Wprowadzenie mnożenia i
dzielenia (podział i
mieszczenie) oraz ich
własności.
Wprowadzenie mnożenia i
dzielenia (podział i
mieszczenie) oraz ich
własności.
MNOŻENIE
Dzieci klas pierwszych powinny
poznać i zrozumieć wszystkie
etapy dodawania i odejmowania
(pojęcia i związki między nimi),
które występują również przy
opracowaniu drugiej pary działań
wzajemnie odwrotnych – mnożenia
i dzielenia.
Mnożenie poznają dzieci w klasie
pierwszej jako skrócone dodawanie
jednakowych składników. Na
początku działamy na zadaniach już
znanych dzieciom na tzw.
konkretach w celu unaocznienia
związku mnożenia z dodawaniem
jednakowych składników.
+
+
+
=
8
2 + 2 + 2 +
2 = 8
4 x 2 = 8
Posłużymy się przy tym zadaniami
tekstowymi tak dobranymi, aby
działanie arytmetyczne – mnożenie
– było początkowo wyrażone
różnymi czynnościami
fizycznymi. Zapisując dodawaniem
jednakowych składników i krócej –
mnożeniem odpowiadające im
czynności, dzieci zaczynają
obejmować poznanym działaniem-
mnożeniem- ogół tych czynności.
3 + 3 =
2 x 3 =
+
Ile owoców położono w dwóch
koszyczkach?
Ile gruszek położono na trzech
talerzykach?
2 + 2 + 2 =
3 x 2 =
+
+
1) Mama dała trojgu dzieciom po 2 gruszki.
Ile gruszek rozdała?
W pracy z podręcznikiem
czynności efektywne zastępuje
obrazek, który jest podporą
dla wyobraźni matematycznej
dziecka.
2) Jola składała pieniądze na kwiaty
na imieniny mamy. W ciągu
pięciu dni wkładała do skarbonki po
4 złote. Ile pieniędzy zaoszczędziła
na kwiaty?
Dzieci ilustrują oszczędności Joli
krążkami i zapisują wzory:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
5 x 4 = 20
3) Dzieci w świetlicy zrobiły lalki ze
słomki i żołędzi. Ustawiły je na 2 półkach
i po 5 na każdej półce. Ile lalek zrobiły
dzieci?
5 + 5 = 10
2 x 5 = 10
Zadania te uprzytomniły dzieciom
pochodzenie formuły mnożenia, jej
związek z wielokrotnym
dodawaniem równych składników,
przybliżając w ten sposób dzieci
do zrozumienia istoty tego
działania arytmetycznego.
Dalsze ćwiczenia posłużą do
oderwania mnożenia od czynności
materialnej. Doprowadzą do tego
odpowiednio dobrane zadania
tekstowe na mnożenie, w którym
działanie arytmetyczne nie będzie
wyrażone żadną czynnością.
Przykłady:
1) W klasie jest 5 okien. Na każdym stoją po 3
doniczki kwiatów. Ile kwiatów ma do
podlewania dyżurny?
3 + 3 + 3 + 3 + 3= 15
5 x 3 = 15
2) Na wystawie sklepu z zabawkami są 4 rzędy
żołnierzyków, w każdym po 5 żołnierzyków. Ile
żołnierzyków jest na wystawie?
5+ 5+ 5 +5= 20
4 x 5 =20
3) Mama kupiła 3 bochenki chleba po 4 złote
bochenek. Ile zapłaciła?
4+4+4=12
3x4=12
Nietrudno zauważyć, że oderwanie się myśli
dziecka od czynnościowego pojmowania
mnożenia dokonuje się tutaj łatwo i
szybko, z uwagi na wyprowadzenie tego
działania z oddawania jednakowych
składników. Początkowo powiązanie
nowego pojęcia – mnożenia – ze znanym
już dzieciom działaniem – dodawaniem-
wspiera dodatkowo, odpowiednio dobrana
czynność. Trwa to jednak bardzo krótko
gdyż wiadomości wcześniej poznane,
są zasadniczą podstawą do poznania
mnożenia.
Dotychczas dzieci poznały
jedynie wąski zakres treści
mnożenia, jako wielokrotne
dodawanie jednakowych
składników. Do pełnego
zrozumienia tego działania
dojdą, gdy poznają dzielenie
jako działanie odwrotne do
mnożenia.
DZIELENIE
Z poznanych dotychczas działań
najtrudniejsze dla dzieci klasy
pierwszej jest dzielenie. Trudność ta
jest nie tyle natury matematycznej,
co psychologicznej. Dzielenie bowiem,
jako działanie matematyczne jest
uogólnieniem dwóch praktycznych
przypadków dzielenia jako:
1) dzielenie
„ po kilka” (mieszczenie)
2) dzielenie
„na równe części”
(podział)
W sytuacjach życiowych NIE występuje
nigdy dzielenie „przez”
tylko albo dzielenie „po kilka”
np. Mama daje starszemu synkowi śliwki i
mówi: „podzielcie się po 3”,
albo dzielenie „na równe części”
np. Mama, dając dzieciom gruszki, może
polecić: „podzielcie je na 3 równe części
między siebie”.
