DZIAŁANIA

 NA 

ZDARZENIAC

H

Rzucamy raz kostką do gry.

Zbiór wszystkich możliwych wyników 
doświadczenia to zbiór:

                            

 

�

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Opiszmy zdarzenia:

A – otrzymano mniej niż 5 oczek 

B – otrzymano co najmniej 4 oczka

C – otrzymano szóstkę

Wypiszmy wyniki sprzyjające tym zdarzeniom A, B, 
C i narysujmy odpowiednie zbiory.

A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6}
C = {6}

2                                  5

3                 4            
       1                                   

6

B

A

C

�
�

Iloczynem zdarzeń A i B 

nazywamy zdarzenie 

złożone  z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A i 
jednocześnie zdarzeniu B.

                A ∩ B – iloczyn zdarzeń A i B

A 

∩

 B = {4} – wynik 4 sprzyja iloczynowi zdarzeń

A 

∩

 C = 

∅

  - 

zdarzenie niemożliwe  

-  to takie, 

któremu            

                                        nie sprzyja żaden wynik

B

 ∩ 

C = {6} = C

Sumą zdarzeń A i B 

jest zdarzenie złożone z 

wyników, które sprzyjają zdarzeniu A lub zdarzeniu 
B.

               

 A ∪ B – suma zdarzeń A i B

A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} = 

�

A ∪ C = {1,2,3,4,6}

B

 

∪

 

C = {4,5,6} = B

Różnicą zdarzeń  A i B 

jest zdarzenie złożone 

z wyników, które sprzyjają zdarzeniu A, ale nie 
sprzyjają zdarzeniu B.

                A \ B – różnica zdarzeń A i B

A \ B = {1,2,3}                 A \ C = {1,2,3,4} = A

B

 

\

 

C = {4,5}                    

�

 \ A = {5,6}

A’ – zdarzenie przeciwne do zdarzenia A 

(są to wszystkie wyniki, które sprzyjają  ,

�

 ale nie 

sprzyjają zdarzeniu A)                

A’= 

�

 \ A 

Przykład 1: 
W pudełku są: 2 kule białe, 3 czarne, 2 zielone. 
Losujemy jednocześnie dwie kule. Opiszmy 
zdarzenia:
A – otrzymano kule białe
B – otrzymano kule różnego koloru
C – otrzymano kule tego samego koloru
D – nie otrzymano kuli białej

              

 

�

= {(b,b),(b,c),(b,z),(c,c),(c,z),

(z,z)}

Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom:    

A = {(b,b)}

B = {(b,c),(b,z),(c,z)}

C = {(b,b),(c,c),(z,z)}

D = {(c,c),(c,z),(z,z)}

A’ = {(b,c),(b,z),(c,c),(c,z),(z,z)}

B’ = {(b,b),(c,c),(z,z)}

C’ = {(b,c),(b,z),(c,z)}

D’ = {(b,b),(b,c),(b,z)}

A 

∩

 B = ∅

B 

∩

 C = ∅

A 

∩

 C = {(b,b)}

A 

∪

 B = {(b,b),(b,c),(b,z),(c,z)} 

A 

∪

 C = {(b,b),(c,c),(z,z)}

A \ B = {(b,b)}  

D’ \ B = {(b,b)}

Przykład 2: 
Rzucamy sześcienną kostką i monetą.
A – otrzymano parzystą liczbę oczek
B – otrzymano reszkę
C – otrzymano liczbę pierwszą oczek i orła
D – otrzymano co najmniej 5 oczek                 r - 
reszka

                                                                       o - 

orzeł

     

 

�

= {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(5,o),(6,o),

                   (1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom:    

A = {(2,o),(2,r),(4,o),(4,r),(6,o),(6,r)}

B = {(1,r),(2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

C = {(2,o),(3,o),(5,o)}

D = {(5,r),(5,o),(6,r),(6,o)}

A’ = {(1,o),(3,o),(5,o),(1,r),(3,r),(5,r)}

D’ = {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(1,r),(2,r),(3,r),(4,r)}

A 

∩

 B = {(2,r),(4,r),(6,r)}

A 

∩

 C = {(2,o)}

C 

∪

 D = {(2,o),(3,o),(5,o),(6,o),(5,r),(6,r)}

B \ D = {(1,r),(2,r),(3,r),(4,r)}

D \ A = {(5,o),(5,r)}

Przykład 3: 
Doświadczenie polega na rzucie kostką i monetą. 
Wiedząc, że:

A 

∩

 B = {(4,o)}

A ∪ B = {(2,o),(3,o),(4,o),(6,o),(4,r)}

A \ B = {(2,o),(6,o)}  

Określ zdarzenia A i B.

Zaczniemy od wyznaczenia zbioru wszystkich 
możliwych wyników doświadczenia:
  

 

�

= {(1,o),(2,o),(3,o),(4,o),(5,o),(6,o),(1,r),

       (2,r),(3,r),(4,r),(5,r),(6,r)}

Do zadania narysujmy zbiory i umieśćmy w nich 
odpowiednie wyniki:

     

Z rysunku odczytamy wyniki sprzyjające 

zdarzeniom:

A = {(2,o),(4,o),(6,o)}

B = {(3,o),(4,o),(4,r)}

A

B

(2,o)              (4,o)                     
         (3,o)

     (6,o)                                   
(4,r)

Przykład 4
Rzucamy dwa razy kostką do gry.
A – wypadnie parzysta liczba oczek w I i II rzucie
B – suma oczek jest liczbą mniejszą od 5
C – suma oczek jest liczbą podzielną przez 3

             

 

 �

= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),...,(6,5),(6,6)}

Wypiszmy wyniki sprzyjające zdarzeniom:    

A = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),

(6,6)}

B = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}

C = {(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),

(5,1),

       (5,4),(6,3),(6,6)}

A 

∩

 B = {(2,2)}

A 

∩

 C = {(2,4),(4,2),(6,6)}

A \ B = {(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

A \ C = {(2,2),(2,6),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4)}

B 

∩

 C = {(1,2),(2,1)}

B \ C = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)}

C \ A = {(1,2),(1,5),(2,1),(3,3),(3,6),(4,5),(5,1),(5,4),

             (6,3)}

Przykład 5: 

Kręcimy trzy razy bączkiem w kształcie 

siedmiokąta foremnego z zaznaczonymi 

literkami: a, b

A –za pierwszym razem otrzymano literkę a

B – za drugim razem otrzymano literkę b 

Wypiszmy zbiór   

�

oraz wyniki sprzyjające zdarzeniom:  

  

 

�

={(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,a,a),

(b,a,b),

       (b,b,a),(b,b,b)}

                                            

A = {(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b)}

B = {(a,b,a),(a,b,b),(b,b,a),(b,b,b)}

A 

∩

 B = {(a,b,a),(a,b,b)}

A ∪ B = {(a,a,a),(a,a,b),(a,b,a),(a,b,b),(b,b,a),

(b,b,b)}

A \ B = {(a,a,a),(a,a,b)}

B \ A = {(b,b,a),(b,b,b)}

A’ = {(b,a,a),(b,a,b),(b,b,a),(b,b,b)}

B’ = {(a,a,a),(a,a,b),(b,a,a),(b,a,b)}

A’ 

∩

 B’ = {(b,a,a),(b,a,b)}