1

Wykład 2

MECHANIKA TEORETYCZNA

Studia stacjonarne I stopnia – rok akademicki 2011/12

Autor:

Henryk Laskowski

Katedra Podstaw Mechaniki Ośrodków Ciągłych
Instytut Mechaniki Budowli
Wydział Inżynierii Lądowej

Część 1

MACIERZE I WYZNACZNIKI

3

1.1. Definicja macierzy

i,j

a

i

, ... ,m, j

, ... ,n

� �

=

=

� �

1

1

Ciąg dwuwskaźnikowy 
skończony 

,

,

,n

,

,

,n

m,

m,

m,n

a

a

... a

a

a

... a

...

...

...

...

a

a

... a

�

�

�

�

�

�

=

�

�

�

�

�

�

�

�

A

11

12

1

2 1

2 2

2

1

2

i, m – numer wiersza, liczba wierszy 

j, n – numer kolumny, liczba kolumn 

4

Macierz zerowa 

...
...

... ... ... ...

...

�

�

�

�

�

�

=

=

�

�

�

�

�

�

A

0 0

0

0 0

0

0

0 0

0

Macierz jednostkowa 

i,j

...
...

δ

... ... ... ...

...

�

�

�

�

�

�

� �

=

=

=

� � �

�

�

�

�

�

E

1 0

0

0 1

0

1

0 0

1

i,j

gdy i

j

δ

gdy i

j

=

�

=�

�

�

1

0

gdzie: 

- symbol Kroneckera 

5

i, j

k,l

m p

n q

a

b gdy i k j l

= � =

�

�

=

�

�

=

= � =

�

�

A B

Równość 
macierzy 

Macierz A jest równa macierzy B gdy obie macierze mają te same 
wymiary oraz każdy wyraz macierzy A jest równy wyrazowi macierzy 
B       o tych samych wskaźnikach 

i,j

k,l

p,q

m,n

a

b

� �

=

=� �

� �

� �

A

B

6

Mnożenie macierzy przez liczbę 

i,j

i,j

s

s a

s a

� � �

�

� = �

= �

� � �

�

A

Dodawanie i odejmowanie 
macierzy 

i,j

i,j

i,j

i,j

a

b

a

b

� � � � �

�

+ =

+

=

+

� � � � �

�

A B

i,j

i,j

i,j

i,j

a

b

a

b

� � � � �

�

-

=

-

=

-

� � � � �

�

A B

1.2. Działania na macierzach

7

Mnożenie macierzy przez 
macierz

i,j

j,k

m,n

n,p

a

b

� �

� �

=

=

� �

� �

A

B

Dane są macierze: 

(liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy 
B) 

i,k m,p

c

=

=� �

� �

C AB

[

]

k

n

i,k

i

in

ij jk

j

nk

b

c

a

... a

...

a b

b

=

� �

� �

=

�

=

� �

� �

� �

�

1

1

1

gdzie:

i,k

c

- iloczyn i-tego wiersza macierzy A i k-tej kolumny macierzy B

8

Własności działań na 
macierzach

1. Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne i rozdzielne względem 

dodawania liczb i dodawania macierzy

(

) (

)

r s

r s

� � = � �

A

A

(

)

r s

r

s

+ � = � + �

A

A

A

(

)

s

s

s

� +

= � + �

A B

A

B

2.  Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne 

+ = +

A B B A

(

)

(

)

+ + = + +

A B C A

B C

3.  Mnożenie macierzy przez macierz nie jest przemienne 

�׹

A B B A

4.  Mnożenie macierzy przez macierz jest łączne i rozdzielne 

względem dodawania macierzy 

(

)

(

)

=

AB C A BC

(

)

F G +H =FG +FH

(

)

G +H K =GK +HK

9

5.  Dla każdej macierzy A i macierzy zerowej stosownego wymiaru 

zachodzą związki: 

=

A0 0

=

A

0

0

6.  Dla każdej macierzy A i macierzy jednostkowej stosownego 

wymiaru zachodzą związki: 

=

AE A

=

EA A

10

Wyznacznik jest to funkcja przyporządkowująca każdej macierzy 
kwadratowej M stopnia n  wartość (oznaczaną detM), która spełnia 
następujące własności:

