3.1. Rodzaje przepływów
Spadki ciśnień przy przepływie przez element hydrauliczny zależą od rodzaju przepływu.
Klasyczne doświadczenie Reynoldsa dowodzi istnienia dwóch rodzajów przepływu w
przewodzie, a mianowicie uwarstwionego (laminarnego) i burzliwego (turbulentnego).
W przepływie uwarstwionym sąsiadujące ze sobą cząsteczki cieczy przemieszczają się
zachowując równoległe wektory prędkości, można więc wyodrębnić strugi między którymi
nie zachodzi mieszanie się cieczy. Prędkości tych strug są zerowe przy ściance, a rosną w
miarę oddalania się od niej. Przepływ laminarny jest możliwy tylko do określonej wartości
prędkości przepływu w danych warunkach eksploatacyjnych i dla danej konstrukcji
elementu.
Przy przepływie burzliwym (turbulentnym) cząsteczki cieczy odchylają się od swych torów i
ruch staje się nieuporządkowany, co w rezultacie wskutek lepkości prowadzi do zmiany
odpowiedniej ilości energii kinetycznej na ciepło.
Wielkością służącą do określenia rodzaju przepływu jest bezwymiarowa wielkość, tzw.
liczba Reynoldsa. Liczba Reynoldsa przedstawia sobą stosunek sił bezwładności (·v
2
) do sił
lepkości (·v/l), a więc:
,
(3.1)
gdzie: v – średnia prędkości przepływu,
D
H
– średnica hydrauliczna.
H
2
2
D
v
v
l
v
l
v
v
Re
3. STRATY HYDRAULICZNE
Średnica hydrauliczna D
H
jest zdefiniowana (3.2) jako stosunek 4-krotnego przekroju
przepływu A do obwodu zwilżenia U:
.
(3.2)
Przykładowo średnica hydrauliczna D
H
może zostać określona dla przekrojów
przedstawionych na rys.3.1:
U
A
4
D
H
Rys. 3.1. Przekroje przepływu:
a) przewód rurowy, b) szczelina
pierścieniowa,
c) szczelina płaska
a) przewód rurowy:
d
d
4
d
4
D
2
H
b) szczelina pierścieniowa:
c) długa wąska szczelina płaska:
b
2
D
D
D
D
D
4
D
4
4
D
1
2
2
1
2
1
2
2
H
b
2
h
2
b
2
h
b
4
D
H
Dwa różne przepływy są podobne, gdy ich liczby Reynoldsa są równe: Re
1
= Re
2
, a więc:
.
Z tego wynika podobieństwo prędkości o postaci:
. (3.3)
Oznacza to, że dwa przebiegi zachowują podobieństwo mechaniczne, jeśli ich prędkości
przepływu są wprost proporcjonalne do ich lepkości kinematycznych, a odwrotnie
proporcjonalne do ich wymiarów liniowych.
Przy przepływie cieczy do przewodu przez przekroje można przyjąć, że na wejściu wystąpi
równomierny rozkład prędkości. Tarcie cieczy warunkuje po określonym czasie lub też po
przebyciu określonej drogi wystąpienie, zgodnie z gradientem prędkości, rozkładu prędkości,
a w przypadku przepływu laminarnego uporządkowanie linii prądu. Długość odcinka l od
miejsca zaburzenia do uporządkowanego przepływu wyniesie zgodnie z równaniem (3.4):
(3.4)
2
2
2
1
1
1
l
v
l
v
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
l
l
l
l
v
v
Re
058
,
0
D
l
3.2. Równanie Hagena – Poiseuille’a
Korzystając z równania na równowagę sił w przewodzie oraz z równania na równowagę sił
działających na element cieczy w przewodzie o przekroju kołowym można wyznaczyć rozkład
prędkości cieczy w przekroju przepływu (rys.3.2).
Rys. 3.2. Przepływ uwarstwiony w gładkim przewodzie o przekroju kołowym
Przechodzenie przepływu uwarstwionego w burzliwy i na odwrót zachodzi po
osiągnięciu tzw. krytycznej wartości liczby Reynoldsa Rekr. Jeśli dla
określonych warunków przepływu liczba Reynoldsa Re < Rekr, przepływ cieczy
jest uwarstwiony, natomiast gdy Re > Rekr burzliwy.
Jako wartość krytyczną liczby Reynoldsa dla przewodów o przekroju kołowym przyjmuje
się
Rekr = 2300.
Aby cylindryczna cząstka cieczy lepkiej znajdowała się w ruchu, musi działać na nią siła
pochodząca od różnicy ciśnień (p
1
– p
2
), którą równoważy siła pochodząca od naprężenia
stycznego działająca na obwód cylindrycznej cząstki. Stan równowagi tych sił można
przedstawić następująco:
.
(3.5)
Wprowadzając zależność na naprężenie styczne z równania Newtona otrzyma się:
,
a więc:
.
Całkując obustronnie i wprowadzając warunki brzegowe uzyskuje się prędkość cząstek na
promieniu y:
,
. (3.6)
2
2
1
y
p
p
l
y
2
2
2
1
y
p
p
l
y
2
dy
x
d
2
y
l
p
p
dy
x
d
2
1
r
y
y
y
2
1
dy
y
l
2
p
p
x
d
2
2
2
1
y
r
l
4
p
p
x
Rozkład prędkości przepływu na promieniu y jest paraboliczny i dotyczy zakresu 0 y r .
