okresie

do wykupu tej obligacji jest równa:
YTM = (109/84,0099)

1/3

– 1 = 9,0683%

efekcie

otrzymaliśmy

następujące

stopy

dochodu

obligacji

zerokuponowych: 8%, 8,4169%, 9,0683%. Oznacza to, że krzywa stopy

dochodu dla obligacji zerokuponowych leży powyżej krzywej stopy dochodu

dla obligacji z odsetkami (odpowiednio 8%, 8,4% i 9%). Prawidłowość ta

zachodzi zawsze wtedy, gdy krzywa stopy dochodu obligacji z odsetkami

jest rosnąca. Wówczas opłaca się dekompozycja obligacji z odsetkami na

obligacje zerokuponowe.

Ryzyko reinwestowania odsetek

Przykład.  Dana  jest  obligacja  z  czteroletnim  terminem  wykupu,  o
wartości  nominalnej  100,  oprocentowaniu  NR  =  10%  i  cenie  106,62,  w
przypadku  której  odsetki  płacone  są  co  roku.  Wynika  z  tego,  że  YTM  =
8%. Przeanalizujemy teraz trzy różne scenariusze kształtowania się stopy
reinwestycji odsetek w okresie posiadania obligacji.

Scenariusz A. Stopa reinwestycji odsetek pozostaje bez zmian w

całym okresie i wynosi 8%. Wtedy całkowity dochód z tytułu posiadania
obligacji (wliczając w to reinwestycję odsetek) wynosi:

= 10(1,08)

+ 10(1,08)

+ 10 x 1,08 + 110 = 145,08

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:

(FV

/ P)

1/4

-1 = 8%

Scenariusz B. Stopa reinwestycji po pierwszym roku spada do 7%, a

następnie pozostaje bez zmian. Wtedy całkowity dochód z tytułu
posiadania obligacji wynosi:

= 10(1,07)

+ 10(1,07)

+ 10 x 1,07 + 110 = 144,40

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:

(FV

/ P)

1/4

-1 = 7,88%

Scenariusz B. Stopa reinwestycji po pierwszym roku wzrasta do 9%, a
następnie pozostaje bez zmian. Wtedy całkowity dochód z tytułu posiadania
obligacji wynosi:
FV

= 10(1,09)

+ 10(1,09)

+ 10 x 1,09 + 110 = 145,73

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:
(FV

/ P)

1/4

-1 = 8,13%

Jak  widać,  zrealizowana  stopa  dochodu  jest  równa  YTM,  gdy  odsetki  są
reinwestowane  po  stopie  równej  YTM.  Gdy  stopa  reinwestycji  jest  niższa,
wtedy  zrealizowana stopa dochodu jest niższa niż YTM i jest to negatywny
efekt ryzyka reinwestowania. Gdy zaś stopa reinwestycji jest wyższa, wtedy
zrealizowana  stopa  dochodu  jest  wyższa  niż  YTM  i  jest  to  pozytywny  efekt
ryzyka reinwestowania. Wynika z tego, że efekty ryzyka reinwestowania są
odwrotne do efektów ryzyka zmiany ceny.
Na  ryzyko  reinwestowania  wpływ  mają:  termin  wykupu  i  oprocentowanie
obligacji. Im dłuższy okres do terminu wykupu (przy stałym oprocentowaniu
i  stałej  stopie  dochodu),  tym  większe  ryzyko  reinwestowania.  Z  kolei  im
wyższe  oprocentowanie  obligacji  (przy  stałej  długości  okresu  do  terminiu
wykupu i stałej stopie dochodu), tym większe ryzyko reinwestowania.

Ryzyko reinwestycji nie występuje w przypadku obligacji zerokuponowych.

Ryzyko reinwestowania odsetek cd.

Łączny efekt działania ryzyka zmiany
ceny i ryzyka reinwestowania

Przykład.  Dana  jest  obligacja  z  czteroletnim  terminem  wykupu,  o
wartości  nominalnej  100,  oprocentowaniu  NR  =  10%  i  cenie  106,62,  w
przypadku  której  odsetki  płacone  są  co  roku.  Wynika  z  tego,  że  YTM  =
8%.  Inwestor zamierza sprzedać obligację rok przed terminem wykupu.
Przeanalizujmy  trzy  scenariusze  kształtowania  się  stóp  procentowych  w
okresie posiadania obligacji.