1. Dla macierzy pierwszego stopnia M = [a]:   detM = a

2. Dla macierzy n-tego stopnia M = [a

ij

]

nn

:

( )

n

k j

kj

k,j

k

det

a det

+

=

=

-

�

M

M

1

1

gdzie

i,j

M

                               jest macierzą n - 1 stopnia powstałą z macierzy M 
przez 

wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny

( )

n

i k

ik

i,k

k

det

a det

+

=

=

-

�

M

M

1

1

(rozwinięcie względem
 j-tej kolumny)

(rozwinięcie względem
 i-tego wiersza)

1.3. Definicja wyznacznika

Część 2

WPROWADZENIE DO MECHANIKI

12

2.1. Ogólna klasyfikacja

MECHANIKA  – dział fizyki poświęcony badaniu ruchów i stanów 

   równowagi ciał. Obejmuje statykę, kinematykę 
   i dynamikę

Statyka

 

– dział mechaniki badający prawa 

równowagi 

   ciał będących pod działaniem sił

Kinematyka  – dział mechaniki zajmujący się opisem 
ruchu 

   ciał bez uwzględnienia jego przyczyn oraz 
   cech fizycznych ciał.

Dynamika 

– dział mechaniki badający ruch ciał 
   materialnych pod wpływem działających 
   na nie sił

13

MECHANIKA BUDOWLI 

Dział mechaniki stosowanej zajmujący się:

– wyznaczaniem sił i przemieszczeń w konstrukcjach budowlanych 
pod   
   wpływem ociążeń, 

– określaniem wartości obciążeń bezpiecznych z punktu widzenia 
   nośności, sztywności i stateczności konstrukcji budowlanych, 

– optymalnym kształtowaniem konstrukcji budowlanych. 

Obejmuje m. in. teorię ustrojów prętowych (belek, kratownic, ram 
itp.) oraz teorię dźwigarów powierzchniowych (płyt, powłok)

14

2.2. Trochę historii

Zasady "naukowego myślenia"  

1. Wychodzenie z jak najmniejszej liczby 

założeń pierwotnych, które znajduje się 
poprzez myślenie indukcyjne.

2. Tworzenie w oparciu o te założenia ścisłej 

teorii posługując się myśleniem 
dedukcyjnym, 

3. Ostateczna weryfikację teorii poprzez 

konfrontację wniosków z niej wynikających 
z faktami. 

Jeden z trzech, obok Platona i Sokratesa 
największych filozofów greckich. Stworzył 
spójny system filozoficzny, który bardzo silnie 
działał na filozofię i naukę europejską.

Arystoteles, rzeźba Lizypa - Luwr

Arystoteles (Ἀριστοτέλης) 384 p.n.e. - 324 
p.n.e.) 

15

Galileusz (Galileo Galilei) 1564 – 1642 

Włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca 
podstaw nowożytnej fizyki. Chcąc uczynić 
przyro-doznawstwo nauką ścisłą, położył nacisk 
na mate-matyczną metodę wyrażania 
głoszonych twier-dzeń; uważał, że podstawą 
badań przyrodniczych powinny być tylko 
właściwości ciał, które można mierzyć i wyrażać 
w języku matematycznym. Stosował własną 
praktykę badawczą, w której opierał się na 
faktach doświadczalnych, stosował w szerokim 
zakresie metodę analizy i syntezy oraz dążył do 
wprowadzenia metod eksperymen-talnych i 
matematycznych w całej fizyce.

Odkrył zjawisko bezwładności. Dzięki doświadczeniom, Galileusz doszedł 
do wniosku, że ciało, któremu w wyniku działania innych ciał nadano pewną 
prędkość, powinno stale poruszać się ruchem jednostajnym 
prostoliniowym. Badał wpływ tarcia na ruch ciał.

Galileo Galilei

16

Isaac Newton 1643 – 1727 

Angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, 
historyk, badacz Biblii i alchemik. Niezależnie 
od Gottfrieda Leibniza przyczynił się do 
rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego.