Maksymalna wartość prędkości przepływu wystąpi dla cząstek na promieniu y = 0. A więc:
.
(3.7)
Poprzez sumowanie iloczynów elementarnych powierzchni oraz ich prędkości otrzymuje się
natężenie przepływu cieczy w przewodzie:
. (3.8)
Wprowadzając do równania (3.8) związek (3.6) oraz za elementarną powierzchnię dA
zależność:
,
otrzyma się:
.
(3.9)
Oznaczając wyrażenie:
i wprowadzając do równania (3.9) otrzyma się zależność uporządkowaną na objętościowe
natężenie przepływu:
2
2
1
max
r
l
4
p
p
x
r
y
0
y
dA
x
Q
dy
y
2
dA
r
y
0
y
2
2
2
1
dy
y
2
y
r
l
4
p
p
Q
k
l
2
p
p
2
1
r
0
3
2
r
0
2
2
dy
y
y
r
k
dy
y
y
r
k
Q
a więc:
.
Ostatecznie natężenie przepływu w przewodzie o przekroju kołowym wyniesie:
.
(3.10)
Wyrażenie to nosi nazwę równania Hagena – Poiseuille’a, które podaje, że natężenie
przepływu laminarnego określonej cieczy w przewodzie jest wprost proporcjonalne
do różnicy ciśnień między dwoma przekrojami i do średnicy w czwartej potędze, a
odwrotnie proporcjonalne do długości przewodu i lepkości dynamicznej.
Prędkość średnią cieczy w przewodzie można wyznaczyć z objętościowego natężenia
przepływu przyjmując, że:
,
a więc:
.
(3.11)
4
r
k
4
r
2
r
k
4
y
2
y
r
k
Q
4
4
4
r
o
4
2
2
l
128
d
p
p
l
8
r
p
p
Q
4
2
1
4
2
1
l
128
d
p
p
v
4
d
v
A
Q
4
2
1
2
l
32
d
p
p
v
2
2
1
Wychodząc z równania Hagena – Poiseuille’a (3.11) na średnią prędkość przepływu v w
przypadku przepływu laminarnego określa się spadek ciśnienia między dwoma odległymi od
siebie o l przekrojami przewodu:
,
a więc:
.
(3.12)
W przypadku określonej średnicy przewodu i stałej lepkości cieczy strata ciśnienia na długości
l jest wprost proporcjonalna do prędkości przepływu v. Zależność ta jest liniowa i może
zostać zapisana jako:
,
(3.13)
gdzie: .
Przekształcając równość (3.13) mnożąc i dzieląc przez wartość 2v·
otrzyma się:
3.3.1. Przewody
prostoosiowe
l
32
d
p
v
2
v
d
l
32
p
p
p
2
2
1
v
A
p
2
d
l
32
A
v
d
l
32
v
2
v
2
p
2
g
2
v
d
l
d
v
64
p
2
3.3. Liniowe straty
ciśnienia
Wprowadzając pojęcie bezwymiarowego współczynnika oporów przepływu , można
zależność na stratę ciśnienia zapisać:
,
(3.14)
gdzie: .
Współczynnik obowiązuje przy przepływie uwarstwionym izotermicznym. W
praktyce zaleca
się jednak stosować zależność równą .
W przypadku występowania przewodów elastycznych (giętkich) literatura przedmiotu
proponuje wartość współczynnika jako:
.
Dla przepływów burzliwych liczba Reynoldsa Re > Re
kr
lub też dla danego przewodu i
lepkości cieczy, gdy prędkość przepływu v większa jest od prędkości krytycznej v
kr
, stratę
ciśnienia oblicza się według związku Darcy’ea analogicznego do równania (3.14):
.
(3.15)
Zależność zatem (3.15) jest funkcją kwadratową prędkości przepływu:
,
(3.16)
gdzie: .
g
2
v
d
l
p
2
Re
64
d
v
64
Re
64
Re
75
Re
84
80
g
2
v
d
l
p
2
2
v
B
p
g
2
1
d
l
B
Zestawiając zależności (3.13) i (3.16) na wykresie (rys.3.3), przedstawiono zakresy
przepływów laminarnego i turbulentnego oraz ważności związków strat ciśnienia.
Wartość współczynnika oporów przepływu dla przepływu burzliwego zależy od liczby
Reynoldsa Re oraz od chropowatości względnej równej stosunkowi chropowatości
bezwzględnej s [mm] do nominalnej średnicy przewodu d [mm].
Dla przewodów stosowanych w napędach hydrostatycznych można przyjmować
chropowatość bezwzględną następująco:
rury miedziane, mosiężne, aluminiowe
s = 0,01 ÷ 0,04 mm
rury stalowe precyzyjne
s = 0,05 mm
rury stalowe zwykłe
s = 0,08 ÷ 0,10 mm
węże gumowe gładkie
s = 0,03 mm
węże gumowe chropowate
s = 0,05 ÷ 0,09 mm
Rys. 3.3. Zależność straty ciśnienia w
przewodzie
prostoosiowym od prędkości
przepływu
Dobór współczynnika oporów przepływu dla zakresu przepływu burzliwego może być
oparty na różnych wzorach empirycznych bądź też na wykresach, np. Stantona (rys.3.4).
