Zginanie ze skręcaniem 

Obliczanie osi i wałów 

Leszek Ruszkowski

V rok AiR

Inżynieria Biomedyczna

2010.I.19

Wały i osie

• Osią lub wałem nazywamy element maszyny najczęściej 

mocowany w łożyskach, na których osadzane są części 
maszynowe wykonujące ruchy obrotowe lub wahadłowe.

• Wałem nazywamy część, której głównym zadaniem jest 

przenoszenie momentu obrotowego. W związku z tym wał 
poddawany jest skręcaniu, przy czym może jednocześnie 
przenosić moment zginający oraz siły ściskające lub rozciągające.

• Oś nie przenosi momentu obrotowego, jest obciążona głównie 

momentem gnącym, służy do utrzymania w zadanym położeniu 
innych elementów i przenoszenia obciążeń na łożyska lub 
podpory.

• Odcinki wałów i osi służące do osadzania łożysk lub innych 

elementów nazywamy czopami.

• Osie i wały mogą być gładkie lub kształtowe.

Przykłady osi

Oś stała

Oś nieruchoma

Przykłady wałów

Wał pędniany gładki wielopodporowy

Wały dwupodporowe

Po wyznaczeniu teoretycznego kształtu wału, wynikającego z obliczeń 
wytrzymałościowych, należy określić rzeczywisty kształt wału, 
uwzględniający zadania poszczególnych powierzchni. Kształt ten 
powinien spełnić cztery wymagania:
1) powinien być jak najprostszy technologicznie,
2) musi zapewniać wymaganą wytrzymałość wału,
3) zróżnicowane powierzchnie muszą stworzyć dobre bazy do 
ustalenia części osadzonych na wale,
4) powinien zapewniać taniość produktu.

Wymagania te są sprzeczne 
Należy szukać optymalnego rozwiązania

Kształtowanie wałów

Projektując wał, najchętniej nadajemy mu kształty składające się z 
odcinków cylindrycznych. W ten sposób powstaje wał o różnych 
średnicach. Każdy skok ze średnicy d na średnicę D powoduje 
powstawanie karbu. Stopniowanie średnic następuje według zasady

2

,

1



d

D

d

D

Kształtowanie wałów

Przy projektowaniu osi i wałów wykonuje się:

• obliczenia wstępne, umożliwiające ustalenie kształtu 
i przybliżonych wymiarów osi lub wału. Obliczenia te są 
wykonywane w zasadzie na wytrzymałość statyczną, 
uwzględniając jednak wpływ zmienności obciążeń przez 
przyjęcie odpowiednich naprężeń dopuszczalnych kgj, kgo,

• obliczenia dokładne (sprawdzające) uwzględniające 
czynniki decydujące o  wytrzymałości zmęczeniowej (m.in. 
działanie karbów) oraz sztywność giętną i skrętną wału.

Kształtowanie wałów

Osie i wały wykonuje się (najczęściej) ze stali:

1) konstrukcyjnej węglowej zwykłej jakości (St3, St4, St5), gdy elementy 

są mało obciążone

2) konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości (25, 35, 45)
3) konstrukcyjnej stopowej do ulepszania cieplnego, najczęściej 

chromoniklowej, gdy wymagana jest mała średnica wału

4) konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania gdy zależy 

nam na twardości powierzchni 

5) konstrukcyjne stopowe o szczególnych własnościach, gdy wymagane 

są szczególne cechy, jak żaroodporność, nierdzewność, 
kwasoodporność itp.

Materiały stosowane na wały

Obliczenia wytrzymałości obejmują:

•    wyznaczenie  metodami  statyki  wszystkich  sił  czynnych 

(obciążeń)  i  biernych  (reakcji  podpór  lub  utwierdzeń) 

działających na wał lub oś;

•  obliczenie  wartości  momentów  zginających  (dla  osi  i 

wałów)  oraz  skręcających  i  zastępczych  (w  przypadku 

wałów), 

co 

najmniej 

dla 

punktów 

przyłożenia 

sił 

zewnętrznych i dla punktów podparcia (łożysk);

•  obliczenie  średnic  wału  w  podstawowych  przekrojach 

i ustalenie kształtu wału (osi);

•  wykonanie  obliczeń  sprawdzających  i  uzupełniających, 

polegających na obliczeniu sztywności wału.

