Siły przekrojowe w 

ustrojach 

prętowych

Prezentację wykonała:

Magdalena Badlik gr 1

 

 

Siła wewnętrzna

      Obciążenie przyłożone do elementu 

konstrukcyjnego powoduje powstanie 

w nim pewnych sił, które można 

nazwać siłami wewnętrznymi. Siły te 

wywołują w materiale stan wytężenia, 

który może doprowadzić do 

zniszczenia elementu. Można w dużym 

uproszczeniu powiedzieć, że 

projektowanie polega na doborze 

materiału i kształtu przekroju w taki 

sposób, aby przy danym obciążeniu i 

schemacie statycznym, element nie 

uległ zniszczeniu. 

      Siłą wewnętrzną nazywamy 

funkcję wektorową 2 wektorów - 

wektora wodzącego punktu A i 

wersora normalnego płaszczyzny, 

określającą wypadkową sił 

międzycząsteczkowych działających 

między wszystkimi punktami części II, 

wyznaczonej przez tę płaszczyznę i 

dowolnym punktem materialnym A 

leżącym na płaszczyźnie i należącym 

do części I. 

 

 

Siły przekrojowe w 
konstrukcjach prętowych



Aby wyznaczyć zredukowany układ sił wewnętrznych {WII} , 
t.z. wyznaczyć wektor sumy S {WII} i wektor momentów Mo 
{WII}, należy skorzystać z twierdzenia równoważności układu 
sił zewnętrznych i wewnętrznych. Zredukowanego układu sił 
wewnętrznych poszukujemy w przekroju poprzecznym pręta, 
a środek redukcji jest środek ciężkości przekroju „O”

 

 

Siły przekrojowe



Składowe tak wyznaczonego wektora sumy i 
momentu nazywamy siłami przekrojowymi

 

 

Twierdzenie o równoważności 
układów zewnętrznych i 
wewnętrznych



Dla całego pręta równania 
równowagi sił są następujące:

 

 

Twierdzenie o równoważności 
układów zewnętrznych i 
wewnętrznych



Równania te napisane dla części I  i II pręta to:

 

 

Twierdzenie o równoważności 
układów zewnętrznych i 
wewnętrznych

Praktyczne wnioski jakie wynikają z analizy powyższych 

twierdzeń:

1.

Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w 

punkcie K działających na I część pręta wystarczy w tym 

punkcie zredukować układ sił zewnętrznych przyłożonych 

do II części pręta

2.

Do wyznaczenia wewnętrznych sił przekrojowych w 

punkcie K działających na II część pręta wystarczy w tym 

punkcie zredukować siły zewnętrzne przyłożone do I części 

pręta

 

 

Podstawowe przypadki 
redukcji

Układ zewnętrznych {ZI} = {WII} może redukować się w środku 

ciężkości przekroju poprzecznego do:



Wypadkowej, prostopadłej do przekroju poprzecznego (siła 

osiowa, normalna, podłużna). Jest równa sumie rzutów 

wszystkich siła działających z lewej (prawej) strony 

rozważanego przekroju na kierunek prostej stycznej do osi 

pręta.

      Siła podłużna jest dodatnia jeśli działa na przekrój 

rozciągająco i jest ujemna gdy działa ściskająco.  

 

 

Podstawowe przypadki 
redukcji



Pary sił leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego, a zatem 

pary o wektorze momentu normalnego do przekroju (moment 

skręcający)



Wypadkowej, leżącej w płaszczyźnie przekroju poprzecznego (siła poprzeczna, ścinająca, tnąca). Jest równa sumie rzutów 

wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony rozważanego przekroju, na kierunek prostej prostopadłej do osi pręta.

     

 

 

Moment zginający

   Pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju poprzecznego, a 

zatem pary o wektorze momentu leżącym w płaszcz. przekroju 

( moment zginający) Jest równy sumie momentów statycznych 

wszystkich sił działających z lewej (prawej) strony rozważanego 

przekroju, liczony względem środka ciężkości tego przekroju. Moment ten 

jest dodatni, gdy rozciągane są włókna spodu pręta. Moment określony 

jako ujemny, jeżeli jego działanie powoduje ściskanie przyjętych spodów.

 

 

Układ własny przekroju 
poprzecznego



Przy poszukiwaniu sił przekrojowych (poprzez redukcję 
obciążenia zewnętrznego) rezygnuje się z globalnego 
układu współrzędnych (x,y) na rzecz układu lokalnego 
związanego z przekrojem poprzecznym. Układ taki 
nosi nazwę ukł. własnego przekroju poprzecznego. 