Scenariusz A. Stopa procentowa pozostaje bez zmian w całym

okresie i wynosi 8%. W momencie sprzedaży obligacji na rok przed
terminem wykupu (tuż po płatności odsetek) jej wartość wynosi zatem:

= 110 / 1,08 = 101,85

Z kolei całkowity dochód z tytułu reinwestowania odsetek wynosi:

= 10(1,08)

+ 10 x 1,08 + 10 = 32,46

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:

[(FV

+ P

) / P]

1/3

– 1 = 8%

Łączny efekt działania ryzyka zmiany
ceny i ryzyka reinwestowania cd.

Scenariusz B. Stopa procentowa po pierwszym roku spada do 7%, a
następnie pozostaje bez zmian. W momencie sprzedaży obligacji na rok
przed terminem wykupu (tuż po płatności odsetek) jej wartość wynosi zatem:
P

= 110 / 1,07 = 102,80

Z kolei całkowity dochód z tytułu reinwestowania odsetek wynosi:
FV

= 10(1,07)

+ 10 x 1,07 + 10 = 32,15

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:
[(FV

+ P

) / P]

1/3

– 1 = 8,17%

Scenariusz C. Stopa procentowa po pierwszym roku wzrasta do 9%, a
następnie pozostaje bez zmian. W momencie sprzedaży obligacji na rok
przed terminem wykupu (tuż po płatności odsetek) jej wartość wynosi zatem:
P

= 110 / 1,09 = 100,92

Z kolei całkowity dochód z tytułu reinwestowania odsetek wynosi:
FV

= 10(1,09)

+ 10 x 1,09 + 10 = 32,78

Wynika z tego, że zrealizowana stopa dochodu wynosi:
[(FV

+ P

) / P]

1/3

– 1 = 7,84%

Zrealizowana stopa dochodu (RCY –
realized compound yield)

Zrealizowana  stopa  dochodu  (RCY)  uwzględnia  zarówno  reinwestycję
odsetek,  jak  i  możliwość  sprzedaży  obligacji  przed  terminem  wykupu.
Ogólny  wzór  na  zrealizowaną  stopę  dochodu  obligacji  o  stałym
oprocentowaniu w ciągu n  lat jest następujący:

RCY = { [ I (1 + r

)(1 + r

) …(1 + r

) + I (1 + r

)(1 + r

) …(1 + r

) +

+ I(1 + r

) + I + P

] / P }

1/n

– 1

gdzie: RCY – zrealizowana stopa zwrotu; I – wielkość odsetek; P

– cena

po jakiej zostanie sprzedana obligacja po n latach; r

– stopa reinwestycji

w t-tym roku posiadania obligacji.

Zrealizowana stopa dochodu (RCY –
realized compound yield) cd.

Przykład.  Dana  jest  obligacja  z  czteroletnim  terminem  wykupu,  o
wartości  nominalnej  100,  oprocentowaniu  NR  =  10%  i  cenie  106,62,  w
przypadku której odsetki płacone są co roku. Wynika z tego, że YTM = 8%.
  Inwestor  B  przetrzymuje  obligację  do  terminu  wykupu,  a  inwestor  A
sprzedaje ją po trzech latach. Stopa dochodu YTM po roku spada do 7%, a
po dwóch latach wzrasta do 7,5%. Obliczmy zrealizowaną stopę dochodu
obu inwestorów stosując wzór ogólny na RCY:
Cena, po jakiej obligacja zostanie sprzedana po trzecim roku, wynosi:
P

= 110/1,075 = 102,33

Zrealizowana stopa dochodu inwestora A wynosi:
RCY = [(10(1,07)(1,075) + 10(1,075) + 10 +102,33)/106,62]

1/3

-1 = 8,07%

Zrealizowana stopa dochodu inwestora B wynosi:
RCY = [(10(1,07)(1,075)

+ 10(1,075)

+ 10(1,075) + 110)/106,62]

1/4

-1 =

7,93%

Jak widać, inwestor A skorzystał na sprzedaży obligacji z premią przed
terminem wykupu.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 1

Pojęcie  czasu  trwania  wykorzystuje  się  do  analizowania  ryzyka
związanego ze zmianami stóp procentowych (a więc ryzyka zmiany ceny
i ryzyka  reinwestowania).
Czas  trwania  obligacji    duration  zapisany  jest  poniższym
wzorem:

