Miary współzależności

Mogą być badane w populacjach co 
najmniej dwucechowych gdzie cechy 
oznaczamy odpowiednio X oraz Y. 
Zmienne są powiązane w pary poprzez 
przynależność każdej pary obserwacji 
do tego samego elementu w próbie
N-elementowa próba losowa będzie 
rerezentowana przez układ par (X

1

,Y

1

), 

(X

2

,Y

2

),…, (X

n

,Y

n

),

 

 

Miary współzależności

Kowariancja S

xy 

lub cov(X,Y)

pozwala uchwycić współzmienność 
cech

Wady – zależy od przyjętych jednostek, w których 
wyrażone są cechy
Z tej samej próby otrzymamy inną wartość 
kowariancji, jeśli obserwacje będą wyrażone w 
gramach i centymetrach, a inną wartość, jeśli będą 
wyrażone w kilogramach i metrach

 

 

Miary współzależności

Kowariancja S

xy 

lub cov(X,Y)

określona jest wzorem

lub wzorem równoważnym 
(w inny sposób obliczamy sumę iloczynów odchyleń)

przy dużych liczebnościach próby, gdy n/(n-1) zmierza do 1, w obu 

wzorach w miejsce wyrażenia (n-1) wstawia się tylko n 











)

)(

(

1

1

Y

Y

X

X

n

S

i

i

xy

)

)

((

1

1









Y

X

n

Y

X

n

S

i

i

xy

 

 

Miary współzależności

Współczynnik korelacji liniowej 

Pearsona r

xy

pozwala uchwycić współzmienność cech

I pozbawiony jest wady jaką ma kowariancja
Czyli nie  zależy od przyjętych jednostek, w których 

wyrażone są cechy
Z tej samej próby otrzymamy tą samą wartość współczynnika, 

niezależnie od tego czy obserwacje będą wyrażone w 

gramach i centymetrach, czy będą wyrażone w kilogramach i 

metrach

Gdzie S

xy

 jest kowariancją z próby, 

s

x 

oraz s

y 

są odchyleniami standardowymi

odpowiednio dla zmiennej X oraz Y

Przy obliczaniu korelacji Excel korzysta 
z wzorów na kowariancję i 
odchylenia standardowe z wyrażeniem n/(n-1)

y

x

xy

xy

s

s

S

r 

 

 

Miary współzależności

Kowariancja jest nieskalowana 
(zależy od jednostek przyjętych dla 
badanych cech )

Współczynnik korelacji liniowej jest 
skalowany (nie zależy od jednostek 
przyjętych dla badanych cech)
przyjmuje wartości z zakresu -1 do 1

Wartość 0 oznacza brak korelacji
Im wartość współczynnika jest bliższa 1 lub -1  tym 
zmienne są bardziej skorelowane  

 

 

Korelacje

Bezwzględna wartość współczynnika informuje nas o sile 
związku Znak współczynnika informuje nas o kierunku 
korelacji, 
+ K. DODATNIA -  wzrostowi wartości jednej cechy 
odpowiada wzrost wartości drugiej cechy
- K. UJEMNA – wzrostowi wartości jednej cechy odpowiada 
spadek wartości drugiej cechy
0 – brak korelacji – zmienne są niezależne
Założeniem stosowalności tego współczynnika jest liniowość 
związku
r=0,0

  r=0,4

     r=0,8

         r=-0,8

 

 

Korelacyjne wykresy rozrzutu

1. Korelacja liniowa dodatnia

    2.Korelacja liniowa ujemna

3. Brak korelacji

    4. Korelacja krzywoliniowa

 

 

Korelacje

Przy interpretacji wartości współczynnika korelacji 

liniowej Pearsona należy pamiętać że:



   Wielkość współczynnika podlega wpływom wartości 

skrajnych i odstających 



  Najważniejsza jest istotność korelacji. Niepotrzebna 

nam korelacja nawet bardzo wysoka, jeżeli nie jest 

istotna



   Wartość współczynnika bliska 0 nie zawsze oznacza brak 

zależności, a jedynie brak zależności prostoliniowej

Przybliżone określenie stopnia zależności cech
r

xy=

= 0 

brak korelacji

0   ≤ r

xy 

< 0,1  korelacja nikła

0,1 ≤ r

xy 

< 0,3 korelacja słaba

0,3 ≤ r

xy 

< 0,5 korelacja przeciętna

0,5 ≤ r

xy 

< 0,7 korelacja wysoka

0,7 ≤ r

xy 

< 0,9 korelacja bardzo wysoka

0,9 ≤ r

xy 

< 1  korelacja prawie pełna

 

 

Metody badania istotności 
korelacji

 

Przy interpretacji współzależności 
występujących pomiędzy badanymi 
zmiennymi ważna jest nie tylko siła 
tego związku ale również jego 
statystyczna istotność. 

Najważniejsza jest istotność 
korelacji.

Niepotrzebna nam korelacja nawet 
bardzo wysoka, jeżeli nie jest istotna

 

 

Metody badania istotności 
korelacji

 

W celu określenia statystycznej istotności 
korelacji obliczamy F

 

czyli

 

wartość  stosunku 

wariancji wyjaśnionej do niewyjaśnionej

gdzie r – współczynnik korelacji
N – liczba par pomiarów

2

2

1

)

2

(

r

N

r

F







 

 

Metody badania istotności 
korelacji

 

Po obliczeniu wartości stosunku F sprawdzamy jaka 
jest krytyczna wartość F dla poziomu istotności 
0,05. Przy korzystaniu z tablic zakładamy, iż liczba 
stopni swobody dla wariancji większej wynosi df=1 
a liczba stopni swobody dla wariancji mniejszej 
wynosi df= N-2. 

Jeżeli wartość F odczytana z tablic wartości 
krytycznych rozkładu F jest mniejsza od obliczonej 
to korelacja jest istotna statystycznie

Jeżeli wartość F odczytana z tablic wartości 
krytycznych rozkładu F jest większa od obliczonej to 
korelacja jest nieistotna statystycznie

 

 

Metody badania istotności 
korelacji

 

Istotność korelacji można również sprawdzić 
wykorzystując narzędzia Excela W tym celu 
wybieramy: 
Narzędzia /Analiza danych/Regresja
Po zaznaczeniu zakresu danych osobno dla y i x, 
narzędzie oblicza wartość F oraz podaje wartość 
istotności F. 
Jeżeli wartość istotności F jest mniejsza od 
przyjętego przez nas poziomu istotności np. 0,05 to 
korelacja jest istotna statystycznie

Jeżeli wartość istotności F jest większa od 
przyjętego przez nas poziomu istotności np. 0,05 to 
korelacja jest nieistotna statystycznie