WYKŁAD 7
ATOM WODORU,
JONY WODOROPODOBNE;
PEŁNY OPIS
CZĘŚĆ I
WYKŁAD 7
ATOM WODORU,
JONY WODOROPODOBNE;
PEŁNY OPIS
CZĘŚĆ I
Z protonów i jeden elektron:
E
r
Ze
sin
r
1
sin
sin
r
1
r
r
r
r
1
2
h
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
Y
r
R
,
,
r
Podstawiając funkcję postaci:
otrzymamy:
2
2
2
2
2
2
2
Y
sin
1
Y
sin
sin
1
Y
1
r
Ze
E
h
r
2
dr
dR
r
dr
d
R
1
CY
Y
sin
1
Y
sin
sin
1
2
2
2
CR
R
r
Ze
E
h
r
2
dr
dR
r
dr
d
2
2
2
2
i w konsekwencji:
C jest wartością własną operatora:
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
X
ˆ
0
R
r
2
C
h
r
Ze
E
h
r
2
dr
dR
r
dr
d
2
2
2
2
2
2
a z kolei funkcje Y, tworzące funkcje
falowe atomu wodoru, są funkcjami
własnymi operatora X.
Żeby ustalić tożsamość operatora X,
przeanalizujemy drugie równanie:
które przepiszemy w następującej postaci:
ER
R
r
2
h
C
r
Ze
dr
d
r
dr
d
r
1
2
h
2
2
2
2
2
2
jawnie pokazującej pochodzenie członów
hamiltonianu: energia kinetyczna,
potencjalna i ???.
Dla klasycznej cząstki w polu siły
centralnej, zachowana jest całkowita
energia i moment pędu:
const
mr
I
L
const
r
V
2
mv
E
2
2
Rozkładając prędkość cząstki na
składowe radialną i tangencjalną
otrzymamy:
co ostatecznie można przedstawić w
postaci:
r
V
2
mr
2
mv
r
V
r
v
m
2
1
E
2
2
2
r
2
2
r
r
V
mr
2
L
2
mv
E
2
2
2
r
Porównując otrzymane wyrażenie z
hamiltonianem:
widzimy, że operator X jest operatorem
kwadratu momentu pędu:
2
2
2
2
2
2
r
2
h
C
r
Ze
dr
d
r
dr
d
r
1
2
h
H
Y
h
C
Y
sin
1
sin
sin
1
h
Y
Lˆ
2
2
2
2
2
2
a funkcja Y to funkcja własna tego
operatora; czyli amplituda
prawdopodobieństwa, że cząstka, której
kwadrat momentu pędu wynosi ,
znajdzie się w punkcie określonym kątami
θ i φ.
2
h
C
Rozwiązanie równania:
Y
h
C
Y
sin
1
sin
sin
1
h
Y
Lˆ
2
2
2
2
2
2
jest potrzebne.
Możliwość dalszej separacji:
.
Y
2
2
2
2
m
d
d
1
sin
C
d
sin
d
d
sin
1
;
0
m
d
d
2
2
2
im
e
rozwiązanie
okresowe:
a więc: m = 0, ±1, ±2,
±3….