D = {

 [

/ (1 + YTM)

] } / P

t=1

gdzie: D = Średni termin do wykupu, P = wartość obligacji wyznaczona
ze wzoru na cenę:

P =



/ (1 + YTM)

t=1

– wpływ z tytułu posiadania obligacji w t-tym roku, n – liczba lat do

terminu wykupu

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 2

Z powyższego wzoru wynika, że czas trwania można interpretować jako

średni, ważony czas do terminu wykupu, przy czym wagami są wartości

bieżące dochodów z tytułu posiadania obligacji.
Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej 100, której

odsetki wynoszące 10 (NR = 10%) płacone są raz do roku. Stopa dyskonta,

równa YTM, wynosi 7%. Wartość tej obligacji wynosi zatem:
P = 10/(1,07) + 10/(1,07)

+ 110/(1,07)

= 107,87

Wobec tego czas trwania obligacji wynosi:
D = [ 1 x 10/(1,07) + 2 x 10/(1,07)

+ 3 x 110/(1,07)

] / 107,87 = 2,75

Wobec tego czas trwania obligacji wynosi 2,75 roku

Średni termin do wykupu można także wyliczyć dla obligacji w których odsetki

wypłacane są częściej niż raz w roku. Stosuje się wtedy poniższy wzór:

D = {

 [

/ (1 + YTM/m)

] / P } /m

t=1

Należy jednak pamiętać, iż stopa dochodu dotyczy okresu wypłacania

odsetek.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 3

Przykład.  Dana  jest  obligacja  trzyletnia,  o  wartości  nominalnej  100,
której odsetki wynoszące 10 (NR = 10%) płacone są co pół roku. Stopa
dyskonta,  równa  YTM,  wynosi  7%  (czyli  stopa  półroczna  wynosi  3,5%).
Wartość tej obligacji wynosi  P=107,99.

D = { [ 1 x 5/(1,035) + 2 x 5/(1,035)

+ 3 x 5/(1,035)

+ 4 x 5/

(1,035)

+ 5 x 5/(1,035)

+ 6 x 105/(1,035)

] / 107,99 } / 2 = 2,68

Porównując  wyniki  uzyskane  w  dwóch  poprzednich  przykładach  można
wnioskować,  że  zwiększenie  częstotliwości  płacenia  odsetek  zmniejsza
średni  termin  wykupu  obligacji  (przy  stałych  pozostałych  cechach
obligacji).

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 4

Wyznaczanie duration dla obligacji zerokuponowych.

Przykład.  Dana  jest  obligacja  zerokuponowa  z  trzyletnim  okresem
wykupu;  o  wartości  nominalnej  100  i  YTM  =  6%.  Wynika  z  tego,  że
wartość  tej  obligacji  wynosi    P  =  83,96.  Po  podstawieniu  danych  do
wzoru na czas trwania obligacji otrzymujemy:

D = [ 3 x 100/(1,06)

] / 83,96 = 3

Przykład  ten  ilustruje  twierdzenia,  że  w  przypadku  obligacji
zerokuponowych  średni  termin  wykupu  jest  równy  długości  okresu  do
terminu  wykupu.  Z  kolei  w  odniesieniu  do  obligacji  z  odsetkami  średni
termin wykupu jest mniejszy niż długość okresu do terminu wykupu.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 5

Wyznaczanie

duration

gdy

wyznacza

się

pomiędzy

płatnościami odsetek.
Przykład. Dana jest obligacja z 2,5-rocznym terminem wykupu, o wartości
nominalnej 100, oprocentowaniu 10%, a odsetki płacone są co roku. Stopa
dochodu w okresie do wykupu YTM = 7%. Wartość tej obligacji wynosi:
P = 10/(1,07)

0,5

+ 10/(1,07)

1,5

+ 110/(1,07)

2,5

= 111,58

Po podstawieniu do wzoru na czas trwania obligacji otrzymujemy:
D = [0,5 x 10/(1,07)

0,5

+ 1,5 x 10/(1,07)

1,5

+ 2,5 x 110/(1,07)