Rys. 3.4. Zależność współczynnika oporów przepływu od liczby
Reynoldsa
Ze wzorów empirycznych obowiązujących dla liczb Reynoldsa do 80 000 oraz dla
przewodów gładkich często zalecanym związkiem jest wzór Blasiusa:
.
(3.17)
Fakt występowania oporów przepływu w przypadku cieczy rzeczywistej uwzględnia się w
zasadzie zachowania energii w wyprowadzonym równaniu Bernoullego następująco
(rys.3.5):
,
(3.18)
gdzie: p
str
- strata ciśnienia między przekrojami 1 i 2.
Rys. 3.5. Schemat przepływu czynnika przez
zwężkę
25
,
0
Re
3164
,
0
str
2
2
2
2
2
1
1
1
p
2
v
p
z
2
v
p
z
Przykładem stosowania uogólnionego równania Bernoullego dla cieczy rzeczywistej
może być określenie ciśnień ssania pompy w układzie jej zasilania (rys.3.6). W
przypadku pompy zalewanej, zgodnie z równaniem Bernoullego ciśnienie ssania będzie
równe:
,
a więc:
str
2
s
b
p
2
v
p
p
h
str
2
b
s
p
2
v
p
h
p
W przypadku pompy samozasysającej ciśnienie ssania określić można z równania jak
następuje:
,
a więc:
Rys. 3.6. Schemat układu zasilania
pompy:
a) pompa zalewana,
b) pompa samozasysająca
str
2
s
b
p
2
v
h
p
p
str
2
b
s
p
2
v
h
p
p
Całkowita strata hydrauliczna związana z przepływem czynnika w układzie hydraulicznym
obejmuje oprócz strat w przewodach prostoosiowych również straty spowodowane tzw.
przeszkodami miejscowymi.
Miejscowe straty przepływu to najczęściej:
• zmiany przekrojów przepływu,
• zmiany kierunku przepływu (łuki, kolanka, złączki, rozgałęzienia).
Analityczne wyznaczenie straty ciśnienia spowodowanej przeszkodą miejscową
przeprowadza się po ustaleniu bezwymiarowego współczynnika oporu przeszkody
miejscowej i na podstawie związku straty z ciśnieniem dynamicznym w postaci:
,
(3.19)
gdzie: - zależy od rodzaju przeszkody miejscowej, v – średnia prędkość przepływu.
2
v
g
2
v
p
2
2
3.4. Miejscowe straty
ciśnienia
3.4.1. Zmiany przekroju przepływu
Nagłe zwiększenie przekroju przepływu
W wyniku nagłego zwiększenia przekroju średnia prędkość maleje od wartości v
1
występującej w przekroju 1–1 do wartości v
2
w przekroju 2-2. Wiąże się z tym strata
ciśnienia spowodowana zawirowaniem powstałym w wyniku uderzenia strugi o średnicy d
1
płynącej z prędkością v
1
o strugę o średnicy d
2
z prędkością v
2
< v
1
(rys.3.7).
Wychodząc z równania Bernoullego (3.18) dla przekrojów przepływu 1 i 2 można napisać
przy założeniu równości wysokości położenia z
1
= z
2
:
,
a więc:
.
(3.20)
Zakładając, że w przekroju 2’-2’ prędkość wynosi v
1
a ciśnienie p
1
, siła działająca w tym
przekroju będzie miała wartość A
2
·p
1
. Siła działająca w przekroju 2-2 wynosi natomiast
A
2
·p
2
. Różnica tych sił, wynosząca A
2
·p
2
- A
2
·p
1
, powoduje opóźnienie przepływu cieczy.
Rys. 3.7. Schemat rozszerzenia przekroju
przepływu
str
2
2
2
2
1
1
p
2
v
p
2
v
p
2
v
2
v
p
p
p
2
2
2
1
2
1
str
Zgodnie z zasadą zachowania pędu można napisać zależność:
,
a więc:
,
(3.21)
Wstawiając wyrażenie (3.21) do równania (3.20) otrzyma się:
,
a więc:
.
(3.22)
Wyrażenie to nosi nazwę wzoru Bordy.
Wychodząc z równania ciągłości przepływu otrzymujemy zależność:
,
.
(3.23)
Współczynnik oporu miejscowego w tym przypadku wyniesie więc:
.
(3.24)
2
2
2
1
1
2
2
2
v
A
v
v
p
A
p
A
2
2
2
1
1
2
v
v
v
p
p
2
v
2
v
v
v
v
p
2
2
2
1
2
2
2
1
str
2
v
v
p
2
2
1
str
2
1
2
1
v
A
A
v
2
2
2
1
2
str
v
2
1
A
A
p
2
1
2
1
A
A
Nagłe zmniejszenie przekroju przepływu
Występujące straty przepływu w tym przypadku określone zostaną również na podstawie
zasady zachowania pędu. Przy obliczaniu strat należy uwzględnić przewężenie strugi, jak
pokazano na rys.3.8.
Rys. 3.8. Schemat zwężenia przekroju
przepływu
Wychodząc z równania zachowania pędu dla przekrojów 2 i 3 otrzyma się:
.
