X: Ω→R
x
X
R
x
)
(
:
X: Ω→R
x
X
R
x
)
(
:
F : R → [0,1]
)
(
)
(
0
0
0
x
X
P
x
F
R
x
1
,
0
)
(
x
F
R
x
1
)
(
lim
oraz
0
)
(
lim
x
F
x
F
x
x
)
F(x
)
F(x
x
x
2
1
2
1
x
2
1
x
)
(
)
(
lim
0
0
0
x
F
x
F
x
x
R
x
P(a≤x<b)=F(b)-F(a)
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
x
F
x
F
x
x
P
x
x
i
i
1
p
N,
i
0
)
(
i
i
p
x
X
P
0
)
(
)
(
0
0
x
x
i
i
p
x
X
P
x
F
0
0
)
(
)
F(x
0
0
x
x
R
dx
x
f
f
f jest ciągła w punkcie x →f(x)=F(x)
1
)
( dx
x
f
0
)
(
)
(
0
x
dx
x
f
x
X
P
ciaglej
dla
)
(
skokowej
dla
)
(
dx
x
f
x
p
x
X
E
i
i
i
E(a)=a
E(a ∙ X)=a ∙ E(X)
E(X+a)=E(X)+a
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(X ∙ Y)=E(X)∙E(Y)
X,Y zmienne losowe
niezależne
i
i
r
i
r
r
p
x
X
E
)
(
dx
x
f
x
r
r
)
(
i
i
r
i
r
r
p
X
E
x
X
E
X
E
))
(
(
))
(
(
dx
x
f
X
E
x
r
r
)
(
)
)
(
(
V(a)=0
V(aX)=a
2
V(X)
V(X+a)=V(X)
V(X±Y)=V(X) ±V(Y)
V(X)=E(X
2
)-E
2
(X)
Rozkład równomierny
n
x
P
i
1
)
(
n
i
i
x
n
X
E
1
1
)
(
n
i
i
X
E
x
n
X
V
1
2
)
(
1
)
(
Rozkład zero-jedynkowy
E(X)=p
V(X)=p∙q
Rozkład dwumianowy (Bernoullego)
p
q
n
k
q
p
k
n
p
n
k
P
k
n
k
1
,...,
2
,
1
)
,
,
(
npq
K
V
np
K
E
)
(
)
(
Rozkład Poissona
)
(
)
(
,....
2
,
1
,
0
!
)
,
(
K
V
K
E
np
k
k
e
n
k
P
k