Stabilność układów
automatyki
Stabilność
Stabilność
układu jest cechą polegającą na
układu jest cechą polegającą na
samoczynnym powracaniu do stanu trwałej
samoczynnym powracaniu do stanu trwałej
równowagi po ustaniu działania zakłócenia,
równowagi po ustaniu działania zakłócenia,
które wytrąciło układ z tego stanu.
które wytrąciło układ z tego stanu.
Układ jest
Układ jest
stabilny asymptotycznie
stabilny asymptotycznie
, gdy po
, gdy po
zaniku zakłócenia układ powraca do tego
zaniku zakłócenia układ powraca do tego
samego stanu równowagi co zajmowany
samego stanu równowagi co zajmowany
poprzednio.
poprzednio.
Stabilność układów
automatyki
Rodzaje stabilności:
Rodzaje stabilności:
Stabilność bezwzględna –
Stabilność bezwzględna –
odnosi się do
odnosi się do
warunków przy których układ jest stabilny lub
warunków przy których układ jest stabilny lub
nie.
nie.
Stabilność względna
Stabilność względna
– stopień stabilności
– stopień stabilności
danego układu, gdy jest już zapewniona
danego układu, gdy jest już zapewniona
stabilność.
stabilność.
Stabilność układów
automatyki
Analityczne sformułowanie warunków stabilności
Analityczne sformułowanie warunków stabilności
Należy więc zbadać rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
jednorodnego
u
b
dt
du
b
dt
u
d
b
dt
u
d
dt
dy
dt
y
d
dt
y
d
m
m
m
m
m
n
n
n
n
0
1
1
1
1
m
0
1
1
1
1
-
n
n
...
b
y
a
+
a
+
...
+
a
a
0
y
a
+
a
+
...
+
a
a
0
1
1
1
1
-
n
n
dt
dy
dt
y
d
dt
y
d
n
n
n
n
Rozwiązanie jest suma dwóch rozwiązań:
Rozwiązanie jest suma dwóch rozwiązań:
Ogólnego y
Ogólnego y
0
0
(t)
(t)
Szczególnego y
Szczególnego y
s
s
(t)
(t)
Układ będzie stabilny gdy
Układ będzie stabilny gdy
0
)
(
lim
0
t
y
t
0
a
+
a
+
...
+
a
a
0
1
1
1
-
n
n
s
s
s
n
n
Równanie
charakterystyczne
Stabilność układów
automatyki
Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przybierać
Pierwiastki równania charakterystycznego mogą przybierać
wartości: zerowe, rzeczywiste dodatnie lub ujemne, zespolone z
wartości: zerowe, rzeczywiste dodatnie lub ujemne, zespolone z
częścią rzeczywistą dodatnią, zerową lub ujemną
częścią rzeczywistą dodatnią, zerową lub ujemną
)
10
2
)(
1
(
4
10
G(s)
)
4
)(
1
(
20
G(s)
)
4
)(
1
(
)
1
(
20
G(s)
)
3
2
)(
1
(
)
4
(
20
G(s)
)
3
)(
2
)(
1
(
)
4
(
20
G(s)
2
2
2
2
2
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Układ stabilny
Układ niestabilny z
powodu bieguna s=1
Układ na granicy
stabilności z powodu
biegunów w s=+/-j2
Układ niestabilny z
powodu biegunów
wielokrotnych w s=+/-
j2
Układ niestabilny z
powodu biegunów w
s=1+/-j3
Stabilność układów
automatyki
Kryteria stabilności układów liniowych
Kryteria stabilności układów liniowych
Kryterium stabilności nazywamy twierdzenia które
Kryterium stabilności nazywamy twierdzenia które
bez rozwiązywania równania charakterystycznego
bez rozwiązywania równania charakterystycznego
rozstrzygają problem stabilności.
rozstrzygają problem stabilności.