(3.25)
Równanie Bernoullego dla cieczy rzeczywistej w przekrojach 2 i 3 można zapisać w postaci:
- dla z
2
= z
3
:
,
a więc:
.
(3.26)
3
3
2
2
2
3
3
v
Q
v
Q
p
p
A
str
2
3
3
2
2
2
p
2
v
p
2
v
p
2
v
2
v
p
p
p
2
3
2
2
3
2
str
Stosując równanie ciągłości przepływu w postaci:
i wprowadzając do równania (3.25) otrzyma się:
,
,
.
(3.27)
Wstawiając równość (3.27) do równania (3.26) otrzyma się wyrażenie na stratę ciśnienia w
przypadku przekroju przepływu:
,
,
(3.28)
ale z równania ciągłości przepływu wynika:
,
gdzie:
k
- współczynnik przewężenia (kontrakcji).
3
3
3
2
v
A
Q
Q
3
2
2
2
3
3
v
v
Q
p
p
A
3
2
3
3
2
3
3
v
v
v
A
p
p
A
3
2
3
2
3
v
v
v
p
p
2
v
2
v
v
v
v
p
2
3
2
2
2
3
2
3
str
2
v
v
p
2
3
2
str
k
2
3
3
2
1
A
A
v
v
(3.29)
Wobec tego współczynnik oporu
miejscowego wyniesie:
.
(3.30)
Stratę ciśnienia pomija się w tych
przypad-kach, gdy przejście z przekroju
1 do przekroju 2 jest łagodne. Wpływ
kształtu krawędzi wlotowych i sposobu
przejścia do przewężenia na
współczynnik kontrakcji
oraz współczynnik oporu miejscowego
przedstawiono w tabeli 3.1.
2
v
1
1
p
2
3
2
k
str
Tabela 3.1
Wartości współczynnika kontrakcji
k
i
współczynnika
strat
dla różnych kształtów krawędzi
wlotowych.
2
k
1
1
Porównanie między współczynnikiem oporu miejscowego
a współczynnikiem wypływu
w
Porównując prędkości przepływu liczone ze straty ciśnienia na oporze miejscowym oraz
liczone z natężenia przepływu cieczy przez dany opór miejscowy otrzymuje się:
oraz:
i ostateczną zależność:
.
(3.31)
W technice sterowania podstawowym problemem jest ustalenie natężenia przepływu przy
zadanym oporze p, dlatego też stosuje się współczynnik wypływu
w
. Natomiast w
dziedzinie przenoszenia energii bardziej interesującym zagadnieniem jest występowanie
straty, a więc znajduje tu zastosowanie współczynnik oporów miejscowych .
p
2
A
Q
w
p
2
v
w
2
v
2
p
p
2
1
v
1
w
W elementach sterowania i regulacji znajdujących zastosowanie w napędach
hydraulicznych współczynnik wypływu
w
zmienia się w granicach od 0,6 do 0,8. Wartość
tego współczynnika zależy od kształtu krawędzi sterującej (zaokrąglona lub ostra) oraz
liczby Reynoldsa. Współczynnik
w
jest tym większy, im większy jest promień
zaokrąglenia. Zależność tę przestawia rys.3.9.
3.4.2. Zmiany kierunku przepływu
Zmiany kierunku przepływu występować będą w elementach złącznych, takich jak
trójniki, kolanka, złącza, jak również w przewodach odgiętych. Jedynym istotnym
przekrojem odniesienia dla wymienionych elementów jest przekrój wewnętrzny
przewodu do połączenia. Wartości współczynników x tych elementów zmieniają się w
stosunkowo wąskich granicach.
Wartości tych współczynników wynoszą:
- złączka prosta (proste przejście przez trójnik) = 0,5
- kolano
= 1,0
- złącze kątowe
= 2,0 ÷ 3,0
-zawory, kurki, zasuwy
= 3,0 ÷ 6,0.
Dokładniejsze określenie tych wartości wymaga oczywiście uwzględnienia wymiarów i
kształtów elementów.
Rys. 3.9. Zależność współczynnika
wypływu
w
dla rozdzielacza suwakowego
Dla kolan powstałych w wyniku gięcia przewodów rurowych współczynnik oporu
miejscowego zależy od stosunku promienia zgięcia do średnicy wewnętrznej przewodu
(rys.3.10). Jak wynika z rys.3.10, przy stosunku promienia zgięcia do średnicy R/d
w
> 2,5
można przyjmować współczynnik = 0,14.
W przypadku kątów gięcia mniejszych od /2 zaleca się wyznaczać współczynnik oporu
miejscowego z zależności:
.
(3.32)
Rys. 3.10. Zależność współczynnika straty miejscowej przewodu odgiętego
o kąt /2
2
/
2
3.4.3. Elementy układu hydraulicznego
Elementy układu hydraulicznego stanowią elementy oporowe, w których współczynnik oporu
miejscowego będzie zawsze odnoszony do minimalnego geometrycznego pola przekroju
przepływowego, a jego wartość będzie można oszacować na podstawie analizy kształtu kanału
przepływowego. Należy jednak pamiętać, że wartości współczynników mniejsze od 1 występują
rzadko. W tabeli 3.2 zestawiono współczynniki dla dyszy i rozdzielaczy przedstawionych
schematycznie na rys.3.11.