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 
(Matematyczne podstawy filozofii naturalnej, 
bardziej znane dzisiaj jako Principia), zostały 
opublikowane w 1687. W dziele tym Newton 
ogłosił trzy uniwersalne zasady dynamiki, 
które nie zostały ulepszone aż do czasów 
Alberta Einsteina. Użył łacińskiego słowa 
gravitas (ciężar) do nazwania siły, którą 
obecnie znamy pod nazwą grawitacji i 
zdefiniował prawo powszechnego ciążenia. 

Sir Isaac Newton

17

Stefan Banach

Stefan Banach 1892 – 1945 

Polski matematyk, jeden z czołowych przed-
stawicieli lwowskiej szkoły matematycznej.  
Ugruntował ostatecznie podstawy niezwykle 
istotnej w nowoczesnych zastosowaniach 
matematyki analizy funkcjonalnej. Podał jej 
fundamentalne twierdzenia, wprowadził jej 
terminologię, którą zaakceptowali matematycy 
na całym świecie. Był wytrawnym wykładowcą 
i autorem ponad 60 prac naukowych a także 
wielu podręczników matematycznych dla szkół 
średnich.

Autor podręcznika akademickiego pt. Mechanika, t.1 i 
2, wydawnictwo: Czytelnik, Spółdzielnia Wydawniczo – 
Oświatowa, Kraków 1949 (wydanie 3 w czytelni PK).

18

2.3. Pojęcia podstawowe

Punkt materialny 

– model fizyczny ciała, którego jedynymi władnościami 

jest masa

   i punkt jako położenie w przestrzeni

Ciało sztywne  – model fizyczny ciała o masie rozłożonej w pewnej przestrzeni, 

   której elementy nie mogą się względem siebie przemieszczać. 
   Punkt materialny jest szczególnym przypadkiem ciała 

sztywnego.

Układ materialny 

– skończony zbiór punktów materialnych lub ciał 

sztywnych

Układ odniesienia 

– rzeczywiste lub umowne ciało sztywne, względem 

którego 

   opisuje się ruch ciała sztywnego. Z układem odniesienia jest
   związany układ współrzędnych

Ośrodek ciągły  – model fizyczny ciała o masie rozłożonej w pewnej przestrzeni, 

   której elementy mogą się względem siebie przemieszczać.

19

Siła

– wielkoć wektorowa będąca miarą oddziaływań fizycznych pomiędzy 

ciałami 

   powodujących ruch tych ciał lub utrzymujących je w stanie równowagi

a) aby można było mówić o sile muszą być co najmniej dwa ciała 
     (w koncepcji Einsteina do definicji siły wystarczy jedno ciało)

b) działanie ciał na siebie może być kontaktowe lub na odległość

c) każdej sile „towarzyszy” inna siła (akcja i reakcja - III zasada 
     dynamiki)

d) drugie prawo Newtona nie jest definicją siły, lecz wiąże ze sobą trzy  
     wielkości fizyczne: siłę, masę i przyspieszenie zależnością: F = ma, 
     gdzie: F 

–

 siła, m – masa, a – przyspieszenie punktu materialnego

Uwagi:

20

Masa

– skalarna wielkość fizyczna będąca miarą bezwładności ciała w jego ruchu 

   postępowym. Może być określona przez iloraz miary ciężaru       do 

miary 

   przyspieszenia ziemskiego

Q

g

0





g

Q

m

df

Pęd punktu materialnego

– wektorowa wielkość fizyczna 

charakterysująca ruch 

   punktu materialnego, wyrażająca się iloczynem jego 
   masy      i prędkości

v

m

p

df





m

v

21

2.4. Aksjomaty mechaniki (1687)

1. Aksjomat bezwładności – istnieją układy 
odniesienia, w których, jeżeli na punkt 
materialny nie działa żadna siła, to pęd 
punktu nie ulega zmianie.

_______

const

p

v

m

p









0

2. Aksjomat ruchu

– istnieją układy 

odniesienia, w których, jeżeli na punkt 
materialny  działa siła, to zmienia jego pęd 
według prawa

F

p

t







3. Aksjomat wzajemnego oddziaływania 
(prawo akcji i reakcji) – dwa punkty 
materialne oddziałują na siebie zawsze siłami 
przeciwnymi, działającymi wzdłuż jednej 
prostej.