Dobranym układem współrzędnych do kąta α nazywamy taki
układ współrzędnych , że kąt α zawiera się w pierwszej
ćwiartce układu współrzędnych oraz jedno z ramion tego
kąta pokrywa się z dodatnią półosią osi X .
Ramię kąta α pokrywające się z dodatnią półosią osi X
nazywamy pierwszym ramieniem tego kąta , ramię
pozostałe – drugim ramieniem.
α
•
P=(x,
y)
P’=(x,0
)
X
Y
0
r
Bożena Skorłutowska
Nauczyciel matematyki
Gimnazjum nr 5 im. Z. Padlewskiego
w Płocku
ß
α
•
A
B
C
a
b
c
Sinus
α = sin α
Cosinus α = cos α
Tangens α = tg α
Cotangens α = ctg α
Niech
α będzie kątem z dobranym układem współrzędnych ,
P=(x,y) – dowolnym punktem (różnym od punktu 0 ) na
drugim ramieniu tego kąta.
SINUSEM kąta
α
nazywamy liczbę , gdzie r=
jest odległością punktu P od początku układu
współrzędnych.
r
y
2
2
y
x
COSINUSEM kąta
α
nazywamy liczbę , gdzie r=
jest odległością punktu P od początku układu
współrzędnych.
r
x
2
2
y
x
TANGENSEM kąta
α
nazywamy liczbę
, tzn. iloraz drugiej
współrzędnej punktu P przez jego pierwszą współrzędną .
COTANGENSEM kąta
α
nazywamy liczbę , tzn. iloraz
pierwszej współrzędnej punktu P przez jego drugą
współrzędną.
y
x
x
y
COTANGENSEM kąta
ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy
stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości
drugiej przyprostokątnej.
ctg
α =
a
b
ctg
β =
b
a
Nie istnieje tangens kąta o mierze 90
o
.
Nie istnieje cotangens kąta o mierze 0
o
.
sin
α
=
cos (90 -
β)
cos
α =
sin (90 -
β)
tg
α
=
ctg (90 -
β)
ctg
α =
tg (90 -
β)
Jedynka trygonometryczna
sin
2
α + cos
2
α = 1
cos
α =
c
b
cos =
ß
c
a
COSINUSEM kąta
ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy
stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie do długości
przeciwprostokątnej.
TANGENSEM kąta
ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do
długości drugiej przyprostokątnej.
tg
α =
b
a
ß
tg =
a
b
SINUSEM kąta
ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do
długości przeciwprostokątnej.
Sin
α =
c
a
Sin =
ß
c
b
Wartości funkcji sinus i cosinus kątów ostrych mogą
być tylko liczbami dodatnimi , mniejszymi od
jedności.
Znajomość wartości funkcji trygonometrycznych kątów
ostrych w trójkącie prostokątnym umożliwia obliczenie
długości boków i miar kątów w tym trójkącie oraz w
innych wielokątach , a także rozwiązywanie zadań o
charakterze praktycznym.
tg α
=
cos
sin
ctg α =
sin
cos
tg α
=
ctg
1
ctg α =
tg
1
tg α • ctg α
= 1
Przy wzroście kąta ostrego od 0
o
do 90
o
wartość funkcji
sinus rośnie od 0 do 1,
cosinus maleje od 1 do 0,
tangens rośnie od 0 do +
cotangens maleje od + do 0
.