Materiały pochodzą z Platformy 

Edukacyjnej Portalu 

www.szkolnictwo.pl

Wszelkie  treści  i  zasoby  edukacyjne  publikowane  na  łamach  Portalu  www.szkolnictwo.pl    mogą  być  wykorzystywane  przez  jego 
Użytkowników 

wyłącznie 

w  zakresie  własnego  użytku  osobistego  oraz  do  użytku  w  szkołach  podczas  zajęć  dydaktycznych.  Kopiowanie,  wprowadzanie  zmian, 
przesyłanie, 

publiczne 

odtwarzanie 

i  wszelkie  wykorzystywanie  tych  treści  do  celów  komercyjnych  jest  niedozwolone.  Plik  można  dowolnie  modernizować  na  potrzeby 
własne 

oraz 

do 

wykorzystania 

w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Po co ludzie uczą się 

matematyki? Żeby uczyć 

matematyki innych.”

Hugo Steinhaus

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW 

RÓWNAŃ – METODA 

PODSTAWIANIA.

Istnieje wiele metod rozwiązywania układów 
równań, jedną z nich jest metoda 
podstawiania. Aby nauczyć się rozwiązywać 
układy dwóch równań z dwiema 
niewiadomymi, musisz umieć rozwiązywać 
równania z jedną niewiadomą.

METODA PODSTAWIANIA

Rozwiązywanie  układów  równań  metodą 
podstawiania  polega  na  wyznaczeniu  z 
jednego  z  równań  jednej  z  niewiadomych  i 
podstawieniu  jej  do  drugiego  równania.  W 
ten  sposób  otrzymujemy  równanie  z  jedną 
niewiadomą. 

UWAGA

Staraj się zawszę wyznaczyć tą niewiadomą, 
która  jest  łatwiejsza  do  wyznaczenia. 
Zawsze  poszukuj  optymalnej  drogi  do 
rozwiązania.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.

2(4 – 2y) – y = 3
8 – 4y – y = 3
-5y = 3 – 8
-5y = -5 | :(-5)
y = 1

Pierwsze równanie przekształcamy tak, aby 
wyznaczyć z niego x.

Z pierwszego równania wyznaczamy x i 
podstawiamy otrzymane wyrażenie w 
miejsce x do drugiego równania.

Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną 
niewiadomą (y).

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.

UWAGA

Powyższy układ równań ma jedno rozwiązanie, 
którym jest para liczb x = 2 i y = 1. 
Te  dwie  liczby  stanowią  jedno  rozwiązanie 
układu  równań,  gdyż  jednocześnie  spełniają 
oba równania tego układu.

Aby obliczyć wartość x wstawiamy y = 1 do 
równania x = 4 – 2y

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 2 i y 
= 1.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.

Z pierwszego równania wyznaczamy x i 
podstawiamy otrzymane wyrażenie w 
miejsce x do drugiego równania.

Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną 
niewiadomą (y).

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 
4 i y = 2.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.

2x + 3y = 4 | -3y

2x = 4 – 3y | :

 

2

x = 2 – 1,5y

16 – 12y – 5y = -1

Z pierwszego równania wyznaczamy x i 
podstawiamy otrzymane wyrażenie w 
miejsce x do drugiego równania.

Rozwiązujemy otrzymane równanie z jedną 
niewiadomą (y).

Wyznaczone x.

Podstawiamy wzór na x do drugiego 
równania.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3 – ciąg dalszy.
16 – 12y – 5y = -1
-17y = -1 – 16
-17y = -17 | :

 

(-17)

y = 1

Aby obliczyć wartość x wstawiamy y = 1 do 
równania 
x = 2 – 1,5y

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x = 0,5 i 
y = 1.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4.
Oto  zastosowanie  metody  podstawiania  do 

rozwiązania    prostego  układu  trzech 
równań z trzema niewiadomymi. 

Z pierwszego równania wyznaczamy x.

Podstawiamy x do drugiego i trzeciego 
równania otrzymując w ten sposób układ 
równań z dwiema niewiadomymi – y i z.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy.

3y + 12 – 6y = 9
3y – 6y = 9 – 12
-3y = -3 |:

 

(-3)

y = 1
z = 4 – 2 ∙ 1 = 2
x = 1

Rozwiązujemy układ dwóch równań, z dwiema 
niewiadomymi. Na początek z pierwszego równania 
wyznaczamy z.

Podstawiamy z do drugiego równania.

z oraz x obliczamy z wyznaczonych 
wcześniej wzorów.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 4 – ciąg dalszy.

Rozwiązaniem  układu  jest  trójka  liczb 

spełniających  jednocześnie  wszystkie  trzy 
równania: x = 1, y = 1 i z = 2.

Zapisujemy rozwiązanie.