Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 7
Stabilność
Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 7
Stabilność
Stabilność
Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do
stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które
wytrąciło układ z tego stanu.
e
y
R
O
z
u
-
+
-
+
y
w
y
t
a)
b)
y
t
1
2
3
4
1
2
3
Stabilność
e
y
R
O
z
u
-
+
-
+
y
w
Zamknięty układ liniowy będziemy uważać za stabilny, jeżeli:
• przy każdej skończonej wartości zakłócenia z(t) i
• przy każdej skończonej wartości zadanej w(t) oraz
• dla dowolnych warunków początkowych
sygnał wyjściowy y(t) dążyć będzie do skończonej wartości ustalonej
dla czasu dążącego do nieskończoności.
Stabilność asymptotyczna
Układ jest stabilny asymptotycznie, gdy po zaniknięciu
zakłócenia układ powraca do tego samego stanu
równowagi co zajmowany poprzednio.
y
t
1
2
3
4
Konieczny i dostateczny warunek stabilności
z
b
dt
z
d
b
dt
z
d
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
0
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
K
K
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
1
s
N
s
M
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
z
s
y
s
G
n
n
n
n
m
m
m
m
=
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
K
K
st
n
k
t
s
k
z
e
A
A
t
y
k
+
=
∑
=1
0
)
(
Jeżeli układ zamknięty opisany jest za pomocą liniowego równania
różniczkowego lub odpowiadającej mu transmitancji operatorowej:
to czasowy przebieg sygnału wyjściowego y(t) po dowolnym
zakłóceniu o wartości skończonej opisany jest wzorem o następującej
postaci ogólnej:
gdzie s
k
są pierwiastkami równania charakterystycznego układu
zamkniętego (mianownika transmitancji operatorowej równego zeru)
0
)
(
=
s
N
Konieczny i dostateczny warunek stabilności
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności
asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania
charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne
części rzeczywiste:
0
)
Re(
<
k
s
st
t
z
A
t
y
0
)
(
lim
=
∞
→
Wówczas:
Ograniczenie stosowalności - trudności wyznaczenia pierwiastków
równania charakterystycznego układów opisanych równaniami
różniczkowymi wyższych rzędów (wyskoki stopień równania
charakterystycznego)
y
t
1
2
3
4
Kryterium Hurwitza
Równanie charakterystyczne:
Równanie charakterystyczne:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
N
s
M
s
z
s
y
s
G
=
=
0
)
(
=
s
N
0
0
1
1
1
=
+
+
+
+
−
−
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
K
Warunek 1
wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją
i są większe od zera (warunek konieczny, ale niedostateczny)
Warunek 1
wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieją
i są większe od zera (warunek konieczny, ale niedostateczny)
0
,
,
0
,
0
0
1
>
>
>
−
a
a
a
n
n
K
Kryterium Hurwitza
Warunek 2 – podwyznaczniki
∆
i
, od i=2 do i=n-1, wyznacznika
głównego
∆
n
są większe od zera. Wyznacznik
∆
n
, utworzony
ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:
Warunek 2 – podwyznaczniki
∆
i
, od i=2 do i=n-1, wyznacznika
głównego
∆
n
są większe od zera. Wyznacznik
∆
n
, utworzony
ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
1
2
3
1
0
0
0
0
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
∆
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Kryterium Hurwitza
0
1
9
4
12
)
det(
2
1
0
3
2
2
0
1
3
0
3
3
4
5
1
2
3
1
3
<
−
=
−
−
=
∆
=
=
∆
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
Przykład:
Przykład:
=
∆
=
1
0
0
0
2
2
1
0
1
3
2
2
0
0
1
3
4
n
0
4
2
6
)
det(
2
2
1
3
2
2
3
1
2
>
=
−
=
∆
=
=
∆
−
−
−
n
n
n
n
a
a
a
a
0
1
2
2
3
)
(
2
3
4
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
s
s
s
s
s
N
Przykład:
Przykład:
0
1
2
3
)
(
3
4
=
+
+
+
=
s
s
s
s
N
Kryterium Michajłowa
0
)
)...(
)(
(
)
(
2
1
=
−
−
−
=
n
n
s
s
s
s
s
s
a
s
N
Kryterium Michajłowa pozwala na wykreślne sprawdzenie stabilności
układu regulacji automatycznej.
