ELEMENTARNE
ELEMENTARNE
ZAGADNIENIA KWANTOWE
ZAGADNIENIA KWANTOWE
ELEMENTARNE
ELEMENTARNE
ZAGADNIENIA KWANTOWE
ZAGADNIENIA KWANTOWE
W stanach stacjonarnych (gdy potencjał nie zależy od czasu) funkcja
falowa układu spełnia równanie Schrödingera niezależne od czasu (jest
to równanie własne operatora energii):
t
E
ω
}),
({q
e
t)
},
ψ({q
i
t
iω
-
i
,
E
H
ˆ
E
)
z
,
y
,
x
(
V
Δ
2m
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
})
({
i
q
funkcja falowa zależna od położeń i
pędów
Pełna funkcja falowa zależy ponadto od czasu:
Ponieważ
E
jest energią całkowitą, a
V
– potencjalną, to
E-V
ma
sens energii kinetycznej. W fizyce klasycznej jest ona zawsze
nieujemna.
Przykład 1.
Cząstka swobodna,
V
=const.
V
2m
k
E
V)
-
2m(E
k
,
e
)
r
(
E
V
)
z
y
x
(
2m
const,
V
2
2
2
r
k
i
0
2
2
2
2
2
2
2
,
t)/
E
-
r
p
i(
0
t)
-
r
k
i(
0
e
e
t)
,
r
ψ(
p
k
k
p
,
W przypadku jednowymiarowym:
t)/
E
-
x
i(p
0
t)
-
i(k
0
ik
0
x
e
e
t)
ψ(x,
e
x
x
,
Energia cząstki swobodnej (w
przestrzeni nieograniczonej) może
przyjmować dowolne wartości
dodatnie
E >V
– widmo energii
jest ciągłe.
x
-ik
x
ik
Be
Ae
Rozwiązanie
ogólne:
Przykład 2.
Cząstka w jednowymiarowej, nieskończonej studni
potencjału.
0
a
x
a
x
lub
0
x
dla
V(x)
a
x
0
dla
0,
V(x)
0
,
1
2
2
2
2
n
n
2
2
2
E
2/a
C
1,2,3...,
n
)
a
nπ
(
2m
2m
k
E
,
a
nπ
k
Csinkx,
(x)
a
x
lub
0
x
dla
0
,
E
x
2m
:
a
x
0
Dla
a
πx
sin
2/a
a
x
2π
sin
2/a
a
x
3π
sin
2/a
1
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2ma
E
2ma
E
2ma
E
2
2
2
4
9
1
2
3
4
5
6
7
n
E
ne
rg
ia
E
n
~ n
2
Ograniczenie obszaru dostępnego dla cząstki powoduje, że
energia jest skwantowana (widmo energii jest dyskretne).
Najniższa energia E
1
jest większa od zera. Oznacza to, że
cząstka nie może znaleźć się w stanie całkowitego
spoczynku.
Układ może zmienić stan wyłącznie wtedy, gdy
dostarczona zostanie do niego (lub oddana przez układ)
ściśle określona porcja energii.
Wnioski
Wnioski
Przykład 3.
Cząstka padająca na nieskończenie wysoką barierę
potencjału
W fizyce klasycznej współrzędna siły jest równa pochodnej energii
potencjalnej ze znakiem (-). W punktach „skoku” potencjału działają siły
skierowane w stronę malejącego potencjału.
a
x
W fizyce kwantowej, podobnie, jak w fizyce klasycznej,
cząstka nie może wniknąć do obszaru o nieskończonym
potencjale.
2Csin(kx)
0
:
a
x
Be
Ae
:
a
x
-ikx
ikx
0
)
0
(
a
x
,
V
a
x
0,
V
Warunek „zszycia” funkcji w punkcie
x=a:
Przykład 4.
Cząstka padająca na skończoną barierę
potencjału
W rzeczywistych układach bariery potencjału są skończone i mają charakter
ciągły.
0
x
V
V
0,
x
0
V
0
Gdy E>V
0
,
cząstka nadbiegająca z lewej
strony częściowo odbija się od bariery.
Po przejściu przez barierę cząstka ma
mniejszą amplitudę, mniejszą energię i
pęd.
x
k
-
1
2
0
2
0
x
-iκ
x
iκ
0
1
Be
,
ik
E)
-
2m(V
i
)
V
-
2m(E
κ
,
Be
Ae
0,
V
E
Gdy E<V
0,
cząstka nadbiegająca z lewej
strony, częściowo odbija się od bariery.
