Konstruowanie
TABLIC
TRWANIA Życia
Łukasz Ciosek
Agnieszka Janek
Justyna Wójcik
Konstruowanie
TABLIC
TRWANIA Życia
Łukasz Ciosek
Agnieszka Janek
Justyna Wójcik
Plan PReZENTACJI
1) Historia tablic trwania życia, rodzaje i
idea konstrukcji tablic.
2) Opis konstrukcji tablic przez GUS.
3) Informacje i ciekawostki wynikające z
analizy tablic.
4) Pytania?
2
Historia
Data
Autor
Opis
ok. 220
Ulpianus
Pierwsza znana tablica, nieznana metoda
1662
John Gaunt
Pierwsza tablica metodą spisu zmarłych dla
Londynu
1693
Edmond Halley
Pierwsze naukowe podejście. Tablice trwania życia
dla Wrocławia.
1740
Nicholaas
Struyck
Tablice rentobiorców
1742
Willem
Kersseboom
1746
Antoine
Deparcieux
1771
Richard Price
Tablica Northampton
1815
Joshua Milne
Tablica Carlisle
1828
William Morgan
Tablica towarzystwa Equitable - oparta tylko na
osobach ubezpieczonych, analiza przyczyn śmierci.
1843
Komitet
aktuariuszy
Tablica zbudowana na podstawie danych kilkunastu
towarzystw (84 tys. polis)
1869 i
1879
Thomas Spraque
Pierwsze tablice selekcyjne i ostateczne
1912
Aders Lindstedt
Pierwsze tablice perspektywiczne
3
Współczesność
Tablice dzielimy na:
pełne – wyliczania przeprowadza się dla każdego
wieku,
skrócone – wyliczenia przeprowadza się dla pewnych
przedziałów wiekowych .
Wyróżniamy dwie metody analizy tablic:
poprzeczną (przekrojową) – badającą zdarzenia
zachodzące w danej populacji w określonym przedziale
czasu,
wzdłużną (kohortową) – badającą daną kohortę przez
cały okres jej trwania.
4
ZARYS konstrukcji
1.
Ustala się liczbę osób żyjących w poszczególnych
przedziałach wiekowych.
2.
Ustala się liczbę osób zmarłych w poszczególnych
przedziałach wiekowych.
3.
W tych samych przedziałach wiekowych dzieli się liczbę
osób zmarłych przez liczbę osób żyjących – w ten sposób
wylicza się prawdopodobieństwo śmierci.
4.
Przyjmuje się hipotetyczną liczbę osób np.: 100.000 w
wieku 0 lat i wykorzystując obliczone prawdopodobieństwa
śmierci, rok po roku zmniejsza się tę liczbę aż do końca.
5.
Pozostałe współczynniki wylicza się z odpowiednich
zależności.
5
Oznaczenia i zależności
Prawdopodobieństwo zgonu -
Liczba dożywających wieku x
Liczba zmarłych w wieku x -
Ludność stacjonarna w wieku x -
Ludność stacjonarna skumulowana -
Przeciętne dalsze trwanie życia -
x
q
x
y
y
x
L
T
x
x
o
x
l
T
e
x
x
x
q
l
d
)
1
(
,
100000
1
1
0
x
x
x
q
l
l
l
2
1
x
x
x
l
l
L
Prawdopodobieństwa zgonu:
gdzie:
84
0
)
1
)(
1
(
1
x
dla
q
q
q
x
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
t
D
t
P
t
B
t
R
t
x
x
t
x
x
t
R
t
P
t
D
q
)
(
2
1
)
1
(
)
(
1
t
x
x
x
t
x
x
t
R
t
D
t
P
t
D
q
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
84
1
)
(
)
(
)
(
)
1
(
2
1
)
(
1
1
x
dla
t
D
t
D
t
P
t
P
t
R
x
x
x
x
x
Dopasowanie w punktach x = 40,45,
…,85
i ekstrapolacja na roczniki od 85 do 120
uogólnioną metodą najmniejszych
kwadratów (+ optymalizacja nieliniowa
Marquardta) z macierzą kowariancji liczb
dożywających:
)
...
exp(
100000
5
5
2
2
1
0
x
b
x
b
x
b
b
l
x
x
y
l
S
l
l
x
y
l
S
l
l
l
l
Cov
y
y
x
x
x
y
y
x
)
(
)
(
)
,
(
2
2
Gdzie
jest oceną wariancji liczby
dożywających obliczaną według wzorów:
gdzie
jest obserwowaną liczbą zgonów w wieku x.