Tabela 3.2
Współczynniki oporu miejscowego
zależne
od elementu oporowego
Rys. 3.11. Schematy elementów
hydraulicznych:
a) dysza, b), c) - rozdzielacz
Warunki przepływu w elementach sterowania natężeniem przepływu lub ciśnieniem są, ze
względu na złożoność ich konstrukcji, tak bardzo nieprzejrzyste, że określenie strat
ciśnienia odbywa się poprzez wyznaczenie charakterystyk oporu przepływu, tj. określenie
zależności p = f(Q). Nie wyznacza się najczęściej współczynników oporów miejscowych,
lecz przedstawia się pełną charakterystykę wyznaczoną na drodze eksperymentalnej.
Straty ciśnienia w filtrach najczęściej podają producenci tak samo jak dla pozostałych
elementów w postaci charakterystyk oporu przepływu. Jedynie w przypadku filtrów
utworzonych przez kalibrowane otwory lub kanały rozłożone równolegle bądź szeregowo
wzdłuż drogi przepływu, podlegające sformułowanym uprzednio prawom, proponuje się
ustalać współczynniki oporów miejscowych.
Praktycznie biorąc, jeżeli pominie się niektóre zgrubne metalowe filtry siatkowe stosowane
z dużymi stratami ciśnienia, będziemy mieli do czynienia z przepływem laminarnym.
Dla filtru utworzonego z N równoległych kanałów elementarnych o przekroju kołowym o
średnicy d i długości l, strata ciśnienia zgodnie z równaniem Hagena-Poiseuille’a wyniesie:
.
Kanały elementarne bardzo często nie są regularne ani identyczne. Wiadomo tylko, że
liczba ich jest proporcjonalna do powierzchni filtrującej A i straty ciśnienia odnosić
będziemy do tej powierzchni, wprowadzając parametry l i d do stałej charakteryzującej
rozważany typ filtru. Wyrażenie na straty ciśnienia w filtrach przyjmie więc postać ogólną:
, (3.33)
gdzie: k - współczynnik podawany przez producenta.
Q
d
l
128
N
1
p
4
Q
A
k
p
Wartości współczynnika k zależne są od rodzaju elementu filtrującego oraz od
dokładności filtrowania. Zmienia się on w granicach dość szerokich, a mianowicie od
1,2 do 120. Porównując wyrażenia (3.33) z ogólną postacią strat ciśnienia na oporze
miejscowym (3.19) można wyznaczyć współczynnik oporu miejscowego dla filtru jako:
.
(3.34)
3.4.4. Długość zastępcza dla strat miejscowych
Długością zastępczą nazywa się taką jego pomyślaną długość, która wywołuje stratę
ciśnienia równą stracie spowodowanej przez opór miejscowy. Długość zastępczą można
wyznaczyć porównując równanie Darcy’ego (3.15) z równaniem ogólnym na stratę
ciśnienia na oporze miejscowym (3.19):
,
skąd:
,
.
(3.35)
v
k
2
g
2
v
g
2
v
d
l
2
2
z
d
l
z
d
l
z
Układ hydrauliczny składa się z szeregu elementów połączonych ze sobą szeregowo bądź
równolegle za pomocą odcinków przewodów. W obliczeniach chodzi głównie o określenie
całkowitej straty ciśnienia między wylotem z generatora ciśnienia a dolotami do odbiorników.
Wartość tej straty rzutuje na dobór parametrów pompy oraz decyduje o sprawności
hydraulicznej układu.
3.5.1. Szeregowe łączenie oporów
Przy szeregowym łączeniu elementów oporowych w gałąź natężenie przepływu czynnika jest
wartością stałą, a całkowita strata ciśnienia jest sumą strat dla poszczególnych oporów:
,
.
(3.36)
Z drugiej strony całkowita strata ciśnienia równa się:
.
Po porównaniu jej z równaniem (3.36) otrzyma się zależność na całkowity współczynnik oporu
miejscowego:
.
(3.37)
2
2
2
i
c
A
Q
2
v
2
p
p
i
2
2
c
A
Q
2
p
2
2
c
A
Q
2
p
i
2
c
2
A
A
3.5. Całkowita strata ciśnienia w sieci układu
hydraulicznego
Przy stałych przekrojach przepływu całkowity współczynnik oporu miejscowego wyniesie:
.
Jeżeli natomiast rozważane elementy są zwężkami oporowymi o takich samych wartościach
współczynnika, to powierzchnia A
r
otworu zwężki równoważnej zdefiniowana jest następująco:
.
(3.38)
Zależność ta wyraża bardzo istotną sprawę, a mianowicie, że jeżeli w obwodzie
hydraulicznym połączonych jest szeregowo kilka zwężek i jeżeli jedna z nich jest
wyraźnie mniejsza od pozostałych, to obecność pozostałych zwężek można pominąć.
Przy połączeniu szeregowym oporów składających się z przewodów prostoosiowych oraz
elementów oporowych z założeniem stałego przekroju przepływu całkowitą stratę ciśnienia
można określić z równania (3.39):
.