2,5

]/111,58 =

2,25
Średni  termin  wykupu  obligacji  wynosi  2,25  roku.  Jest  to  dokładnie  o  pół
roku mniej niż dla obligacji o tych samych charakterystykach z wyjątkiem
terminu  wykupu,  który  wynosił  3  lata  (obligacja  ta  miała  czas  trwania
równy 2,75 roku – obliczony w jednym z poprzednich przykładów).
Ilustruje  to  własność  duration,  który  w  okresie  między  płatnościami
odsetek zmienia się w sposób liniowy, zmniejszając się dokładnie o tyle, ile
czasu  upłynęło  od  ostatniej  płatności  odsetek.  W  momencie  płatności
odsetek  następuje  skokowy  wzrost  wartości  duration.  Oczywiście  zakłada
się stałą wartość YTM.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 6

Liniowa zmiana wartości duration pomiędzy płatnościami odsetek.
Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu, o wartości
nominalnej 100, oprocentowaniu 10%, a odsetki płacone są raz w roku. Stopa
dochodu w okresie do wykupu YTM = 8%. Na poniższej tablicy przedstawione
są wartości oraz średnie terminy wykupu tej obligacji.

Okres do terminu

wykupu

Wartość

Średni termin wykupu

3 lata (po płatności)

2,5 roku

2 lata (przed

płatnością)

2 lata (po płatności)

1,5 roku

1 rok (przed płatnością)

1 rok (po płatności)

0,5 roku

105,15
109,28
113,57
103,57
107,63
111,85
101,85
105,85

2,74
2,24
1,74
1,91
1,41
0,91

0,5

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 7

Interpretacja graficzna czasu trwania obligacji.
Ze  wzoru  na  duration  wynika,  że  średni  termin  wykupu  może  być
interpretowany  jako  średni  ważony  czas  do  terminu  wykupu,  przy  czym
wagami  są  wartości  bieżące  dochodów  z  tytułu  posiadania  obligacji.  Na
poniższym  rysunku  duration  jest  to  środek  ciężkości  wartości  bieżącej
dochodów  z  tytułu  posiadania  obligacji.  Po  upływie  czasu  równego  duration
„wykupiona  jest  połowa  obligacji”,  jeśli  uwzględnimy  oprócz  wartości
nominalnej  również  odsetki,  a  płatności  ważymy  z  uwzględnieniem  zmiennej
wartości pieniądza w czasie.

Dla obligacji zerokuponowej środek ciężkości wypada w momencie płatności.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 8

Czas trwania obligacji jako miara ryzyka zmiany ceny.

Duration jest to miara bardzo przydatna dla określania ryzyka zmiany ceny. W
takim  przypadku,  im  niższe  oprocentowanie  (przy  tym  samym  ustalonym
terminie  wykupu),  tym  większe  ryzyko  zmiany  ceny.  Podobnie,  im  dłuższy
okres  do  terminu  wykupu  (przy  tym  samym  oprocentowaniu),  tym  większe
ryzyko zmiany ceny. Średni termin do wykupu jest miarą ryzyka zmiany ceny,
która pozwala na porównanie obligacji o różnych terminach wykupu i różnym
oprocentowaniu.
Duration pozwala na określenie, jak zmieni się wartość obligacji, gdy zmianie
ulegnie stopa dochodu do wykupu (YTM). Stosuje się tu wzór przybliżony:

–P

)/ P

= -D [(1 + YTM

) - (1 + YTM

) ] / (1 + YTM

)

gdzie: P

– wartość obligacji po zmianie stopy dochodu; P

- wartość obligacji

przed zmianą stopy dochodu; YTM

– stopa dochodu obligacji po zmianie;

YTM

– stopa dochodu obligacji przed zmianą.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 9

Czas trwania obligacji jako miara ryzyka zmiany ceny.

Lewa strona powyższego wzoru jest to procentowa zmiana wartości

obligacji. Prawa strona tego wzoru jest to iloczyn (wzięty ze znakiem
minus) średniego terminu wykupu i procentowej zmiany wielkości równej
1 plus stopa dochodu obligacji. W tym sensie duration jest miarą
elastyczności ceny obligacji względem stopy YTM.

Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej

–P

)/ P

= -2,75[(1,06 – 1,05)/1,05] = - 0,0262

Wynika z tego, że cena spadnie o około 2,62%

Średni termin wykupu jest miarą ryzyka zmiany ceny gdyż wskazuje

jak  zareaguje  wartość  obligacji  na  zmianę  stopy  dochodu  (YTM).
Sugeruje to jeszcze jedną interpretację tego pojęcia: obligacja  n-letnia z
odsetkami,  mająca  czas  trwania  równy  D  (oczywiście  D<n)  jest
równoważna z obligacją zerokuponową, której termin wykupu wynosi D.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 10

Czas trwania obligacji jako przybliżona miara ryzyka zmiany
ceny.