Istnieje niezerowa, zanikająca wraz z
odległością, funkcja falowa w obszarze,
gdzie energia całkowita jest mniejsza od
energii potencjalnej.
x
x
0
Przykład 5.
Cząstka padająca na skończoną, ograniczoną
przestrzennie barierę potencjału.
Występuje niezerowe prawdopodobieństwo przejścia cząstki
przez barierę, pomimo, że jej energia całkowita jest mniejsza,
niż energia potencjalna.
Zjawisko to nazywamy
efektem
tunelowym
(lub zjawiskiem
tunelowym). Jest to zjawisko kwantowe, nie dające się wyjaśnić
w ramach fizyki klasycznej.
W wyniku efektu tunelowego cząstki przenikają przez obszary, w
których energia całkowita jest mniejsza, niż energia potencjalna.
Przykłady występowania efektu
tunelowego
Synteza jądrowa
(łączenie jąder wodoru – protonów) będąca
źródłem energii Słońca zachodzi w dużym stopniu dzięki zjawisku
tunelowemu. Zjawisko to umożliwia pokonanie bariery odpychania
kulombowskiego jąder atomów w temperaturze niższej, niż
wynikałoby to z praw termodynamiki. Efekt tunelowy stwarza również
nadzieje na obniżenie temperatury fuzji jądrowej przeprowadzanej w
sposób kontrolowany.
Dzięki zjawisku tunelowemu następuje
emisja cząstek α
w procesie
rozpadu promieniotwórczego masywnych jąder atomowych.
Na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu
półprzewodnikowych elementów elektronicznych (np.
dioda
tunelowa
) oraz urządzeń (np.
skanningowy mikroskop
tunelowy
).
Mikroskop skanningowy
Oscylator
harmoniczny
W fizyce klasycznej oscylatorem harmonicznym nazywamy układ, spełniający
równanie:
)
α
t
Asin(ω
x(t)
x
ω
dt
x
d
0
2
2
2
gdzie x oznacza wielkość zmieniającą się cyklicznie i nazywaną „wychyleniem”,
ω
=2π/T jest stałą dodatnią – tzw. częstością drgań, zależną wyłącznie od
właściwości układu,
A
jest amplitudą, a
α
0
oznacza fazę początkową. Dwie
ostatnie wielkości zależą od sposobu pobudzenia układu do drgań.
Całkowita energia oscylatora jest sumą energii
kinetycznej i potencjalnej. Energia potencjalna
oscylatora jest proporcjonalna do kwadratu
wychylenia:
2
p
k
p
x
E
,
E
E
E
i może przyjmować, podobnie jak energia kinetyczna, dowolne wartości
nieujemne. Eneriga równa zero odpowiada stanowi równowagi.
x
E
p
Oscylator -
przykłady
masa zamocowana na
sprężynie
wahadło matematyczne
wahadło fizyczne
układ elektryczny LC
2
p
2
x
kx
2
1
E
,
m
k
ω
kx,
F
Drgania zbliżone do harmonicznych wykonują atomy i cząsteczki w
ciele stałym. W ich opisie niezbędne jest uwzględnienie efektów
kwantowych.
Kwantowy oscylator harmoniczny
E
2
kx
x
2m
2
kx
V
2
2
2
2
2
ν
h
E
ν
h
2
5
E
ν,
h
2
3
E
ν,
h
2
1
E
0,1,2,3
n
ν,
)h
2
1
(n
ω
)
2
1
(n
E
2
1
0
n
x
E
ν
h
2
1
E
0
ν
h
2
5
E
0
ν
h
2
3
E
0
ν
h
2
7
E
0
Energia oscylatora jest skwantowana.
Poziomy energetyczne położone są w równych
odstępach.
Najniższa energia jest większa od zera (tzw.
drgania zerowe).
Stany energetyczne są niezdegenerowane.
