Seria: Informatyka
Metody niezawodności i
eksploatacji
Wykład 3
Obiekty proste odnawialne
z zerowym czasem odnowy
dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof.
nadzw. WAT
e-mail:nowicki@isi.wat.edu.pl, tel. 6-
837118
Seria: Informatyka
Metody niezawodności i
eksploatacji
Wykład 3
Obiekty proste odnawialne
z zerowym czasem odnowy
dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof.
nadzw. WAT
e-mail:nowicki@isi.wat.edu.pl, tel. 6-
837118
Model niezawodnościowy
Jedynymi istotnymi zdarzeniami w eksploatacji
obiektu prostego odnawialnego z zerowa odnową są
chwile uszkodzeń, które przy zerowej odnowie, są
jednocześnie chwilami odnów.
Ciąg zmiennych losowych T
1
, T
2
, T
3
, ... stanowiący
strumień odnów jest modelem niezawodnościowym
obiektu prostego odnawialnego z zerowym czasem
odnowy. Zmienne T
i
są
ciągłymi i
dodatnimi
zmiennymi losowymi oznaczającymi czasy pomiędzy
kolejnymi uszkodzeniami (jednocześnie odnowami)
obiektu,
zatem
czas
do
jego
uszkodzenia.
Charakterystyki tych zmiennych losowych są zatem
miarami niezawodnościowymi
obiektu.
T
1
t
T
2
T
3
T
4
T
5
Strumienie odnów
Strumienie odnów dzielimy na:
Proste:
wszystkie zmienne losowe T
1
, T
2
, T
3
, ...
mają
identyczne
rozkłady określone dystrybuantą
F(t), gęstością f(t), transformatą Laplace’a f*(s),
wartością
oczekiwaną
oraz
odchyleniem
standardowym .
Ogólne:
wszystkie zmienne losowe T
2
, T
3
, T
4
, ...
mają identyczne rozkłady określone dystrybuantą
F(t), gęstością f(t), transformatą Laplace’a f*(s),
wartością
oczekiwaną
oraz
odchyleniem
standardowym , natomiast dopuszczamy, że
pierwsza zmienna losowa T
1
ma inny rozkład
określony dystrybuantą F
1
(t), gęstością f
1
(t),
transformatą
Laplace’a
f
1
*(s),
wartością
oczekiwaną
1
oraz odchyleniem standardowym
1
.
Miary niezawodności
1.
Czas S
r
do r-tej odnowy (uszkodzenia) – zmienna
losowa spełniająca:
Jej dystrybuanta wyznaczana jest na podstawie
a gęstość
gdzie dla strumienia prostego
r
3
2
1
r
T
...
T
T
T
S
)
s
(
K
L
)
t
(
K
r
1
r
)
s
(
K
r
- transformata
Laplace’a
dystrybuanty
)
s
(
k
L
)
t
(
k
r
1
r
)
s
(
k
r
- transformata
Laplace’a gęstości
)
s
(
f
)
s
(
k
r
r
)
s
(
f
s
1
)
s
(
k
s
1
)
s
(
K
r
r
r
Uwaga: transformata Laplace’a
funkcji g(x):
dx
e
)
x
(
g
)
s
(
g
sx
Miary niezawodności
a dla strumienia ogólnego:
dla czasów odpowiednio dużych (t ) zmienna
losowa S
r
dąży do rozkładu normalnego
)
s
(
f
)
s
(
f
)
s
(
k
1
r
1
r
)
s
(
f
)
s
(
f
s
1
)
s
(
k
s
1
)
s
(
K
1
r
1
r
r
r
,
r
N
Miary niezawodności
2.
Proces stochastyczny N(t) – liczba odnowień do
chwili
t
Można pokazać, że
i po elementarnych przekształceniach
gdzie
Można pokazać, że dla dużych t (odpowiednio
duża liczba odnowień) proces N(t) dąży do
t
S
r
t
N
r
)
t
(
K
)
t
(
K
r
t
N
P
1
r
r
1
)
t
(
K
0
t
,
t
N
2
3
Miary niezawodności
3.
Funkcja odnowy H(t) – oczekiwana liczba
odnowień do chwili t
oraz
ale
gdzie
- splot funkcji K
r
(t) i f(t)
t
N
E
)
t
(
H
2
r
r
1
1
r
r
0
r
)
t
(
K
)
t
(
F
)
t
(
K
r
t
N
P
r
)
t
(
H
1
r
1
r
1
)
t
(
K
)
t
(
F
t
0
r
r
1
r
)
t
(
f
K
d
)
(
f
)
t
(
K
)
t
(
K
)
t
(
f
K
r
Miary niezawodności
Zatem
Z twierdzenia o splocie funkcji otrzymujemy:
równanie odnowy
Stąd otrzymujemy
dla strumienia ogólnego
dla strumienia prostego
)
s
(
f
)
s
(
H
(s)
F
)
s
(
H
1
)
t
(
f
)
t
(
H
)
t
(
F
)
t
(
f
)
t
(
K
)
t
(
F
)
t
(
H
1
1
r
r
1
)
s
(
f
1
(s)
f
s
1
)
s
(
f
1
(s)
F
)
s
(
H
1
1
)
s
(
f
1
(s)
f
s
1
)
s
(
f
1
(s)
F
)
s
(
H
Miary niezawodności
oraz dalej
4.
Gęstość odnowy h(t)
Można pokazać, że
dla strumienia ogólnego
dla strumienia prostego
t
H
dt
d
)
t
(
h
)
s
(
f
1
(s)
f
)
s
(
h
1
)
s
(
f
1
(s)
f
)
s
(
h
)
s
(
H
L
)
t
(
H
1
Miary niezawodności
Można pokazać, że dla dużych t zachodzą twierdzenia
zatem dla dużych t
Tw. Blackwella
dla dużych t oczekiwana liczba odnów w przedziale
(t,t+) nie zależy od t.
Tw. Smitha
Gdy g(x) jest nierosnącą funkcją monotoniczną i
całkowalną w przedziale (0,), to
węzłowe
twierdzenie
odnowy
1
t
)
t
(
H
lim
t
t
)
t
(
H
)
t
(
H
)
t
(
H
lim
t
0
t
0
t
du
)
u
(
g
1
dx
)
x
(
h
)
x
t
(
g
lim
Miary niezawodności
5.
P(t,t+) – prawdopodobieństwo tego, że w
przedziale (t,t+) nie będzie uszkodzenia
a dla dużych t (korzystając z tw. Smitha)
otrzymujemy charakterystykę graniczną
t
0
1
dx
)
x
(
h
)
x
t
(
F
1
)
t
(
F
1
)
t
,
t
(
P
dy
)
y
(
F
1
1
)
t
,
t
(
P
lim
)
(
P
t
Miary niezawodności
6.
Pozostały czas zdatności
t
– jeśli od ostatniej odnowy
(r-tej) minął czas t, to ta zmienna losowa jest
resztowym czasem do kolejnej odnowy (r+1-szej)
Można pokazać, że
a jej dystrybuanta
Przy
dużych
t
mamy
a
wartość
oczekiwana
t
S
1
r
t
t
,
t
P
P
t
t
0
1
dx
)
x
(
h
)
x
t
(
F
1
)
t
(
F
t
,
t
P
)
(
F
t
0
dy
)
y
(
R
1
)
(
F
2
2
d
)
(
P
)
(
E
2
0