Jako zmienną niezależną s możemy wybrać m.in. zbiór punktów
położonych na osi liczb urojonych, wówczas s = jω:
)
)...(
)(
(
)
(
2
1
n
n
s
j
s
j
s
j
a
j
N
−
−
−
=
ω
ω
ω
ω
Każdy z czynników (jω – s
k
) można przedstawić graficznie jako różnicę
dwóch wektorów, wektora jω oraz wektora s
k
przedstawiającego k-ty
pierwiastek równania charakterystycznego.
jω
s
k
s
k
-jω
Im
Re
φ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
n
n
e
j
N
j
N
s
j
s
j
s
j
a
j
N
)
(
)
(
)
)...(
)(
(
)
(
2
1
=
−
−
−
=
c
)
(
funkcji
moduł
oznacza
...
)
(
2
1
ω
ω
ω
ω
ω
j
N
s
j
s
j
s
j
a
j
N
n
n
−
−
−
−
=
.
−
−
+
+
−
+
−
=
=
)
N(j
s
j
s
j
s
j
j
N
n
ω
ω
ω
ω
ω
φ
funkcji
argument
oznacza
)
arg(
...
)
arg(
)
arg(
)
(
arg
2
1
Kryterium Michajłowa
Funkcję N(jω), jako funkcję zmiennej zespolonej, można przedstawić
w postaci wykładniczej:
Kryterium Michajłowa
Jeżeli przyjmujemy, że spośród n pierwiastków równania
charakterystycznego (n-m) pierwiastków znajduje się w lewej
półpłaszczyźnie, a m pierwiastków w prawej, to zmiana argumentu
N(jω) przy zmianie ω od -∞ do +∞ wyniesie:
π
ω
ω
)
(
)
(
arg
m
n
j
N
−
=
∆
∞
<
<
∞
−
π
ω
ω
n
j
N
=
∆
∞
<
<
∞
−
)
(
arg
Warunek stabilności:
Ponieważ N(jω) jest funkcją symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:
K
K
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
7
7
5
5
3
3
1
6
6
4
4
2
2
0
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
a
a
a
a
Q
a
a
a
a
P
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
jQ
P
j
N
+
=
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
jQ
P
j
N
−
=
−
wystarczy więc zbadać przebieg jednej z gałęzi krzywej N(jω), dla pulsacji
zmieniającej się od 0 do +∞.
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
=
+
+
+
+
=
=
−
−
a
j
a
j
a
j
a
j
s
N
n
n
n
n
ω
ω
ω
ω
K
Kryterium Michajłowa
Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy
zmianie pulsacji od 0 do + ∞ wynosi nπ/2, gdzie n oznacza
stopień równania charakterystycznego.
Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(jω) przy
zmianie pulsacji od 0 do + ∞ wynosi nπ/2, gdzie n oznacza
stopień równania charakterystycznego.
