Analiza stanu naprężeń 

i odkształceń w punkcie

.

Seminarium dyplomowe

10 grudzień 2013r.

Teoria stanu naprężenia

Definicja naprężenia

Rozważamy dowolny przekrój bryły płaszczyzną  o 
wersorze normalnym  przechodzącą przez dowolny pkt. C o 
wektorze wodzącym   . Do każdego punktu płaszczyzny 
przekroju przyłożona jest siła wewnętrzna.  

    - suma sił wewnętrznych 
przyłożonych do punktów 
powierzchni ΔA

Naprężeniem w punkcie o wektorze 
wodzącym  
na powierzchni przekroju o normalnej 
nazywamy wektor:

Kierunek  wektora  naprężenia  jest  dowolny  w 
odniesieniu do płaszczyzny na której występuje. Można 
go  rozłożyć  na  dwie  składowe  których  kierunki  są 
normalne i styczne do przekroju .

Definicja naprężenia

Stan naprężenia w punkcie

Stan naprężenia w punkcie to nieskończony zbiór 

wektorów naprężeń przyporządkowanych 
wszystkim płaszczyznom przecięcia bryły, 

przechodzące przez ten punkt.

Stan naprężenia w punkcie

Wyróżniamy trzy możliwe stany naprężenia:



Jednoosiowy

 – 

występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane 

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie mają ten sam 

kierunek  



Płaski 

– występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane 

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie leżą w jednej 

płaszczyźnie



Przestrzenny

 – występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane 

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie są w ogólności 

różne (mają różne długości, kierunki i zwroty)

.

Macierz naprężeń

Dokonajmy  przekroju  rozważanej  bryły  w  dowolnie  wybranym  punkcie  C 
trzema  płaszczyznami  prostopadłymi  do  osi  układu  (X,  Y,  Z).  Wektory 
naprężeń  przyporządkowane 

tym 

płaszczyznom 

cięcia  oznaczymy, 

odpowiednio 

Każdy  z  tych  wektorów  naprężeń  można  rozłożyć  na  trzy 
składowe  równoległe  do  osi  układu.  Jedna  z  tych  składowych 
będzie  normalna  do  płaszczyzny  przecięcia  a  dwie  pozostałe   
będą do niej styczne.

Współrzędne wektorów naprężeń                  oznacza się podobnie jak 

ich składowe  i  zapisuje się  je w formie macierzy naprężeń T

σ

 

Macierz naprężeń w punkcie to uporządkowany zbiór 

współrzędnych trzech wektorów naprężeń na płaszczyznach 

prostopadłych do osi układu współrzędnych.



 Wiersze przedstawiają kolejne współrzędne, kolejnych wektorów 

naprężeń;



 Na przekątnej macierzy znajdują się naprężenia normalne ;



 Poza przekątną znajdują się naprężenia styczne;

 

Macierz naprężeń

Za dodatnie, w macierzy naprężeń, uważamy 

współrzędne takich składowych, które mają:



zwrot zgodny ze zwrotem osi do której są równoległe i zwrot 
normalnej zewnętrznej płaszczyzny na której one występują także 
zgodny ze zwrotem osi układu do której ta normalna jest 
równoległa



zarówno składową jak i normalną o zwrotach przeciwnych do 
odpowiednich osi, do których są równoległe

 

W każdym innym przypadku współrzędna jest ujemna. 

Zgodnie z przyjętą umową naprężenie jest dodatnie jeśli 

jest rozciąganie, 

a ujemne jeśli jest ściskające.

Reguła podwójnej zgodności

Graficzna postać macierzy 
naprężeń

Punkt C jest dowolnym punktem ciała obciążonego 
układem sił 
i pozostającego w równowadze.

 

Stan naprężenia w punkcie

Wyróżniamy trzy możliwe stany naprężenia:



Jednoosiowy

 – 

występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane 

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie mają ten sam kierunek  



Płaski 

– występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane dowolnym 

płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie leżą w jednej płaszczyźnie



Przestrzenny

 – występuje gdy wektory naprężeń przyporządkowane 

dowolnym płaszczyznom cięcia bryły w danym punkcie są w ogólności różne 

(mają różne długości, kierunki i zwroty)

.

Rozpisując warunki równowagi sił otrzymamy:

Równania różniczkowe noszą 
nazwę równań równowagi 
wewnętrznej lub równań 
Naviera.

Równowaga sił

Współrzędne wektora naprężeń. Tensor naprężeń

Warunki równowagi sił działających na wycięty czworościan dają równania:

Równania dowodzą że macierz naprężeń w danym punkcie 

określa w nim stan naprężenia gdyż znajomość jej elementów 

pozwala na wyznaczenie 

współrzędnych wektora 

naprężenia na dowolnej płaszczyźnie przechodzącej przez 

ten punkt.

W wyniku mnożenia naprężeń T

σ 

  

przez wektor     otrzymujemy 

wektor naprężenia 

Macierz naprężeń w punkcie jest wielkością, która dowolnemu 

kierunkowi     - normalna do płaszczyzny przecięcia bryły w tym punkcie, 

przyporządkowuje wektor      -  wektor naprężenia na tej płaszczyźnie.

Stanowi to dowód na to, że macierz naprężeń jest tensorem drugiego 

rzędu co oznacza, że jej elementy transformują się przy zmianie układu 

odniesienia w pewien ściśle określony sposób zwany prawem 

transformacji tensora.