Rozpatrujemy dwie grupy kryteriów stabilności:
Rozpatrujemy dwie grupy kryteriów stabilności:
a) kryterium analityczne
a) kryterium analityczne
-
kryterium Hurwitza
kryterium Hurwitza
-
kryterium Routha
kryterium Routha
b) kryterium graficzne
b) kryterium graficzne
-
kryterium Nyquista
kryterium Nyquista
-
kryterium Michajłowa
kryterium Michajłowa
Stabilność układów
automatyki
Kryteria
Kryteria
Hurwitza
Hurwitza
i
i
Routha
Routha
są
metodami
są
metodami
algebraicznymi
dostarczającymi
informacji
o
algebraicznymi
dostarczającymi
informacji
o
stabilności absolutnej liniowych układów ciągłych.
stabilności absolutnej liniowych układów ciągłych.
Kryteria te sprawdzają czy są pierwiastki równania
Kryteria te sprawdzają czy są pierwiastki równania
charakterystycznego, które znajdują się w prawej
charakterystycznego, które znajdują się w prawej
półpłaszczyźnie.
półpłaszczyźnie.
Kryterium
Kryterium
Nyquista
Nyquista
jest metodą graficzną dająca
jest metodą graficzną dająca
informację o różnicy pomiędzy liczba biegunów i zer
informację o różnicy pomiędzy liczba biegunów i zer
transmitancji układu zamkniętego które są w prawej
transmitancji układu zamkniętego które są w prawej
półpłaszczyźnie.
półpłaszczyźnie.
Kryterium
Kryterium
Michajłowa
Michajłowa
służy do oceny stabilności
służy do oceny stabilności
układu liniowego jednowymiarowego, a właściwie do
układu liniowego jednowymiarowego, a właściwie do
uzyskania metoda graficzną odpowiedzi na pytanie:
uzyskania metoda graficzną odpowiedzi na pytanie:
ile pierwiastków równania charakterystycznego leży
ile pierwiastków równania charakterystycznego leży
w prawej półpłaszczyźnie.
w prawej półpłaszczyźnie.
Stabilność układów
automatyki
Kryterium Hurwitza
Kryterium Hurwitza
Układ liniowy jest stabilny, jeżeli współczynniki (a
Układ liniowy jest stabilny, jeżeli współczynniki (a
0
0
, a
, a
1
1
, a
, a
n
n
) wielomianu
) wielomianu
charakterystycznego (równania charakterystycznego ) są jednakowych
charakterystycznego (równania charakterystycznego ) są jednakowych
znaków i są różne od zera.
znaków i są różne od zera.
2
3
3
2
3
s
s
s
1
2
2
3
s
s
s
--układ
niestabilny
--układ stabilny
0
1
1
1
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
0
det
H
H
n
Układ liniowy o wielomianie charakterystycznym o postaci
jest stabilny asymptotycznie jeżeli wszystkie kolejne minory główne
macierzy Hurwitza
są dodatnie, tzn. jest spełniony warunek
.
0
1
1
n
a
H
0
3
1
4
2
5
3
1
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
H
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
0
0
3
1
4
2
5
3
1
3
2
3
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
H
a
a
a
a
H
Kryterium Hurwitza- przykład
Kryterium Hurwitza- przykład
Zbadać stabilność układu zamkniętego, jeżeli transmitancja układu otwartego
K(s) wynosi:
K(s)
-
1
3
1
)
(
2
3
s
s
s
s
K
2
3
1
)
(
1
)
(
)
(
2
3
s
s
s
s
k
s
k
s
G
0
1
0
3
0
1
0
2
3
2
1
0
a
a
a
a
2
3
0
0
1
1
0
2
3
H
0
1
1
1
2
3
1
1
2
3
det
)
det(
2
H
0
2
2
3
0
0
1
1
0
2
3
det
)
det(
3
H
0
3
1
4
2
5
3
1
0
0
0
0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
H
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
Stabilność układów
automatyki
Kryterium Routha
Kryterium Routha
Przy użyciu kryterium Rutha możliwe jest również określenie liczby
Przy użyciu kryterium Rutha możliwe jest również określenie liczby
pierwiastków znajdujących się na osi urojonej i w prawej
pierwiastków znajdujących się na osi urojonej i w prawej
półpłaszczyźnie.
półpłaszczyźnie.
Warunek konieczny stabilności:
Warunek konieczny stabilności:
1.
1.
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego musza mieć
Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego musza mieć
ten sam znak
ten sam znak
2.
2.