2
)
(
arg
π
ω
ω
n
j
N
=
∆
∞
<
<
∞
−
Kryterium Michajłowa
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
→
ω
∞
→
ω
2
0
1
a
a
=
ω
3
1
2
a
a
=
ω
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
a
0
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
n = 2
n = 3
n = 4
a
0
0
Krzywą N(jω) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub
hodografem Michałowa
Krzywą N(jω) nazywa się niekiedy krzywą charakterystyczną lub
hodografem Michałowa
Krzywe charakterystyczne
układów stabilnych
Krzywe charakterystyczne
układów stabilnych
Krzywe charakterystyczne
układów niestabilnych
Krzywe charakterystyczne
układów niestabilnych
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista - pozwala badać stabilność układu (tylko)
zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć
zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie
Kryterium Nyquista - pozwala badać stabilność układu (tylko)
zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki
częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć
zarówno analitycznie, jak i doświadczalnie
G
2
(s)
G
1
(s)
y
w
u
-
+
y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
s
N
s
M
s
G
s
G
s
w
s
u
s
G
O
O
O
=
=
=
Transmitancja układu otwartego:
Transmitancja układu otwartego:
Transmitancja układu zamkniętego:
Transmitancja układu zamkniętego:
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
s
G
s
G
s
G
s
w
s
y
s
G
Z
+
=
=
Kryterium Nyquista
Równanie charakterystyczne
układu otwartego:
Równanie charakterystyczne
układu otwartego:
Równanie charakterystyczne
układu zamkniętego:
Równanie charakterystyczne
układu zamkniętego:
0
)
(
=
s
N
O
0
)
(
)
(
)
(
=
+
=
s
N
s
M
s
N
O
O
Z
Badanie zmiany argumentu funkcji:
Badanie zmiany argumentu funkcji:
)
(
)
(
)
(
1
ω
ω
ω
j
N
j
N
j
G
O
Z
O
=
+
)
(
arg
)
(
arg
)]
(
1
[
arg
0
0
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j
N
j
N
j
G
O
Z
O
∞
<
<
∞
<
<
∞
<
<
∆
−
∆
=
+
∆
Oba równania są stopnia n
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s.
Zgodnie z kryterium Michajłowa:
Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego ma wszystkie pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s.
Zgodnie z kryterium Michajłowa:
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:
2
)
(
arg
0
π
ω
ω
n
j
N
O
=
∆
∞
<
<
2
)
(
arg
0
π
ω
ω
n
j
N
Z
=
∆
∞
<
<
Warunek stabilności układu zamkniętego:
Warunek stabilności układu zamkniętego:
0
)]
(
1
[
arg
0
=
+
∆
∞
<
<
ω
ω
j
G
O
)
(
)
(
)
(
1
ω
ω
ω
j
N
j
N
j
G
O
Z
O
=
+
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Wykres krzywej 1+G
0
(jω) nie może obejmować
początku układu współrzędnych (musi
się zaczynać i kończyć na jednej prostej
wychodzącej z początku układu)
Wykres krzywej 1+G
0
(jω) nie może obejmować
początku układu współrzędnych (musi
się zaczynać i kończyć na jednej prostej
wychodzącej z początku układu)
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest
stabilny i jego charakterystyka
amplitudowo-fazowa G
O
(jω) dla pulsacji ω
od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0), to
wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie
on również stabilny.
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest
stabilny i jego charakterystyka
amplitudowo-fazowa G
O
(jω) dla pulsacji ω
od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0), to
wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie
on również stabilny.
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
1+G
0
(j
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
Kryterium Nyquista- przypadek 1
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
1+G
0
(j
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
1+G
0
(j
ω
)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
Charakterystyki układów, które
po zamknięciu są stabilne
Charakterystyki układów, które
po zamknięciu są stabilne
Charakterystyki układów, które
po zamknięciu nie są stabilne
Charakterystyki układów, które
po zamknięciu nie są stabilne
Kryterium Nyquista- przypadek 1
W przypadku złożonego kształtu krzywych G
O
(jω) wygodnie jest
posługiwanie się z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamknięty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze
leżącym po lewej stronie charakterystyki G
O
(jω), idąc w stronę
rosnących ω.
W przypadku złożonego kształtu krzywych G
O
(jω) wygodnie jest
posługiwanie się z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamknięty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje się w obszarze
leżącym po lewej stronie charakterystyki G
O
(jω), idąc w stronę
rosnących ω.
b)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
)
jQ(
ω
)
ω = 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
jQ(
ω
)
ω = 0
P(
ω
)
∞
=
ω
G
0
(j
ω
)
(-1,j0)
Stabilne:
Stabilne:
Niestabilne:
Niestabilne:
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Przypadek układów astatycznych -transmitancja operatorowa układu
otwartego ma wówczas postać:
)
(
)
(
)
(
1
s
sN
s
M
s
G
O
=
j
ω
α
0
-j
ω
jQ(
ω)
ϕ = π/2
P(
ω)
ω
= 0
∞
=
ω
ϕ = 0
G
0
(j
ω
)
a
1
−
a)
b)
Możemy badać układy mające dowolna liczbę pierwiastków zerowych
Kryterium Nyquista- przypadek 2
Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie .
