Wykład 3
projektowanie filtrów
cyfrowych
Lecture 3
digital filters design
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Wykład 3
projektowanie filtrów
cyfrowych
Lecture 3
digital filters design
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
PROJEKTOWANIE FILTRÓW CYFROWYCH
Filtr cyfrowy jest liniowym układem dyskretnym, niezmiennym względem
przesunięcia, zrealizowany za pomocą arytmetyki o skończonej
precyzji
etapy projektowania:
- określenie pożądanych parametrów układu
- aproksymacja tych parametrów za pomocą przyczynowego układu
dyskretnego
- realizacja za pomocą arytmetyki o skończonej precyzji
Często wymagania na filtr podawane są w postaci przedziałów tolerancji
0
100
200
300
400
500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
pasmo
przepustowe
pasmo
zaporowe
pasmo
przejściowe
częstotliwość
tłumienie
przebieg charakterystyki filtru aproksymowany jest za pomocą funkcji:
- wielomianowej dla filtrów FIR,
- wymiernej dla filtrów IIR.
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
DIGITAL FILTER DESIGN
Digital filter is a discrete linear system, time shift independent, relizaed
by the arithmetic of finite precision
stages of design:
- Identify the desired parameters of the system
- Approximation of these parameters by means of a causal discrete
system
- Implementation using a finite precision arithmetic
The requirements for the filter are often given as ranges of tolerances
0
100
200
300
400
500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
passband
stopband
transcient
band
zejściowe
Frequency
Attenuation
ripple
filter characteristic is approximated by using:
- Polynomial function for FIR filters,
- Fractional function for IIR filters.
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
PROJEKTOWANIE FILTRÓW IIR W OPARCIU O CHARAKTERYSTYKI
FILTRÓW ANALOGOWYCH
Projektowanie to polega na przekształceniu filtru analogowego na filtr
cyfrowy zgodnie z założeniami.
przyczyny:
- zaawansowane metody projektowania filtrów analogowych
- prostota wielu metod analogowych
- filtry cyfrowe niejednokrotnie symulują filtry analogowe
założenia
- przekształcenie powinno zachować zasadnicze właściwości filtru
analogowego
- stabilny filtr analogowy powinien być przekształcony na stabilny filtr
cyfrowy (jeżeli filtr analogowy posiadał bieguny w lewej
półpłaszczyźnie płaszczyzny s to filtr cyfrowy powinien posiadać
bieguny wewnątrz okręgu jednostkowego na płaszczyźnie z)
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
IIR FILTER DESIGN BASED ON THE CHARACTERISTICS OF ANALOG
FILTERS
This design involves converting an analog filter to digital filter in
accordance with the assumptions.
reasons:
- Advanced design methods of analog filters
- Simplicity of many methods for analog filters
- Digital filters often simulate analog filters
Established
- Conversion should retain the essential characteristics of the analog
filter
- A stabile analog filter should be transformed into a stabile digital
filter (if you have an analog filter with poles in the left half-plane of
the plane S, the digital filter should have poles inside the unit circle
on the plane Z)
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
METODA NIEZMIENNOŚCI ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ
Przyjmujemy że, odpowiedź impulsowa filtru cyfrowego jest ciągiem
próbek odpowiedzi impulsowej filtru analogowego, pobranych w
równych momentach czasu.
Można dowieść że, z zależności między transformatą Laplace’a funkcji
h
a
(n) a transformatą Z funkcji h(n) wynika iż, istnieje równość:
zależność pomiędzy argumentami tych funkcji wskazuje że: paski lewej
półpłaszczyzny płaszczyzny s, o szerokości 2/T transformowane są na
wnętrze okręgu jednostkowego na płaszczyźnie z i sumowane
zalety:
- prostota metody
- liniowe odwzorowanie częstotliwości analogowej na cyfrową,
- dobre odtworzenie charakterystyk częstotliwościowych filtrów
wąskopasmowych
wady:
- występuje nakładanie się charakterystyk
- mała dokładność odwzorowania
- metoda nadaje się jedynie do filtrów pasmowo-przepustowych i
dolnoprzepustowych (układów o ograniczonym paśmie przenoszenia)
h n
h nT
a
( )
( )
H z
T
H s j
T
k
z e
a
k
sT
( )
1
2
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
METHOD OF INVARIANT IMPULSE RESPONSE
Assume that, filter impulse response is a sequence of digital samples of
the analog filter impulse response, taken in equal moments of time.
It can be proved that, with the relationship between the Laplace
transform of the function h
a
(n) and the transform of the function h (n)
implies that there is equality:
Relationship between the arguments of these functions indicates that:
strips of the left half-plane, havin a width of 2 / T are transformed
into the interior of the unit circle on the plane to and aggregated.
Advantages:
- Simple method
- Linear mapping of frequency analogue to digital
- Good for narrowband filters
Disadvantages:
- Overlaping characteristics
- Small precision of mapping
- The method is only suitable for passband and lowpass filters
(systems with limited transmission band)
h n
h nT
a
( )
( )
H z
T
H s j
T
k
z e
a
k
sT
( )
1
2
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
TRANSFORMACJA DWULINIOWA
To przekształcenie uzyskano stosując przybliżone wyliczane całki
(metodą trapezów) w równaniu różniczkowym opisującym filtr
analogowy (odpowiednik równania różnicowego dla filtru cyfrowego).
Otrzymano równanie:
dla wartości leżących na okręgu jednostkowym uzyskano zależność
między argumentami funkcji:
- związek pomiędzy częstotliwością analogową i cyfrową jest nieliniowy
- cała lewa półpłaszczyzna płaszczyzny s przekształcana jest na wnętrze
okręgu
jednostkowego
- oś urojona przekształcana jest na okrąg jednostkowy
- częstotliwości = na płaszczyźnie z, odpowiada nieskończona
częstotliwość
analogowa
- nie występuje zjawisko nakładania się charakterystyk.
- metodę można stosować do wszelkich filtrów.
H z
T
H s j
T
k
z e
a
k
sT
( )
1
2
T
tg
2
2
Jerzy Łopatka ITK WEL WAT
BILINEAR TRANSFORMATION
This transformation was obtained using an approximate calculation of
integrals (by trapezoids) in the differential equation that describes an
analog filter (equivalent to a differential equation for the digital filter).
We received the equation:
for the values that lie on the unit circle we obtained relationship
between the arguments of the function:
- The relationship between the analog and digital frequency is non-
linear
- The whole left half-plane of s plane is transformed into the interior of
the unit circle
- The imaginary axis is transformed to the unit circle
- Frequency = on a Z plane is equivalent to an infinite analog
frequency
- There is no overlap between the characteristics of the phenomenon.
- Method can be applied to all filters.
H z
T
H s j
T
k
z e
a
k
sT
( )
1
2
T
tg
2
2