Interpretacja liczby kwantowej m
y
x
x
y
y
cos
sin
r
x
sin
sin
r
y
y
x
x
cos
r
z
sin
sin
r
y
cos
sin
r
x
i
h
x
y
y
x
i
h
p
ˆ
r
Lˆ
z
z
h
m
e
i
h
Lˆ
im
z
rzut momentu
pędu
Równanie na część biegunową będzie
miało postać:
0
m
sin
C
d
sin
d
d
sin
2
2
cos
Wprowadzamy nową
zmienną:
d
d
sin
d
d
d
d
d
d
Ponieważ:
0
sin
m
C
d
sin
d
d
0
m
sin
C
d
sin
d
d
sin
2
2
2
2
2
2
2
Ostatecznie:
Jeśli
przyjmiemy:
otrzymamy tzw równanie różniczkowe
Legendre’a:
0
1
m
C
d
1
d
d
2
2
2
1
l
l
C
oraz m = 0
l
l
2
l
2
2
P
1
l
l
d
dP
2
d
P
d
1
którego rozwiązania, to tzw. wielomiany
Legendre’a:
0
k
k
k
l
l
a
P
cos
P
Aby znaleźć współczynniki
a
k
wstawiamy:
do równania różniczkowego Legendre’a:
l
l
2
l
2
2
P
1
l
l
d
dP
2
d
P
d
1
i otrzymujemy:
0
k
k
k
l
a
P
0
k
k
k
0
k
k
k
0
k
k
k
0
k
2
k
k
0
a
1
l
l
k
a
2
1
k
k
a
1
k
k
a
Pomijamy dwa pierwsze wyrazy w
pierwszej sumie i przenumerowujemy ją,
zastępując k przez k+2:
Wszystkie współczynniki przy kolejnych
potęgach muszą być równe 0, zatem:
0
k
k
k
0
k
k
k
0
k
k
k
0
k
k
2
k
0
a
1
l
l
k
a
2
1
k
k
a
2
k
1
k
a
k
k
2
k
a
2
k
1
k
1
l
l
1
k
k
a
2
k
1
k
1
l
l
k
2
1
k
k
a
Nieskończona suma dla ξ równego 1
dałaby nieskończoną wartość. Suma
będzie skończona
dla l naturalnych.
Dodatkowo musimy założyć zerowanie się
jednego z dwóch wyrazów, a
0
lub a
1
.
cos
3
cos
5
cos
P
0
m
1
cos
3
cos
P
0
m
cos
cos
P
0
m
1
cos
P
0
m
3
3
3
2
2
2
1
1
0
0
Można pokazać, że rozwiązaniami
pełnego równania biegunowego:
0
1
m
C
d
1
d
d
2
2
2
dla m różnego od 0, są tzw. stowarzyszone
funkcje Legendre’a:
m
l
m
2
m
2
lm
d
P
d
1
P
z postaci tych funkcji
wynika, że będą one
równe 0 dla:
l
m
Pełne rozwiązanie to tzw. funkcje kuliste
zawierające część azymutalną i
biegunową:
Kilka
pierwszych
funkcji kulistych
(harmonicznych
):
l = 0 (s)
l = 1 (p)
l = 2 (d)
l = 3 (f)
im
lm
lm
e
cos
P
,
Y
i
2
2
2
,
2
i
1
,
2
2
20
i
1
,
1
10
00
e
sin
32
15
Y
e
sin
cos
8
15
Y
1
cos
3
16
5
Y
e
sin
8
3
Y
cos
4
3
Y
4
1
Y
Mamy zatem:
im
m
,
l
m
,
l
e
cos
P
,
Y
m
,
l
2
2
m
,
l
2
2
m
,
l
2
m
,
l
2
Y
1
l
l
h
Y
sin
1
Y
sin
sin
1
h
Y
Lˆ
gdzie:
Zatem l(l+1)ħ
2
to kwadrat momentu
pędu,
a mħ jego rzut na oś z
l
m
l naturalne, m całkowite. Dla
danego l mamy 2l+1 wartości m
(degeneracja)
Funkcje kuliste (harmoniki sferyczne):
funkcje s (l = 0)
brak zależności od kątów θ i φ, stała
wartość
const
e
cos
P
,
Y
0
i
0
,
0
m
,
Y
(0,0)
, funkcja s, l = 0, m = 0
Y
(1,0)
funkcja p,
l = 1, m = 0
~ cosθ
Y
(1,1)
, funkcje p, l = 1, m = ±1, ~sinθ
Y
(2,0)
,
funkcja d, l = 2, m
= 0
~(3cos
2
θ-1)
Y
(2,1)
, funkcje d, l = 2, m = ±1,
~cosθsinθ
Y
(2,2)
, funkcje d, l = 2, m = ±2,
~sin
2
θ
Y
(3,0)
, funkcje f, l = 3, m = 0,
~cos
3
θ-cosθ
Y
(3,1)
, funkcje f, l = 3, m =
±
1,
~(5cos
2
θ-1)sinθ
Y
(3,2)
, funkcje f, l = 3, m =
±
2
Y
(3,3)
, funkcje f, l = 3, m =
±
3