Żadnego ze współczynników nie może brakować
Żadnego ze współczynników nie może brakować
Warunek konieczny i wystarczający stabilności:
Warunek konieczny i wystarczający stabilności:
Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w
Wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w
lewej półpłaszczyźnie jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny
lewej półpłaszczyźnie jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny
tablicy Routha maja ten sam znak. Liczba zmian znaków w elementach
tablicy Routha maja ten sam znak. Liczba zmian znaków w elementach
pierwszej kolumny równa jest liczbie pierwiastków w prawej
pierwszej kolumny równa jest liczbie pierwiastków w prawej
półpłaszczyźnie.
półpłaszczyźnie.
Stabilność układów
automatyki
Kryterium Routha
Kryterium Routha
Tablica Routha
Tablica Routha
0
1
1
1
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
7
5
3
1
6
4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
0
7
5
3
6
4
2
7
5
3
1
6
4
2
0
3
2
1
a
c
c
c
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
s
s
s
s
s
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
3
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
1
5
1
4
4
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
1
7
1
6
6
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
b
2
4
2
3
1
3
n
n
n
n
n
n
b
b
b
a
a
c
2
6
2
5
1
5
n
n
n
n
n
n
b
b
b
a
a
c
………..
Przypadki szczególne tablicy Routha
1.Pierwszy element w pewnym wierszu tablicy Routha jest zerowy,
lecz nie wszystkie współczynniki sa równe zero
2.Wszystkie elementy pewnego wiersza tablicy Routha sa zerowe.
Kryterium Routha- przykład
Kryterium Routha- przykład
Zbadać stabilność układu zamkniętego, jeżeli transmitancja układu otwartego
K(s) wynosi:
K(s)
-
1
3
1
)
(
2
3
s
s
s
s
K
2
3
1
)
(
1
)
(
)
(
2
3
s
s
s
s
k
s
k
s
G
2
3
2
3
s
s
s
2
3
1
1
2
3
1
2
3
1
1
0
1
2
3
s
s
s
s
3
1
3
2
3
1
1
1
b
0
1
0
3
0
1
0
2
3
2
1
0
a
a
a
a
Stabilność układów
automatyki
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista
Kryterium to ma bardzo duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala
Kryterium to ma bardzo duże znaczenie praktyczne ponieważ pozwala
rozstrzygnąć problem stabilności układu zamkniętego na podstawie
rozstrzygnąć problem stabilności układu zamkniętego na podstawie
charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego, którą można
charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego, którą można
uzyskać na drodze doświadczalnej. Umożliwia ono badanie stabilności
uzyskać na drodze doświadczalnej. Umożliwia ono badanie stabilności
układu zamkniętego, nawet w przypadku nieznajomości opisu
układu zamkniętego, nawet w przypadku nieznajomości opisu
matematycznego niektórych członów układu. W takich przypadkach
matematycznego niektórych członów układu. W takich przypadkach
eksperymentalnie określa się charakterystyki amplitudowo-fazowe
eksperymentalnie określa się charakterystyki amplitudowo-fazowe
oddzielnych członów, a następnie charakterystyki amplitudowo-fazowe
oddzielnych członów, a następnie charakterystyki amplitudowo-fazowe
układu otwartego.
układu otwartego.
.
Stabilność układów
automatyki
.
Warunki stabilności:
1)Jeżeli układ otwarty jest stabilny
To układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy,
gdy charakterystyka amplitudowo- fazowa G(jw.) dla pulsacji
0<w<nieskończoności układu otwartego nie obejmuje punktu (-1,j0).
2)Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i posiada m pierwiastków w
prawej półpłaszczyźnie zmiennej s
To układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy gdy
charakterystyka amplitudowo- fazowa G(jw.) dla pulsacji
0<w<nieskończoności układu otwartego okrąża m/2 razy punkt (-1,j0) w
kierunku dodatnim (przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).
Stabilność układów
automatyki
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista
.
Stabilność układów
automatyki
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista
.
Stabilność układów
automatyki
Definicja stabilności w sensie Lapunova
Definicja stabilności w sensie Lapunova
η
ε
x=0
x
1
x
2
-------stabilny
asymptotycznie
stabilny
…….niestabilny
x=
0
ε
η
Document Outline