)
(
2
x
l
S
2
2
2
2
1
2
)
(
)
(
)
1
(
)
(
x
x
x
x
x
l
q
S
l
S
q
l
S
2
2
1
)
(
x
x
x
x
q
D
q
q
S
t
x
x
x
t
D
t
D
D
)
(
)
(
Wyrównanie prawdopodobieństw – średnie ruchome
ważone:
w wieku 1 roku – średnia z wartości od 1 do 5 lat o
wagach
0,88571 0,25714 -0,08571 -0,14286 0,08571
w wieku 2 lat – średnia z wartości od 1 do 5 lat o
wagach
0,25714 0,37143 0,34286 0,17143 -0,14286
w wieku 3 lat – scentrowana pięciowyrazowa o wagach
-0,08571 0,34286 0,48571 0,34286 -0,08571
w wieku od 4 do 29 lat – scentrowana
siedmiowyrazowa o wagach
-0,09524 0,14286 0,28571 0,33333 0,28571 0,14286 -0,09524
w wieku od 30 do 84 lat – scentrowana
dziewięciowyrazowa o wagach
-0,09091 0,06061 0,16883 0,23377 0,25541 0,23377 0,16883
0,06061 -0,09091
liczba dożywających
liczba zmarłych
ludność stacjonarna
średnie dalsze trwanie życia
120
,...
2
,
1
)
1
(
,
100000
1
1
0
x
q
l
l
l
x
x
x
100
,...,
2
,
1
,
0
x
q
l
d
x
x
x
119
,...,
2
,
1
2
),
1
(
1
0
0
0
x
l
l
L
q
l
L
x
x
x
100
,...,
2
,
1
,
0
x
L
T
x
y
y
x
100
,...,
2
,
1
,
0
x
l
T
e
x
x
x
SKRÓCONE TABLICE TRWANIA ŻYCIA
Skrócona tablica trwania życia jest opracowywana
na podstawie wykonanej uprzednio tablicy pełnej.
Liczba dożywających i średnie dalsze trwanie
życia pochodzą bezpośrednio z tej tablicy,
natomiast prawdopodobieństwa zgonu wyliczamy
ze wzoru:
13
5
,...,
5
,
5
,
4
,
1
80
,...,
10
,
5
,
1
,
0
1
n
x
l
l
q
x
n
x
x
n
TABLICE SELEKTYWNE
• Często przed przystąpieniem do ubezpieczenia wykonywane są
badania medyczne. Sytuacja x-letniej osoby niedawno zbadanej nie
jest więc identyczna z sytuacją x-latka, który wykupił ubezpieczenie
kilka lat temu nawet jeśli inne czynniki są identyczne.
• Aby to uwzględnić konstruuje się tablice specjalne (selektywne,
ang. select life tables).
• W tablicach takich prawdopodobieństwa śmierci są różne w
zależności od wieku przystąpienia do ubezpieczenia.
• Wprowadza się zatem oznaczenie q
[x] + t
jako prawdopodobieństwo,
że osoba (x + t), która przystąpiła do ubezpieczenia w
wieku x umrze w ciągu najbliższego roku.
• Zachodzi nierówność:
• Po kilku latach (powiedzmy r) wiek w chwili przystąpienia przestaje
mieć tak duże znaczenie i można używać zwykłych tablic. Zachodzi
więc:
14
...
2
]
[
1
]
[
]
[
x
x
x
q
q
q
k
x
k
x
q
q
]
[
dla k≥r
CECHY INTENSYWNOŚCI
UMIERALNOŚCI (μ
x
)
• Śmiertelność zaraz po urodzeniu jest bardzo
wysoka
• Potem następuje redukcja podczas pierwszych lat
życia
• W latach 18-25 następuje zwiększenie śmiertelności
spowodowane wypadkami (accident hump)
• Od średniego wieku następuje stromy wzrost w
śmiertelności, osiągając szczyt w wieku około 80 lat
• Mniej ludzi umiera w wyższych latach (mimo że q
x
wciąż rośnie) jako że szansa dożycia tego wieku jest
mała.
15
Wykres intensywności umieralności
Źródło: Actuarial Mathematics, Bowers et al.
16
Przeciętne trwanie życia Według
PŁCI
w LATACH 1990- 2008
17
18
19
20
Przeciętne trwanie życia w
Polsce
w 2008 r. według województw
21
Zróżnicowanie przeciętnego trwania życia
w poszczególnych województwach w 2008 r.
(odchylenie od ogólnopolskiej średniej długości trwania
życia)
22
Przeciętne trwanie życia w wybranych
podregionach w 2008 r.