Uproszczone obliczenia wałów i 
osi

Uproszczone obliczenia wałów i osi

Osie przenoszą głównie obciążenie zginające

)

,

(lub

32

3

g

go

go

g

x

g

g

k

k

k

d

M

W

M











gdzie M

g

 - moment gnący w rozpatrywanym przekroju, W

x

 – wskaźnik 

wytrzymałości na zginanie, d – średnica osi (wału)

3

32

go

g

k

M

d





Średnicę osi (wału) określa wzór

Obliczoną wartość należy zwiększyć o ewentualny wymiar głębokości 
rowka na wpust.

Uproszczone obliczenia wałów i osi

W niektórych przypadkach oś opieramy na podporach o małych 
powierzchniach. W takim przypadku należy sprawdzić warunek 
wytrzymałości na naciski powierzchniowe między czopem wału a 
podporą według wzoru

dop

p

dg

P

p





gdzie 
P – siła, 
g – grubość podpory, 
d – średnica czopa, 
p

dop

 – dopuszczalne naciski dla materiału czopa i dla materiału 

podpory.

Uproszczone obliczenia wałów i osi

Długie wały wielopodporowe są jednocześnie zginane i skręcane. 
Uproszczone (wstępne) obliczenia wałów polega sprawdzeniu 
warunku na skręcanie:

Jeśli obliczany odcinek wału przenosi moc N kW przy prędkości 
obrotowej n obr/min, to moment skręcający M

s

  obliczymy ze wzoru:

stąd średnica wału: 

so

s

o

s

k

d

M

W

M







3

16





n

N

M

s

001

,

0



3

3

252

,

0

16

001

,

0

so

so

nk

N

nk

N

d







Uproszczone obliczenia wałów i osi

Dla wałów długich należy sprawdzić dodatkowo warunek na 
dopuszczalne odkształcenie skrętne:

W przypadku gdy decyduje dopuszczalny kat skręcenia (dla małych 
średnic), nie warto stosować stali o dużej wytrzymałości
Przy dużych średnicach należy stosować materiały o dużej 
wytrzymałości
Podpory należy rozmieszczać tak, aby koła pasowe, zębate lub inne 
częsci zginające wał znajdowały się możliwie blisko podpór

dop

o

s

GJ

l

M









gdzie l – długość skręcanego wału, G – moduł sprężystości 
postaciowej (dla stali G = 81 000 MPa), J

o

 – biegunowy moment 

bezwładności przekroju wału, 

dop

 – dopuszczalny kąt skręcenia

32

4

d

J

o





Obliczanie wytrzymałościowe wału 
dwupodporowego

Wały dwupodporowe obliczamy na zginanie i skręcanie. W 
dowolnym przekroju wału panuje naprężenie normalne wywołane 
zginaniem

oraz styczne wywołane skręcaniem 

x

g

g

W

M





o

s

s

W

M





Obliczanie wytrzymałościowe wału 
dwupodporowego

Naprężenia zastępcze obliczamy według hipotezy Hubera-Misesa-
Henckyego największej energii odkształcenia postaciowego 

Naprężenia gnące w wałach są z reguły obustronnie zmienne, a 
naprężenia skręcające jednostronnie zmienne. Licząc według 
powyższego wzoru, otrzymamy zbyt duży zapas bezpieczeństwa. W 
związku z tym przyjmujemy naprężenia zastępcze

2

2

3

s

g

z











2

'

2

)

(

s

g

z











gdzie zredukowane naprężenie

s

sj

so

s

k

k





3

'



Obliczanie wytrzymałościowe wału 
dwupodporowego

Przekształcając ten wzór do postaci 

gdzie

możemy obliczyć moment zastępczy

s

sj

so

s

M

k

k

M

2

3

'



x

z

x

s

x

g

z

W

M

W

M

W

M































2

'

2



2

'

2

)

(

s

g

z

M

M

M





Obliczanie wytrzymałościowe wału 
dwupodporowego

Warunek wytrzymałości

stąd średnica wału pełnego

Dla wału drążonego 

go

x

z

z

k

W

M







3

32

go

z

k

M

d





d

d

d

W

o

x

32

)

(

4

4







Dziękuję