Przykład. Dana jest obligacja trzyletnia, o wartości nominalnej

100, oprocentowaniu NR = 10%, przy czym odsetki płacone są co roku.
Jej wartość wynosi 113,62. YTM wynosi 5%, a duration = 2,75 roku.
Załóżmy, że zmienia się stopa dochodu obligacji – wynosi obecnie 6%.
Spowoduje to zmianę wartości obligacji, która wyniesie 110,69. Wynika z
tego, że spadek wartości obligacji wynosi:

(110,69 – 113,62) / 113,62 = - 0,0258

Widać zatem, że wartość spadnie dokładnie o 2,58%, podczas gdy w

poprzednim przykładzie wzór przybliżony z zastosowaniem duration
wskazał na spadek o 2,62%.

Czas trwania obligacji (średni termin
wykupu obligacji, czas trwania
Macaulay’a, duration) 11

Czas trwania obligacji jako przybliżona miara ryzyka zmiany ceny.
Duration    jest  tylko  oszacowaniem  rzeczywistej  zmiany  wartości.  Jest  to
przy  tym  ocena  „konserwatywna”,  gdyż  szacuje  z  niedomiarem  wzrost
wartości,  gdy  YTM  spada  i  szacuje  z  nadmiarem  spadek  wartości,  gdy
YTM  rośnie.  Zjawisko  to  wynika  z  wypukłości  krzywej  ilustrującej
zależność wartości obligacji od YTM.

Średni  termin  do  wykupu  można  stosować  do  uporządkowania  obligacji
występujących  na  rynku  ze  względu  na  ryzyko  zmiany  ceny.  Im  wyższa
wartość  duration tym ryzyko jest wyższe.

YTM

Czynniki wpływające na czas trwania
obligacji

Średni termin wykupu zależy przede wszystkim od trzech czynników. Są to:

Oprocentowanie obligacji; im wyższe tym krótszy czas trwania;

Przykład. Mamy dwie różne obligacje:
A – dwuletnia, wartość nominalna 100, odsetki 10%
B – dwuletnia, wartość nominalna 100, odsetki 12%
Stopa YTM = 5%
Wartość obligacji wynosi odpowiednio:
A: P = 10/1,05 + 110/(1,05)

= 109,3

B: P = 12/1,05 + 112/(1,05)

= 113,0

Czasy trwania obligacji wynoszą odpowiednio:
A: D = [ 1 x 10/1,05 + 2 x 110 / (1,05)

] / 109,3 = 1,91

B: D = [ 1 x 12/1,05 + 2 x 112 / (1,05)

] / 113,0 = 1,90

Potwierdza to wpływ pierwszego z czynników.

Czynniki wpływające na czas trwania
obligacji

Stopa dochodu YTM; im wyższa, tym krótszy czas trwania.

Przykład. Obligacja dwuletnia o wartości nominalnej 100, odsetki
wynoszą 10% płacone są raz do roku. Przeanalizujmy dwie sytuacje:
- stopa zwrotu YTM wynosi 8%:

P = 10/1,08 + 110/(1,08)

= 103,6

D = [ 1 x 10/1,08 + 2 x 110 / (1,08)

] / 103,6 = 1,91

- stopa zwrotu YTM wynosi 12%:

P = 10/1,12 + 110/(1,12)

= 96,6

D = [ 1 x 10/1,12 + 2 x 110 / (1,12)

] / 96,6 = 1,82

Potwierdza to wpływ drugiego z czynników.

Czynniki wpływające na czas trwania
obligacji

Okres do terminu wykupu; zwykle im dłuższy, tym dłuższy czas
trwania;

Przykład.

Mamy dwie różne obligacje:

A – jednoroczna, wartość nominalna 100, odsetki 10% płacone co roku;
B – dwuletnia, wartość nominalna 100, odsetki 12% płacone co roku;
Stopa YTM = 5%
Wartość obligacji wynosi odpowiednio:
A: P = 110/1,05 = 104,8
B: P = 10/1,05 + 110/(1,05)

= 109,3

Czasy trwania obligacji wynoszą odpowiednio:
A: oczywiście rok
B: D = [ 1 x 10/1,05 + 2 x 110 / (1,05)

] / 109,3 = 1,92

Potwierdza to wpływ trzeciego z czynników.