 

 

Zależności różniczkowe 
dla pręta prostego

Twierdzenie Szwedlera-Żuwawskiego podaje 

zależności różniczkowe pomiędzy 
obciążeniami pręta, a siłami przekrojowymi. 
Przeanalizujemy równowagę części myślowo 
wyciągniętego pręta

 

 

 

 

Zależności różniczkowe 
dla pręta prostego

Z twierdzenia wynika, że:



Pochodna momentu zginającego , równa się sile 

tnącej



Z pochodnej siły tnącej, dostajemy wartość 

obciążenia ciągłego , działającego na ten element.

 

 

Wykresy sił 
przekrojowych



Graficzna prezentacja sił wewnętrznych jest 
bardzo ważna, gdyż na jej podstawie można 
uzyskać dużo informacji. Wykresy 
sporządzamy, odkładając od osi pręta, w 
obranej skali, rzędne odpowiednich funkcji. 
Rysując wykresy sił wewnętrznych, przyjmuje 
się konwencję, według której wartości dodatnie 
momentów umieszcza się po stronie spodu 
pręta, a ujemne po stronie przeciwnej. Wykresy 
sił poprzecznych rysuje się odwrotnie, czyli po 
stronie spodu odkłada się wartości ujemne.

 

 

Rysowanie wykresów sił 
przekrojowych

Z twierdzenia Swedlera-Zurawskiego wynika, także :



W przedziale, dla którego q(x)=0, siła tnąca jest 

stała zaś moment zginający jest funkcja liniową



Tam , gdzie q(x)= const i q(x)≠0, wykres siły 

tnącej jest funkcja liniową, zaś wykres momentów 

zginających funkcją kwadratową



Tam gdzie siła tnąca jest dodatnia, wykres 

momentów zginających jest rosnąca



Tam gdzie siła tnąca zeruje się, moment zginający 

osiągnie ekstremum; zerowanie siły tnącej 

występuje na części przedziału 

charakterystycznego, to na tej części wykres 

momentów zginających jest stały

 

 



Tam, gdzie jest przyłożona siła 

skupiona, w wykresie sił tnących 

następuje skok o rzut tej siły na 

osi (Q), w wykresie sił osiowych 

skok o rzut tej siły na kierunek 

(N), zaś w wykresie momentów 

zginających następuje zmiana 

nachylenia stycznej do wykresu, 

gdyż zmienia się dM/dx=Q. 

Załamanie to jest zawsze w tą 

stronę, jaka pokazuje strzałka siły 

skupionej w tym punkcie



Tam, gdzie jest moment skupiony, 

para sił o wartości mementu w 

wykresie momentów zginających 

następuje przeskok o wartości 

tego momentu.



Wykres momentów zginających 

jest zakrzywiony (załamany) 

wypukłością w stronę, w która 

działa obciążenie ciągłe (siła 

skupiona)

 

 

Kilka przykładów 
wykresów

 

 

Kratownica



Siły przekrojowe w prętach 

kratownicy redukują się do sił 

osiowych.



Jeżeli przy zadanym obciążeniu 

siła osiowa w pręcie będzie równa 

zero, to taki pręt nazywamy 

prętem zerowym. I tak jeśli w 

węźle kratownicy schodzą się 

dwa pręty i jest on nieobciążony 

silami zewnętrznymi ,to pręty te 

są zerowe.



Gdy w węźle schodzą się trzy 

pręty , z których dwa są 

równoległe i węzeł jest 

nieobciążonym siłami 

zewnętrznymi, to trzeci jest 

zerowy

 

 

Kratownica

Siły w pozostałych prętach można 

wyznaczyć kilkoma metodami. Należą 
do nich:



Metoda równoważenia węzłów



Metoda Rittera



Plan Cremony



Metoda elementów skończonych



Metoda punktów masowych i inne

 

 

Metoda równoważenia 
węzłów



W metodzie tej dla każdego węzła kratownicy 
wypisujemy po dwa równania równowagi sił. 
Dlatego zaczynamy od węzła, w którym schodzą 
się najwyżej dwa pręty. Po wyznaczeniu sił w 
tych prętach przechodzimy do kolejnego węzła.

 

 

Metoda Rittera



Metoda polega na myślowym przecięciu kratownicy na dwie 

części przez nie więcej niż trzy pręty. Każda z tych części 

musi być w równowadze przy działających siłach 

zewnętrznych zrównoważonych siłami osiowymi w prętach, 

przez które został przeprowadzony ten myślowy przekrój.



Pisząc dla jednej części trzy równania równowagi sił 

obliczmy z nich siły osiowe w prętach.

 

 

Dziękuję za uwagę!!

Dziękuję za uwagę!!