(3.39)
Operując długościami zastępczymi dla poszczególnych przeszkód miejscowych można
wyrażenie (3.39) przedstawić w postaci:
,
gdzie: l – długości geometryczne odcinków prostoosiowych, l
z
– długości zastępcze elementów
oporowych
i
o
2
2
r
A
1
A
1
2
v
d
l
p
2
c
2
v
d
l
l
p
2
z
c
3.5.2. Równoległe łączenie oporów
Dla równoległego połączenia oporów natężenie przepływu w przewodzie dolotowym do
rozwidlenia równe jest sumie natężeń przepływu w poszczególnych gałęziach.
Strata ciśnienia w połączeniu równoległym jest stała.
Wychodząc z tych ustaleń można określić natężenie przepływu całkowite w rozpływie
równoległym:
,
oraz w gałęziach równoległych jako:
.
A zatem wychodząc z równania ciągłości przepływu można ustalić, że
,
a więc:
,
skąd ostatecznie otrzyma się:
.
(3.40)
c
c
A
p
2
Q
A
p
2
Q
Q
Q
c
i
c
A
p
2
A
p
2
i
c
A
A
Przy założeniu, że przekroje przepływu wszystkich elementów oporowych są jednakowe,
związek (3.40) można przedstawić w postaci:
.
(3.41)
Jak wynika z równania (3.41), zdwojenie przewodu powoduje 4-krotne zmniejszenie
wypadkowego współczynnika
c
, gdyż:
.
Rozważmy rozpływ cieczy równoległy jak na rys.3.12. Strata ciśnienia w rozpływie tym jest
stała i może zostać określona według ogólnej zależności:
,
gdzie:
.
Rys. 3.12. Schemat rozpływu równoległego
cieczy
i
c
1
1
4
c
2
2
1
2
2
1
1
v
v
v
p
2
d
l
l
z
Z powyższego wynika, że:
, , ,
oraz wprowadzając wielkości te do równania ciągłości przepływu w postaci:
A·v = A
1
·v
1
+ A
2
·v
2
,
otrzyma się:
.
Przekształcając i porządkując wyrażenie uzyskuje się związek na współczynnik f w postaci
ostatecznej:
.
(3.42)
Wobec powyższego całkowita strata ciśnienia w rozpływie równoległym zostanie wyznaczona z
równania (3.43):
.
(3.43)
1
1
p
v
2
2
p
v
p
v
2
2
1
1
A
A
A
2
1
2
2
1
2
1
A
A
A
2
2
1
2
2
1
2
1
2
v
A
A
A
v
p
Wyznaczenie współczynników
1
i
2
wymaga określenia liczb Reynoldsa w gałęziach 1 i 2. W
tym celu nieodzowna jest znajomość prędkości przepływu v
1
i v
2
.
Wychodząc ze strat ciśnienia dla przepływu laminarnego oraz równości ich w gałęziach 1 i 2
otrzyma się:
p
1
= p
2
,
,
lub
oraz
A·v = A
1
· v
1
+ A
2
· v
2
otrzyma się:
,
(3.44)
,
(3.45)
gdzie: l
1
, l
2
– są długościami całkowitymi, tj. sumą długości geometrycznej i zastępczej.
Wyznaczenie prędkości v
1
i v
2
pozwala na określenie Re i l oraz odpowiednio współczynników:
, .
2
2
2
2
2
1
1
1
d
v
l
32
d
v
l
32
2
2
2
1
1
1
A
v
l
A
v
l
2
1
2
2
2
1
1
2
A
l
A
l
A
v
A
l
v
1
2
1
1
2
2
2
1
A
l
A
l
A
v
A
l
v
2
d
l
l
1
1
z
1
1
1
2
d
l
l
2
2
z
2
2
2
Wyznaczenie całkowitych strat ciśnienia w sieci układu hydraulicznego pozwala na ustalenie
wartości sprawności hydraulicznej przewodów.
Wychodząc z oznaczeń podanych na rys.3.13 sprawność hydrauliczna instalacji przewodów
wyniesie:
.
(3.46)
Przy czym ciśnienie tłoczenia pompy p
t
równe jest odpowiednio ciśnieniu p
d
silnika
hydraulicznego powiększonemu o straty ciśnienia p
1
ip
2
, a więc:
p
t
= p
d
+ p
1
+ p
2
= p
d
+ p
.
Rys. 3.13. Schemat układu hydraulicznego
3.6. Sprawność hydrauliczna przewodów
t
d
R
p
p
Wprowadzając tę zależność do równania (3.46) otrzyma się związek na sprawność
hydrauliczną sieci układu hydraulicznego w postaci:
.
(3.47)
Stosując zależność (3.39) można związek na sprawność hydrauliczną przewodów
przedstawić następująco:
.
(3.48)
W równaniu (3.48) l przedstawia sumę długości geometrycznych przewodów w instalacji
hydraulicznej, natomiast sumę miejscowych oporów przepływu w przewodach.