Czas trwania portfela obligacji.

W przypadku rozpatrywania portfela obligacji mówi się o duration
portfela obligacji. Jest on obliczany według poniższego wzoru:



i =1

gdzie: n – liczba obligacji w portfelu, D

– średni termin wykupu

portfela; w

–udział i – tej obligacji w portfelu; D

– średni termin wykupu i-

tej obligacji.

Duration portfela jest średnią ważoną średnich terminów wykupu

obligacji wchodzących w skład portfela, przy czym wagami są ich udziały
w portfelu.

Przykład. Inwestor posiada portfel złożony z trzech rodzajów

obligacji. Połowę stanowią dwuletnie obligacje zerokuponowe, 20%
obligacje roczne o czasie trwania 0,8 roku, a pozostałe 30% obligacje
trzyletnie o czasie trwania 2,56 roku. Duration portfela wynosi:

= 0,5 x 2 + 02 x 0,8 + 0,3 x 2,56 = 1,928

Zmodyfikowany czas trwania obligacji
(modyfied duration)

Do pomiaru ryzyka obligacji wykorzystuje się czasami

zmodyfikowany czas trwania (MD) określany wzorem:

MD = D / (1 + YTM)

biorąc jako podstawę powyższy wzór można wyznaczyć zależność:

– P

) / P

= - MD(YTM

– YTM

)

Oznacza to, że procentowa zmiana ceny obligacji jest równa (w

przybliżeniu) iloczynowi (ze znakiem minus) zmodyfikowanego średniego
terminu wykupu i zmiany stopy dochodu. Wynika z tego, że obligacja,
która ma zmodyfikowany średni termin wykupu dwa razy większy niż
inna obligacja, jest dwukrotnie bardziej ryzykowna.

W przypadku gdy odsetki płacone są cześciej niż raz w roku, wzór

na zmodyfikowany średni termin wykupu przyjmuje postać”

MD = D / (1 + YTM/m)

Wypukłość obligacji (convexity) 1

Wypukłość mająca zastosowanie w analizie obligacji wyraża się
wzorem:

C = 0,5 {



[ t (t + 1) C

/ (1 + YTM)

] } / { P (1 + YTM)

}

t =1

Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu. Wartość
nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 5%, odsetki płacone
są raz w roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 10%. Wynika z
tego, że wartość tej obligacji wynosi 87,57. Po podstawieniu do wzoru
otrzymujemy:

C = 0,5 [ 1x2X5/(1,1) + 2x3x5/(1,1)

+ 3x4x105/(1,1)

] /

[ 87,57x(1,1)

] = 4,63

Wypukłość obligacji (convexity) 2

Wypukłość w przypadku gdy odsetki są płatne częściej niż raz w roku
wyraża się wzorem:

C = 0,5 {  [ t (t + 1) C

/ (1 + YTM/m)

] } / { P (1 + YTM/m)

} / m

t =1

Przykład. Dana jest obligacja z trzyletnim terminem wykupu. Wartość
nominalna tej obligacji wynosi 100, oprocentowanie 5%, odsetki płacone
są co pół roku. Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 10%. Wynika
z tego, że wartość tej obligacji wynosi 87,31. Po podstawieniu do wzoru
otrzymujemy:

C = 0,5 { [ 1x2X2,5/(1,05) + 2x3x2,5/(1,05)

+ 3x4x2,5/(1,05)

4x5x2,5/(1,05)

5x6x2,5/(1,05)

6x7x102,5/(1,05)

]

[ 87,31x(1,05)

] } / 2

= 4,36

Wypukłość obligacji (convexity) 3

Dla obligacji zerokuponowych wzór na wypukłość upraszcza się i wyraża:

C = 0,5n (n +1) / (1+YTM)

gdzie: n = liczba lat do terminu wykupu obligacji

Wypukłość obligacji ma znaczenie (podobnie jak czas trwania) przy

określaniu procentowej zmiany wartości obligacji wynikającej ze zmiany
stopy dochodu obligacji. Przedstawia to poniższy wzór:

– P

) / P

= - MD(YTM

– YTM

) + C(YTM

– YTM

)

Jak widać jest to wzór ma zmodyfikowany czas trwania wzbogacony o
convexity co daje lepsze przybliżenie procentowej zmiany wartości
obligacji.