Prawo transformacji tensora

Statyczne warunki brzegowe

Z  rozważanej  bryły  w 
równowadze 
wycinamy 

myślowo 

przy 

brzegu 

czworościan  którego 
trzy 

ściany 

będą 

równoległe 

do 

płaszczyzny 

układu 

odniesienia, a czwarta 
będzie 

zawierała 

element  powierzchni 
zewnętrznej 

ΔS 

o 

wersorze  normalnym 
zewnętrznym      (l, m, 
n)

Analizując warunki równowagi tak wyciętego 
czworościanu otrzymujemy zależności wiążące 
współrzędne obciążenia bryły 
w rozważanym punkcie brzegowym ze 
współrzędnymi  macierzy naprężeń w tym 
punkcie

Równania te noszą nazwę statycznych 

warunków brzegowych i są niezbędne przy 

rozwiązywaniu równań różniczkowych 

Naviera.

. 

Statyczne warunki brzegowe

Teoria stanu odkształcenia

Stan odkształcenia w punkcie to nieskończony zbiór odkształceń 

liniowych i kątowych wszystkich włókien przechodzących przez 

ten punkt. 

Odkształceniem liniowym w 
punkcie A w kierunku punktu 
B definiujemy jako:

Stan odkształcenia

Odkształcenie liniowe 
nazywamy odkształceniem 
objętościowym.

Jeżeli rozważymy dwa prostopadłe włókna przechodzące przez 

wspólny punkt O w konfiguracji początkowej to ich 

odkształcenie kątowe definiuje się jako:

Stan odkształcenia

Odkształcenie kątowe któremu 
odpowiada zmniejszenie się kąta 
prostego uważa się za dodatnie.

Odkształcenie kątowe nazywamy 
odkształceniem postaciowym.

 

Stan odkształcenia

a) Odkształcenie czysto objętościowe

b) Odkształcenie 

czysto postaciowe

Stan odkształcenia określany jest przez sześć składowych:



Wydłużenia liniowe:



Kąty odkształcenia postaciowego:

Stan odkształcenia

Macierz odkształceń

Macierz odkształceń w punkcie to uporządkowany 

zbiór odkształceń liniowych i kątowych trzech 

włókien przechodzących przez ten punkt i 

równoległych do osi układu odniesienia.

Macierz uporządkowana jest w ten 

sposób, że na przekątnej 

występują odkształcenia liniowe, a 

poza przekątną połówki 

odkształceń kątowych.

Z definicji elementów macierzy odkształceń wynika jej symetria:

Graficzny obraz macierzy odkształceń

Aby lepiej zobrazować macierz odkształceń, można 

przedstawić ją jako deformację trzech włókien, 

równoległych do osi układu współrzędnych o 

długościach: dx,dy,dz.

Tensor odkształceń

Macierz odkształceń jest tensorem drugiego rzędu co oznacza, że jej 

elementy transformują się przy zmianie układu odniesienia w 

pewien ściśle określony sposób zwany prawem transformacji 

tensora, oraz, że w wyniku mnożenia jej przez jednostkowy wersor    
 (l, m, n) otrzymamy pewien wektor                            , który możemy 

nazywać wektorem odkształcenia  określony zależnościami

Tensor odkształceń

 

Znajomość macierzy odkształceń w dowolnym punkcie O 

wystarcza do określenia odkształceń liniowych i 

kątowych dowolnych włókien przechodzących przez ten 

punkt, bo własności tensora pozwalają wyznaczyć 

zależności:

Odkształcenia ekstremalne

Odkształcenia główne w danym punkcie to ekstremalne 
wartości odkształceń liniowych w nim występujących. Są to 
odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłych 
włókien których odkształcenia kątowe są równe zero.

                              

Wartości odkształceń głównych i ich 

kierunki:

Ekstremalne odkształcenia kątowe wynoszą:

Odkształcenia ekstremalne

 



Włókna których odkształcenia kątowe  są ekstremalne połowią 
kąty miedzy włóknami odkształceń głównych.



Koła Mohra dla stanu odkształcenia są analogiczne jak dla stanu 
naprężenia.

Koło Mohra

Prawo Hooke’a

Dla idealnie sprężystego materiału izotropowego zależności 

między składowymi stanu odkształcenia i składowymi stanu 

naprężenia noszą nazwę uogólnionego prawa Hooke'a. 

Składowe stanu odkształcenia jako funkcje składowych 

stanu naprężenia wyrażone są zależnościami: 

Prawo Hooke’a

 

Moduł Kirchhoffa [Pa]

(moduł sprężystości 

poprzecznej)

Wielkości określające sprężystość materiału:

Moduł Younga [N/m

2

]

(moduł sprężystości podłużnej)

Jednoosiowe rozciąganie

 

Jednoosiowemu 

rozciąganiu towarzyszy 

trójwymiarowy stan 

odkształceń – stąd 

można wyjaśnić 

powstawanie szyjki w 

rozciąganej próbce po 
przekroczeniu granicy 

plastyczności 

Literatura:

1. Bodnar A.: „Wytrzymałość materiałów”, Wydawnictwo 

Politechniki      Krakowskiej im. Tadeusza Kościuszki, 
Kraków 2003

2. Piechnik S.: „Wytrzymałość materiałów”, Wydawnictwo 

Politechniki      Krakowskiej im. Tadeusza Kościuszki, 
Kraków 2001

3. Ostwald M.: „Podstawy mechaniki” e-Skrypt Politechniki 

Poznańskiej, Poznań 2013