Wynik
i:
Atom wodoru
E
r
ε
4π
e
)
z
y
x
(
2m
r
ε
4π
e
V
0
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
Równanie Schrödingera (trójwymiarowe)
dla atomu wodoru przyjmuje postać:
Rozwiązanie najłatwiej jest otrzymać
wykonując obliczenia we współrzędnych
sferycznych (r, θ, ):
Wynik
i:
4
,
3
,
2
,
1
,
n
2
2
0
2
4
n
n
1
ε
32π
me
E
Widmo energii jest skwantowane
Odstępy między poziomami są nierówne
Poziomy energetyczne sa wielokrotnie
zdegenerowane
Moment pędu elektronu w
atomie
Można pokazać, że funkcje falowe, odpowiadające poszczególnym poziomom
energetycznym, są jednocześnie funkcjami własnymi operatorów:
orbitalnego momentu pędu
L (liczba kwantowa l)
rzutu orbitalnego momentu pędu
L
z
na wybraną oś (liczba kwantowa m)
spinowego momentu pędu S
rzutu spinowego momentu pędu S
z
na wybraną oś (liczba kwantowa s)
Każdej energii E
n
odpowiada n funkcji falowych, różniących się liczbą
l - tzw orbitalną liczbą kwantową, kwantującą moment pędu:
1
n
,
0,1,2,
,
L
l
)
l(l 1
Każdej wartości
l
odpowiada 2
l
+1 funkcji różniących się tzw.
magnetyczną liczbą kwantową
m
taką, że:
l
,
3,
2,
1,
0,
m
,
m
L
z
Każdej wartości m odpowiadają 2 wartości tzw. spinowej liczby
kwantowej s, związanej z rzutem spinowego momentu pędu na oś z.
.
2
1
,
2
1
s
s,
S
,
S
z
2
3
W sumie mamy więc 2n
2
funkcji własnych odpowiadających energii E
n
.
Lˆ
z
Lˆ
Sˆ
z
Sˆ
Zakaz Pauliego
Cząstki elementarne mają własność zwaną
spinem
, zależnym od rodzaju
cząstek. Niektóre z nich mają spin wyrażający się poprzez liczbą całkowitą
(np. 1, 2, itp.) – nazywamy je
bozonami
(przykład: foton, fonon, atom helu).
Inne mają spin określany jako połówkowy (1/2, 3/2, itp.) – nazywamy je
fermionami
(przykład: elektron, proton, neutron, itp.).
Układ fizyczny może zawierać wiele jednakowych cząstek (np. w atomach jest
wiele elektronów). Wówczas funkcja falowa całego układu zależy od
współrzędnych (tzn. od współrzędnych przestrzennych i spinowych)
wszystkich tych cząstek.
Ponieważ cząstki na poziomie mikroskopowym są nierozróżnialne, więc proste
rozważania prowadzą do wniosku, że funkcja falowa układu fermionów musi
być antysymetryczna ze względu na przestawienie współrzędnych dwóch
cząstek, natomiast funkcja falowa układu bozonów – symetryczna.
Konsekwencją antysymetrii funkcji falowej jest
zakaz Pauliego
orzekający, że
w jednym stanie kwantowym może znaleźć się
co najwyżej jeden fermion
(inaczej:
nie może być w układzie
dwóch ani więcej fermionów o jednakowym zestawie liczb
kwantowych
).
Statystyki kwantowe
W przypadku cząstek rozróżnialnych, takich jak ciała makroskopowe
opisywane przez fizykę klasyczną, liczba cząstek układu (N
i
), znajdujących się
w danym stanie energetycznym opisywana jest tzw. rozkładem kanonicznym,
z którego wynika, że:
kT
E
kT
μ
E
e
e
N
Dla cząstek nierozróżnialnych mamy:
Fermiony:
statystyka Fermiego-
Diraca
Bozony:
statystyka Bosego-
Einsteina
1
e
1
(E)
f
N
kT
E
E
FD
F
0
μ
,
1
e
1
(E)
f
N
kT
μ
E
BE
Zasada nieoznaczoności
Heisenberga
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
dotyczy każdej pary wielkości
fizycznych A, B, których
operatory nie komutują ze sobą
(nie są
przemienne). Wielkości te nie mogą być jednocześnie znalezione idealnie
dokładnie, gdyż nieoznaczoność każdej z nich musi spełniać warunek:
/2
ΔB
ΔA
Takimi parami są
np.:
/2
Δx
Δp
x
/2
Δz
Δp
z
/2
Δt
ΔE
Przez nieoznaczoność rozumiemy średnie odchylenie od wartości średniej
wyników pomiaru.