Wypukłość obligacji (convexity) 4

D = 2,85; MD = 2,59;

C = 4,63.

Załóżmy teraz, że stopa dochodu wzrasta z 10% do 12%. Przy stopie
dochodu równej 12% wartość obligacji wynosi 83,19%. Oznacza to, że
procentowa zmiana wartości wynosi:

– P

) / P

= (83,19 – 87,57) / 87,57 = - 5%

Stosując wzór na zmodyfikowany czas trwania otrzymujemy wartość
przybliżoną:

– P

) / P

= - 2,59 x 2% = - 5,18%

który uzupełniony o wypukłość obligacji przybliża się do rzeczywistej
procentowej zmiany ceny i wynosi:

– P

) / P

= - 2,59 x 2% + 4,63 x (2%)

= - 4,99%

Wypukłość obligacji (convexity) 5

Własności wypukłości obligacji:

Im wyższe oprocentowanie obligacji, tym mniejsza wypukłość obligacji
(przy równych stopach dochodu i równej długości okresu do terminu
wykupu);

Im dłuższy okres do terminu wykupu, tym większa wypukłość obligacji
(przy równych stopach dochodu i równym oprocentowaniu);

Im wyższa stopa dochodu w okresie do wykupu, tym mniejsza
wypukłość obligacji;

Im dłuższy średni termin wykupu, tym większa wypukłość, tym wyższe
również tempo wzrostu wypukłości;

Im wyższe oprocentowanie obligacji, tym większa wypukłość obligacji
(przy równych stopach dochodu i równych zmodyfikowanych czasach
trwania).

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 1

Proces uodparniania portfela obligacji polega na takim skomponowaniu jego

składników, aby w określonym terminie można było z niego uzyskać

określoną kwotę pieniędzy niezależnie od zmian stopy procentowej na rynku.

Czas trwania takiego portfela winien być dokładnie równy czasowi płatności.

Składnikami portfela winny być różne typy obligacji, o różnych terminach

wykupu. Jeśli np. do budowy portfela wykorzystano obligacje jednoroczne i

trzyletnie (płatność następuje po dwóch latach), to w przypadku gdy stopy

zwrotu rosną, straty spowodowane sprzedażą obligacji trzyletnich po niższej

cenie przed terminem wykupu, rekompensowane są wyższymi zyskami z

reinwestowania odsetek z tytułu posiadania obligacji jednorocznych. W

przypadku gdy stopy zwrotu spadają, wtedy straty spowodowane

reinwestowaniem odsetek z tytułu posiadania obligacji jednorocznych po

niższej stopie zwrotu, rekompensowane są wyższymi zyskami z tytułu

sprzedaży obligacji trzyletnich po wyższej niż wstępnie zaplanowanej cenie.

Przykład. Załóżmy, że inwestor za dwa lata musi spłacić swój dług

wynoszący 10.000. Ponieważ termin płatności wynosi dwa lata, oznacza to,

że czas trwania płatności wynosi 2 lata. Zadaniem inwestora jest utworzenie

portfela obligacji w taki sposób, aby po dwóch latach otrzymać 10.000.

Metoda uodpornienia polega na utworzeniu takiego portfela, który ma czas

dokładnie taki sam jak termin płatności czyli dwa lata.

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 2

Przykład cd. Na rynku dostępne są dwa rodzaje obligacji. Pierwszy rodzaj
to  trzyletnia  obligacja,  o  wartości  nominalnej  100  i  oprocentowaniu  8%
płatnym  raz  w  roku.  Obecna  cena  rynkowa  obligacji  wynosi  95,026%.
Stopa  zwrotu  tej  obligacji  wynosi  10%,  a  duration  2,78.  Drugi  rodzaj
obligacji to roczne obligacje, o wartości nominalnej 100 i oprocentowaniu
7%.  Obecna  cena  rynkowa  tych  obligacji  wynosi  97,273%.  Stopa  zwrotu
tej  obligacji  wynosi  10%,  a  duration  1  rok  gdyż  jest  ona  równoważna
obligacji zerokuponowej o wartości nominalnej 107.
Inwestor  rozważa  różne  możliwości.  Może  zainwestować  jedynie  w
obligacje  roczne,  przy  założeniu,  że  po  roku  reinwestuje  wpływy
gotówkowe  znowu  na  rok  w  taką  samą  obligację.  Wiąże  się  to  jednak  z
ryzykiem reinwestowania, które może wystąpić jeśli po roku spadną stopy
procentowe, a kapitał oraz odsetki będą miały stopę zwrotu poniżej 10%.
Druga możliwość to zainwestowanie w obligacje trzyletnie i sprzedanie ich
po  dwóch  latach.  Ten  sposób  postępowania  wiąże  się  z  ryzykiem
posiadania.  Jeśli  bowiem  po  dwóch  latach  wzrosną  stopy  procentowe  to
wówczas  spadnie  cena  obligacji  co  spowoduje  spadek  planowanego
dochodu.