23
PORównanie
Międzynarodowe
• EUROPA
Mimo pozytywnych zmian Polska nadal wypada niekorzystnie na tle czołówki
krajów europejskich
Na 45 krajów: Polacy mają 29. miejsce, a Polki 24.
W krajach wysoko rozwiniętych (głównie Europa Zachodnia i Skandynawia)
ludzie żyją o kilka lat dłużej niż w Europie Środkowej i nawet o kilkanaście
lat dłużej w porównaniu do Europy Wschodniej
Najdłużej żyją mężczyźni na Islandii (79.6 lat) i Szwajcarii (79.5 lat),
najkrócej w Rosji (niecałe 61 lat)
Najdłużej żyją Szwajcarki , Francuzki, Hiszpanki i Włoszki (ponad 84
lata). Najkrócej Mołdawianki, Rosjanki i Ukrainki (<74 lat)
W krajach, gdzie długość trwania życia jest niska, różnica między trwaniem
życia mężczyzny i kobiety jest bardzo duża. Największa rozpiętość (ponad
10 lat) występuje w krajach byłego ZSRR (np. Rosja – 12.3 lat). Polska
znajduje się bezpośrednio po tych krajach. (8.7 lat w 2007 r.)
*Źródło: dane WHO z lipca 2009 r. (www.who.int/countries)
24
Porównanie
międzynarodowe c.d.
• ŚWIAT
Najdłużej żyją mężczyźni z Japonii i Australii (dożywają
wieku 79 lat)
Najdłużej żyją Japonki (86 lat) – czyli o 1.5 roku dłużej niż
najdłużej żyjące Europejki;
Najkrócej żyją mieszkańcy Afryki – Sierra Leone (39 lat –
mężczyźni, 42 lata - kobiety), Zambia i Nigeria (42 lata –
mężczyźni, 43 lata- kobiety)
*Źródło: dane WHO z lipca 2009 r. (www.who.int/countries)
25
Źródło: Wikipedia (na podstawie książki The World Factbook na 2007 r.)
26
MĘŻCZYŹNI
KOBIETY
Kraj
Wiek
Kraj
Wiek
1.
Andora
80.62
1.
Andora
86.62
2.
Singapur
79.21
2.
San Marino
85.5 7
3.
Japonia
78.67
3.
Japonia
85.56
4.
Szwecja
78.39
4.
Singapur
84.59
5.
San Marino
78.33
5.
Francja
84
5.
Islandia
78.33
68.
Polska
71.18
45.
Polska
79.44
189.
Sierra Leone
38.36
189.
Angola
38.57
190.
Zambia
38.34
190.
Zambia
38.54
191.
Angola
36.73
191.
Zimbabwe
38.35
192.
Suazi
31.84
192.
Suazi
31.62
Mapa świata ze średnią długością
życia
27
Przyczyny Zgonów W Polsce
W Polsce głównymi przyczynami
zgonów
są
choroby
określane
mianem cywilizacyjnych.
Należą do nich: choroby układu
krążenia, nowotwory oraz urazy i
zatrucia. W 2008 r. stanowiły one
77% wszystkich zgonów.
(źródło: GUS)
28
CIEKAWOSTKI
• Najdłużej żyjącym człowiekiem, którego metryka
została jednoznacznie potwierdzona,
była Francuzka
(1875-1997), która
przeżyła 122 lata i 164 dni.
• Prawnik Calment, gdy miała 90 lat, zaproponował,
że przejmie jej mieszkanie w zamian za wypłacaną
dożywotnio miesięczną rentę w wysokości 2,5 tys.
franków francuskich. Gdy Calment zmarła w 1997
r., ów prawnik nie żył już od wielu lat,
a jego spadkobiercy zdążyli wpłacić jej sumę
trzykrotnie przekraczającą wartość mieszkania.
(www.wprost.pl)
29
PYTANIA?
30
Quiz na koniec
1.
Kto i kiedy stworzył pierwsze naukowo opracowane tablice
trwania życia?
2.
Z jakiego rodzaju tablic korzystamy współcześnie najczęściej?
3.
Wymień jedno z angielskich miast, które doczekało się swoich
własnych tablic.
4.
Gdzie się żyje najdłużej i najkrócej w Polsce?
5.
Jaki jest kraj z najdłuższą i najkrótszą średnią długością życia
(orientacyjnie, bez rozróżniania płci)?
6.
Gdzie w Europie występują największe różnice w średnim
trwaniu życia mężczyzn i kobiet?
7.
Jakiej narodowości była najstarsza osoba na świecie i ilu lat
dożyła?
8.
Jaka jest zależność między a i dlaczego?
31
]
[x
1
]
1
[
x