GEODEZJA

Teoria błędów

TEORIA BŁĘDÓW

Twórca teorii błędów 

CARL FRIEDRICH GAUSS

 niemiecki 

matematyk i astronom  Uniwersytetu Helmstedt. 

Wydał dwutomowe dzieło (1844 i 1847) z dziedziny geodezji. 
Pierwsze 

prace z zakresu teorii błędów w geodezji

.

„Theoria combinationia observationum erroribus minimis 

obnoxiae”

Gauss jako pierwszy zastosował rachunek 

prawdopodobieństwa do oszacowania błędów (rozkład 
Gaussa). 

- hipotezy Hagena o rozkładzie błędów. 
Adrien-Marie Legendre (1752-1833), matematyk francuski, 

autor podstaw teorii pomiarów geodezyjnych, wydaje 
"Elementy geometrii”

praca, która wyparła obowiązujące wcześniej "Elementy" 

Euklidesa.

- postulat 

Legendre’a

 – metoda najmniejszych kwadratów,

Błędy pomiarów i ich charakterystyka

 

Błąd  prawdziwy 

obserwacji 



  -  różnica  między 

nieznanym  wymiarem   

X

    (prawdziwą  wartością)   

mierzonej 

    wielkości i wynikiem pomiaru 

L

 



i

 = X - L

Źródła błędów: 
- niedoskonałość zmysłów obserwatora, 
- narzędzia pomiarowe (dalmierz, teodolit, niwelator) 
- warunki pracy, czyli środowisko (temperatura, 

ciśnienie, wilgotność, wiatr, opady, promieniowanie 

słoneczne).

Ogólna klasyfikacja błędów obserwacji: 
- 

błędy grube

 

(omyłki),

 

- 

systematyczne

, 

- 

przypadkowe (losowe)

.

Rozkład błędów przypadkowych w 

teorii prawdopodobieństwa

Błędy przypadkowe są 

zmiennymi  losowymi

. 

Charakteryzuje je 

rozkład normalny

 zwany 

rozkładem 

Gaussa-Laplace'a

  N(μ,σ). 

Jest  to  najczęściej  spotykany  w  naturze 

rozkład zmiennej losowej ciągłej.

Rozkład normalny ma dwa parametry:

 μ – wartość oczekiwana,
 σ – odchylenie standardowe

.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

2

2

1

(

)

( )

exp(

)

2

2

x

f x





 







Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego 

dla parametrów μ,σ.

 

DYSTRYBUANTA ROZKŁADU

Własności rozkładu normalnego

Empiryczne wartości parametrów rozkładu 

normalnego

Brak informacji o wartości błędu  zmusza do operowania 

zastępczymi wielkościami do oceny błędu obliczonymi z 
próby losowej.

Empiryczne  wartości  parametrów  rozkładu    μ,σ   
obliczone 

z  serii pomiarów

 :

  

wartość  średnia  -  x

s

  błąd średni  -  m

.

Błąd średni to empiryczna ocena parametru  σ,  
       Definicja:          P(|| < m) = 0.68 

Różne charakterystyki do oceny błędów:

 

błąd średni

, błąd przeciętny, błąd prawdopodobny, 

błąd graniczny

 oraz 

błąd względny

.

Różnica między wartością średnią z próby losowej x

s

 

i  obserwacją l

i

 nazywa się 

błędem pozornym

 v

i

v

i

 =  x

s

 - l

i

Ocena dokładności w oparciu o pojęcie  niepewności 
standardowej 

W 1995 roku Międzynarodowa Organizacja 
Normalizacyjna (ISO) opublikowała normy dotyczące 

niepewności pomiarowych

. Według tych norm, 

niepewności 

typu A

 oblicza się z analizy statystycznej 

serii pomiarów {X

1

, X

2

, ....X

n

}. Jako 

wynik pomiaru

 

przyjmuje się średnią arytmetyczną serii X

s

 . a 

niepewność standardową :

Jeżeli mamy tylko jeden wynik pomiaru, mówimy o 
niepewności typu B, Δ

1

 = niepewność wzorcowania, 

wartość działki podziałki przyrządu pomiarowego,
Δ

2

 = niepewność wpływu środowiska pomiaru,

Δ

3

 = niepewność wpływu parametrów z literatury, 

wyznaczonych doświadczalnie.

2

3

2

2

2

1













X

u











n

i

S

i

X

x

x

n

n

u

1

2

)

(

)

1

(

1

Błąd graniczny

 

Małe prawdopodobieństwo zdarzenia:  P(||

<m)=0.68 nakazuje szukać korzystniejszego 
parametru do oceny błędów

:  P(|| < m

gr

) = 0.997

,  

m

gr

 = 3 m

.  (0.3% ryzyka wystąpienia błędów || 

większych od błędu granicznego w serii pomiarów).

Błąd graniczny jest przyjmowany do obliczenia 

największej wartości błędu (dopuszczalnej) dla 
obserwacji. W metrologii w budownictwie, do 
określania 

odchyłki dopuszczalnej,

 często 

przyjmuje się 5% poziom istotności, 

stąd  P(|| < 2 m) = 0.95  

Błąd  przeciętny  t

  jest  średnią  arytmetyczną 

bezwzględnych  wartości  błędów  danego  szeregu 
jednakowo dokładnych obserwacji:

 

| |

t=

n





Błąd względny

Błąd względny to 

stosunek bezwzględnej błędu do 

wartości mierzonej wielkości  (m/L)

. 

W pewnych zadaniach przy ocenie błędu korzystniej 
jest użyć 

miary względnej

. Na przykład porównanie 

błędów długości odcinków, pola figur, objętości 
obiektów lub ich masy. Błędy pomiaru odcinka 
krótkiego i bardzo długiego, ewentualnie błędy 
pomiaru objętości lub masy takich obiektów są 
trudne do porównania. Takie porównania wymagają 

względnej miary dokładności

:

1

w = 

L

(

)

|m|

Prawo Gaussa przenoszenia się błędów 

średnich.

 

Błędy obserwacji

 powodują, że wszelkie

 funkcje

 

tych 

obserwacji

 są również obarczone błędami. W 

przypadku funkcji liniowych ocena błędu funkcji 
obserwacji nie jest skomplikowana.  Błąd średni 

funkcji nieliniowej

  F = f(x, y, z, ...),  może  być  

obliczony  dla przybliżonej  postaci tej funkcji, przy 
założeniu, że daje się ona rozwinąć na szereg 
Taylora. Funkcja F (x, y, z) w postaci 

szeregu Taylora

 

w otoczeniu punktu P (x

0

, y

0

, z

0

):

F (x,y,z) = F (x

0

 + dx ,y

0 

+ dy, z

0

 + dz) = F (x

0

,y

0

,z

0

) 

+   

 

0

0

0

F

F

F

...

x

y

z

dx

dy

dz



















Wyrównanie obserwacji i ocena dokładności

Obserwacje bezpośrednie: 
- 

jednakowo dokładne

. 

- 

niejednakowo dokładne

 (o różnej dokładności). 

Wzajemny stosunek dokładności wyraża się przez 

nadanie wag p

i

 

dla każdej obserwacji,
Wagi  p

i

 =1 dla każdej obserwacji jednakowo 

dokładnej. 

Wagi

 to liczby niemianowane, które określają 

dokładność

względną poszczególnych 

obserwacji.