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 3

Przykład cd. Aby zabezpieczyć się przed wahaniami stóp procentowych

należy utworzyć portfel o czasie trwania równym 2 lata. Korzystając ze

wzoru na duration portfela oraz z faktu, że udziały obligacji w portfelu

sumują się do jedności, otrzymujemy następujący układ równań:

+ w

= 1

+ 2,78w

= 2

gdzie: w

– udział obligacji jednorocznej w portfelu; w

– udział obligacji

trzyletniej w portfelu.

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy:
w

= 0,4382;

= 0,5618.

W celu uzyskania 10.000 za dwa lata inwestor musi zainwestować sumę

równą wartości bieżącej 10.000 przy zastosowaniu stopy dyskontowej

równej 10%. Suma ta wynosi:

10000 / (1,1)

= 8264,46

Wynika z tego, że w celu stworzenia portfela, inwestor powinien

przeznaczyć



0,4382 x 8264,46 = 3621,49 na zakup obligacji jednorocznych i



0,5618 x 8264,46 = 4642,97 na zakup obligacji trzyletnich.

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 4

Przykład cd. Ponieważ obecnie ceny wynoszą odpowiednio 97,273 oraz

95,026;inwestor powinien zakupić w przybliżeniu:



3621,49 / 97,273 = 37 obligacji jednorocznych i



4642,97 / 95,026 = 49 obligacji trzyletnich.

Tak skonstruowany portfel jest odporny na zmiany stóp zwrotu. Mogą to

zilustrować dwie sytuacje.
Przypadek 1. Stopy zwrotu po roku spadają z 10% do 9%. Wtedy przychody

z tytułu obligacji wynoszą odpowiednio:



Obligacja jednoroczna: 107 x 37 x 1,09 = 4315,31

Jest to kapitał plus odsetki otrzymany po pierwszym roku pomnożony przez

ilość obligacji, a następnie reinwestowany na rok po 9% stopie zwrotu.



Obligacja trzyletnia : 8 x 49 x 1,09 + 8 x 49 + (108/1,09) x 49 =

5674,33

Są to odsetki otrzymane po pierwszym roku pomnożone przez liczbę

obligacji i reinwestowane na rok po 9% stopie zwrotu, do którego dodano

wszystkie odsetki otrzymane w roku drugim do których dodano

zdyskontowany przychód z tytułu sprzedaży obligacji na rok przed terminem

wykupu

Wobec tego łączny przychód wynosi:

4315,31 + 5674,33 = 9989,64

Uodparnianie portfela obligacji
(immunizacja) 5

Przypadek 1. Stopy zwrotu po roku wzrastają z 10% do 11%. Wtedy

przychody z tytułu obligacji wynoszą odpowiednio:



Obligacja jednoroczna: 107 x 37 x 1,1 = 4394,49



Obligacja trzyletnia : 8 x 49 x 1,11 + 8 x 49 + (108/1,11) x 49 =

5594,69

Wobec tego łączny przychód wynosi:

4394,49 + 5594,69 = 9989,18

Metoda uodparniania portfela może być uogólniona na przypadek wielu

obligacji. Załóżmy, że inwestor może tworzyć portfel złożony „n” obligacji, o

udziałach w

, w

, ………w

i o duration D

, D

, ……D

. Załóżmy również, że czas

trwania płatności, której musi dokonać inwestor w przyszłości wynosi D

. Metoda

uodparniania sprowadza się wówczas do rozwiązania układu dwóch równań.



= 1

i =1



= D

i =1

Układ ten ma z reguły wiele rozwiązań.

Document Outline