Z równości (3.48) wynika więc, że:
im wyższe ciśnienie robocze w układzie, tym sprawność instalacji hydraulicznej
jest większa. Sprawność ta zależy głównie od prędkości przepływu cieczy. Im
prędkość jest większa, tym z kwadratem w przypadku przepływu burzliwego
oraz liniowo w przypadku przepływu uwarstwio-nego zmniejsza się wartość
sprawności. Wzrost oporów przepływu w przewodach prowadzi do zmniejszenia
sprawności hydraulicznych przewodów.
t
d
R
p
p
1
p
p
1
1
d
l
2
v
p
1
1
2
t
R
Sprawność hydrauliczną elementów hydraulicznych definiuje się zgodnie z oznaczeniami na rys.
3.13 jako stosunek ciśnienia na wyjściu z elementu do ciśnienia na wejściu, a więc:
(3.49)
W związku (3.49) spadek ciśnienia p na elemencie hydraulicznym może być określony z
charakterystyki oporów przepływu elementu bądź przez znaną wartość współczynnika oporu
miejscowego . W tym przypadku strata ciśnienia wynosi:
a więc związek (3.49) przekształci się w postać:
(3.50)
3.7. Sprawność hydrauliczna elementów
hydraulicznych
Rys. 3.13. Elementy hydrauliczne z oznaczeniem
wielkości do obliczania strat
hydraulicznych:
a - zawór dławiący, b - zawór
jednostronnego
dławienia, c - pompa wyporowa, d –
filtr
we
we
we
we
wy
he
p
p
1
p
p
p
p
p
2
v
p
2
2
we
he
v
p
2
1
W przypadku połączenia szeregowego bądź też równoległego elementów współczynnik
przyjmuje postać całkowitego współczynnika oporów
c
, a mianowicie:
dla połączenia szeregowego
dla połączenia równoległego
Jak wynika z równania (3.50) sprawność elementu hydraulicznego jest tym większa, im
ciśnienie na wejściu a więc ogólnie ciśnienie robocze w układzie jest większe. Ze wzrostem
prędkości przepływu oraz współczy-nników oporów miejscowych spada wartość sprawności
hydraulicznej elementu bądź też elementów układu hydraulicznego. Często sprawność
hydrauliczna ujmuje również straty mechaniczne, które są w pewnych przypadkach trudne do
wyodrębnienia. Za przykład niech posłuży analiza sprawności hydraulicznej pompy wyporowej
(rys. 3.13). Sprawność hydrauliczno-mechaniczna pompy wyporowej określa się jako:
(3.51)
gdzie: M
rz
- rzeczywisty moment obrotowy na wale pompy, M
t
- teoretyczny moment obrotowy
pompy.
Moment rzeczywisty M
rz
jest sumą momentu teoretycznego M
t
, momentu wynikającego ze
strat tarcia cieczy Mv, momentu wynikającego ze strat związanych z gęstością cieczy M
,
momentu wynikającego
ze strat proporcjonalnych do obciążenia pompy M
p
, oraz stałego momentu oporu ruchu M
K
, a
więc:
(3.52)
i
c
i
c
1
1
rz
t
hp
M
M
K
p
v
t
rz
M
M
M
M
M
M
Wprowadzając zależność (3.52) do równości (3.51) otrzymuje się związek na sprawność
hydrauliczną pompy jako:
oraz
(3.53)
Moment teoretyczny M
t
pompy wyporowej określa się związkiem:
Moment M
v
związany ze stratą tarcia cieczy można ogólnie przedstawić zależnością:
(3.54)
gdzie: - lepkość dynamiczna cieczy na wlocie pompy, n - prędkość obrotowa wałka pompy.
Współczynnik proporcjonalności c
v
zależny jest od wydajności właściwej pompy oraz
wymiarów szczelin przepływu cieczy roboczej. Moment M związany jest ze stratą będącą
następstwem gęstości cieczy. Według Wilsona M
wynosi:
(3.55)
gdzie: - gęstość cieczy roboczej.
K
p
v
t
t
hp
M
M
M
M
M
M
t
K
t
p
t
t
v
hp
M
M
M
M
M
M
M
M
1
1
2
q
p
M
p
t
nq
c
M
v
v
5
2
q
4
n
c
M
Współczynnik c
zależny jest od wydajności właściwej q oraz od rozmieszczenia i wymiarów
powierzchni przekazujących energie mechaniczną na energię kinetyczną cieczy w pompie.
Moment M
p
związany jest głównie ze stratami mechanicznymi proporcjonalnymi do ciśnienia
pracy pompy:
(3.56)
Moment ten występu je we wszystkich typach pomp wyporowych. Straty tego rodzaju
związane są z ciśnieniem p i powierzchnią A
p
,na jaką ono oddziałuje. Dodając te straty w
pompie można związek (3.56) zapisać w postaci:
(3.57)
gdzie: f - współczynnik tarcia w łożyskach, r - promień na którym działa siła tarcia T = pA
p
f.
Porównując związek (3.57) z (3.56) otrzyma się wyrażenie na współczynnik c
p
, a mianowicie:
(3.58)
Wynika stąd, że współczynnik c
p
zależy od wydajności właściwej pompy q oraz sił
obciążających łożyska.
Moment M
K
jest wywołany jakością i rodzajem uszczelnień i ewentualnym niewłaściwym
montażem elementów pompy. W dobrych pompach wyporowych wartość tego momentu jest w
stosunku do pozostałych omawianych momentów mała i może zostać pominięta.
Przebieg momentu rzeczywistego oraz poszczególnych momentów strat w funkcji prędkości
obrotowej przedstawiono schematycznie na rys. 3.14.