Zgodnie z kryterium Michajłowa:
Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie
zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie .
Zgodnie z kryterium Michajłowa:
π
ω
ω
)
2
(
)
(
arg
0
m
n
j
N
−
=
∆
∞
<
<
∞
−
N
0
(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:
N
0
(jω) jest krzywą symetryczną względem osi liczb rzeczywistych:
2
)
2
(
)
(
arg
0
0
π
ω
ω
m
n
j
N
−
=
∆
∞
<
<
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:
Układ zamknięty będzie stabilny, jeżeli:
2
)
(
arg
0
π
ω
ω
n
j
z
N
=
∆
∞
<
<
Kryterium Nyquista- przypadek 2
Warunek stabilności układu zamkniętego:
Warunek stabilności układu zamkniętego:
π
ω
ω
2
2
)]
(
1
[
arg
0
0
m
j
G
=
+
∆
∞
<
<
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m
pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa
układu otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy
punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim
Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m
pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa
układu otwartego dla pulsacji ω od 0 do +∞ okrąża m/2 razy
punkt (-1,j0) w kierunku dodatnim
Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomości liczby pierwiastków równania
charakterystycznego układu otwartego z dodatnią częścią rzeczywistą, co bardzo ogranicza
jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdyż układy automatyki spotykane w praktyce są
zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
układów otwartych (po zamknięciu: układ a stabilny,
układ b niestabilny)
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
układów otwartych (po zamknięciu: układ a stabilny,
układ b niestabilny)
Warunek stabilności:
Warunek stabilności:
1
)
(
<
x
O
j
G
ω
0
180
)
(
−
=
x
O
j
G
arg
ω
ω
x
– pulsacja, dla której:
Gdzie: ∆M – zapas modułu
∆φ – zapas fazy
Gdzie: ∆M – zapas modułu
∆φ – zapas fazy
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Warunek stabilności dla charakterystyk częstotliwościowych podanych
w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i
fazowej φ(ω):
Warunek stabilności dla charakterystyk częstotliwościowych podanych
w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(ω) i
fazowej
φ(ω):
Definicja: Zamknięty układ
automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma wartość ujemną przy
pulsacji odpowiadającej
przesunięciu fazowemu -180
0
.
Definicja: Zamknięty układ
automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma wartość ujemną przy
pulsacji odpowiadającej
przesunięciu fazowemu -180
0
.
0
)
(
log
20
)
(
<
=
x
O
x
j
G
L
ω
ω
Układ otwarty zapisać można za pomocą logarytmicznych
charakterystyk częstotliwościowych - amplitudowej L(
ω) i fazowej ϕ(ω).
Charakterystyka
amplitudowo-
fazowa,
charakterystyka
Black’a
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
złożonych układów otwartych (a – stabilny, b - niestabilny)
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
złożonych układów otwartych (a – stabilny, b - niestabilny)
jQ(
ω
)
ω
= 0
P(
ω
)
∞
=
ω
(-1,j0)
ω
= 0
a
b
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest wtedy,
gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest parzysta, a
niestabilny – gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest
nieparzysta
Jeżeli układ otwarty jest stabilny, to układ zamknięty stabilny jest wtedy,
gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest parzysta, a
niestabilny – gdy liczba wartości dodatnich L(ωx) jest
nieparzysta
Zalety kryterium Nyquista
Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego można
wyznaczyć doświadczalnie i analitycznie
Można nie tylko zbadać stabilność, ale także określić oddalenie
układu od granicy stabilności
Umożliwia badanie stabilności układów zawierajacych człony
opóźniające
Charakterystyki częstotliwościowe układu otwartego można
wyznaczyć doświadczalnie i analitycznie
Można nie tylko zbadać stabilność, ale także określić oddalenie
układu od granicy stabilności
Umożliwia badanie stabilności układów zawierajacych człony
opóźniające