2
q
p
c
M
p
p
p
r
f
A
p
M
p
p
q
r
f
A
2
c
p
p
Rys. 3.14. Zależność momentu na wale
pompy
od prędkości obrotowej
Stosując zależności (3.54), (3.55) i (3.56) i wprowadzając je do związku (3.53) otrzyma się
wyrażenie na sprawność hydrauliczną pompy wyporowej w postaci:
(3.59)
Sprawność hydrauliczna pompy wyporowej wzrasta ze wzrostem ciśnienia pracy jednostki
wyporowej p oraz ze zmniejszeniem wydajności właściwej q. Istotny wpływ na sprawność
hydrauliczną pompy mają parametry eksploatacyjne, jak lepkość, gęstość cieczy roboczej i
prędkość obrotowa wałka pompy.
Ze wzrostem tych wielkości następuje obniżenie
spraw-ności hydraulicznej. W przypadku silników
hydraulicz-nych wyporowych sprawność
hydrauliczno-mechaniczna jest określona
związkiem:
(3.60)
Przy czym moment M
rz
na wale silnika
hydraulicznego wynosi:
M
rz
= M
t
- M
v
– M
- M
p
– M
K
(3.61)
p
3
p
2
p
p
p
p
p
p
v
hp
c
q
n
p
2
c
n
p
2
c
1
1
t
rz
hs
M
M
Wprowadzając do równania (3.61) wyrażenia (3.54), (3.55), (3.56) otrzymuje się:
(3.62)
Pomijając stałą wartość momentu oporu ruchu M
K
i wstawiając równanie (3.62) do wyrażenia
(3.60) uzyskuje się postać na sprawność hydrauliczną silnika wyporowego:
i po przekształceniu
(3.63)
Sprawność hydrauliczna silnika wyporowego
hs
, zależy od parametrów eksploatacyjnych
silnika. Im obciążenie jest większe, tym sprawność hydrauliczna jest większa. Wzrost
natomiast chłonności właściwej silnika q i lepkości, gęstości cieczy oraz prędkości obrotowej
prowadzi do obniżenia sprawności.
Ks
s
s
p
5
s
2
s
s
s
s
s
v
s
s
rz
M
2
q
p
c
q
4
n
c
q
n
c
2
q
p
M
2
q
p
2
q
p
c
q
4
n
c
q
n
c
2
q
p
s
s
s
s
p
5
s
2
s
s
s
s
s
v
s
s
hs
ps
3
s
2
s
s
s
s
s
s
s
vs
hs
c
q
n
p
2
c
n
p
c
2
1
Każdy układ hydrauliczny można
sprowadzić do postaci zredukowanej, w
której występować będą podstawowe
cztery grupy elementów hydraulicznych.
Grupy te to przede wszystkim: generator
energii cieczy, a więc pompa wypo-rowa,
silnik hydrauliczny jako zmiennik energii
cieczy na energię mechaniczną, układ
przewo-dów oraz układ elementów
sterowania i regulacji (rys. 3.15).
3.8. Sprawność hydrauliczna
układu
Przyjmując taką strukturę układu hydraulicznego, w którym przepływ mocy jest szeregowy,
można określić sprawność hydrauliczną całkowitą układu jako iloczyn odpowiednich
sprawności:
hc
=
hp
·
he
·
hs
·
R
· (3.64)
Wprowadzając do równania (3.64) związki na poszczególne sprawności hydrauliczne otrzyma
się:
(3.65)
Rys. 3.15. Zredukowany układ hydrauliczny z
oznaczeniem
wielkości do określenia strat
hydraulicznych
Jak wynika ze wzorów (3.64) i (3.65), sprawność hydrauliczna układu jest tym większa, im
większe jest obciążenie w układzie oraz im większe są poszczególne sprawności
elementarne grup strukturalnych. Częstym przypadkiem jest konieczność określenia
sprawności hydraulicznej instalacji łączącej pompę z silnikiem hydraulicznym. Ocena tej
sprawności pozwala na ustalenie stopnia prawidłowości doboru elementów i przewodów dla
określonego układu hydraulicznego. Wychodząc z oznaczeń na rys. 3.15 można sprawność
określić jako:
hi
=
he
·
R
(3.66)
oraz
Zgodnie z rys. 3.15 można wprowadzić oznaczenia na całkowite straty ciśnienia w układach
elementów hydraulicznych p
c1
oraz w przewodach p
c2
, a zatem:
(3.67)
a więc:
1
2
t
1
t
2
hi
p
p
p
p
p
p
1
2
c
1
t
1
c
t
hi
p
p
p
p
p
p
1
2
c
t
1
c
hi
p
p
1
p
p
1
Korzystając z oznaczeń na rys. 3.15 można wyrażenie (3.67) przedstawić w
postaci:
oraz ostatecznie:
(3.69)
1
c
t
2
c
t
1
c
hi
p
p
p
1
p
p
1
t
2
c
t
1
c
hi
p
p
p
p
1
Wprowadzając do powyższego związku zależności na straty ciśnień p
c1
i p
c2
otrzyma
się:
(3.68)
d
l
v
p
2
1
v
p
2
1
2
1
2
c
t
hi
Document Outline