Z jednym i drugim przypadkiem dzielenia
związana jest czynność efektywna, dlatego
te praktyczne działania, mieszczenia i
podziału, są dla dzieci dostępne.
Wprowadzając więc pojęcie
dzielenie w klasie pierwszej,
należy wyjść od znanych
dzieciom intuicyjnych dwóch
konkretnych przypadków
dzielenia,
mieszczenia
i
podziału
, i stopniowo
doprowadzić do abstrakcji, do
uogólnienia, to znaczy do
dzielenia „przez”.
Przy wprowadzaniu dzielenia
powinno się wyjść od zagadnień z
życia codziennego, a
wymagających takich działań jak
mieszczenie lub podział.
Opracowanie oby przypadków
dzielenie opieramy na
czynnościach wykonywanych
przez dzieci.
Rozpoczynamy od
mieszczenia, tj. dzielenia „po
kilka”,
jako łatwiejszego dla dzieci, po
opanowaniu którego przechodzimy
do
podziału, tj. dzielenia „na równe
części”.
Przykład: Przy wprowadzeniu
mieszczenia:
Mama rozdała dzieciom 20 orzechów. Każdemu dała po
5 orzechów. Ile dzieci obdzieliła orzechami?
Czynności dzielenie związane z zadaniem na
mieszczenia nie sprawiają dzieciom trudności, gdyż
wiadome jest ze zadania, że trzeba rozdać po 5
orzechów.
Przykład: Przy wprowadzeniu podziału:
Mama dała czworgu dzieciom po 20 orzechów do
równego podziału. Ile orzechów dostało każde
dziecko?
Przy zadaniu na podział dzieci stają przed
zagadnieniem: jak podzielić orzechy między czworo
dzieci, aby każde dziecko dostało po równo?
Dzieci po zastanowieniu się powinny
dojść do przekonania, że do
poprawnego rozwiązania zadania –
bez obawy popełnienia błędu-
dojdą wówczas, gdy najpierw
rozdadzą każdemu z czworga
dzieci po jednym orzechu, potem
znów po jednym itd.., aż do
wyczerpania całego zbioru
orzechów.
Różne czynności konkretnie w jednym i drugim
przypadku dzielenia ułatwią dzieciom jasne
rozróżnienie
mieszczenia
i
podziału
.
Rozwiązanie zadania zarówno na mieszczenie,
jak i na podział zapisują dzieci za pomocą
formuły arytmetycznej dzielenia.
Podane zadania na orzechach można zapisać
w
postaci następujących formuł:
20:5=4
i
20:4=5
.
Formułę mieszczenia
(20:5=4) uczeń czyta
w następujący sposób :
20
podzielić po
5
jest
4
części.
Formułę podziału
(20:4=5) czyta :
20
podzielić na
4
równe części jest po
5
części w każdej części.
Należy przestrzegać, aby uczniowie
odczytując
formułę wskazywali odpowiednie cyfry i znaki.
Mieszczenie
poznają dzieci jako
działanie odwrotne do mnożenia. W
związku z tym punktem wyjścia powinno
być zadanie na mnożenie.
Przykład:
Do babci w odwiedziny przyszło czterech
wnuków. Babcia
poczęstowała ich pączkami. Każdy dostał po 2
pączki. Ile
pączków zjedli wnukowie?
Nauczyciel w trakcie podawania zadania ilustruje na tablicy.
Uczniowie w ten sam sposób przedstawiają zadania na swoich
stolikach. Zamiast sylwetek dzieci kładą patyczki,
przyporządkowują do każdego patyczka po 2 kółka (pączki) i
podają odpowiedź. Chłopcy zjedli 8 pączków.
Następnie ujmują zadania we wzór:
4 x 2 = 8
który odczytują najpierw zgodnie z
treścią zadania:
„Czterej chłopcy zjedli po 2
pączki, dostali więc od babci 8
pączków”,
a następnie bez treści:
„ 4 razy po 2 jest 8”.
Podział:
Nauczyciel przekształca wyjściowe
zadanie następująco:
Do babci przyszli wnukowie. Babcia miała 8
pączków i podzieliła je sprawiedliwie, dała
po 2 każdemu wnukowi. Dla ilu wnuków
starczyło pączków?
Dzieci inscenizują to zadanie. Jedna z dziewczynek jest
„babcią”, która daje - wybranym przez siebie spośród klasy
dzieciom - po 2 pączki (kasztany). Dzieci obdarowane
pączkami
wychodzą i stają przed ławkami, klasa widzi, że pączków
starczyło
dla 4 wnuków.
Czynność dzielenia 8 pączków po 2 każdemu wnukowi
wykonują wszystkie dzieci: odliczają 8 krążków i
rozdzielają je
(odstępami) po 2.
Następnie ujmują wykonywane czynności
w słowa:
„8 pączków babcia podzieliła po 2
każdemu wnukowi, obdzieliła 4
wnuków
(8 pączków podzielić po 2 jest 4).
Na tym etapie pojawia się
problem.
Jak to zapisać?
Podobnie jak przy wprowadzeniu znaku
minus- nie jest ważne kto znak
dzielenia ostatecznie poda: nauczyciel
czy uczniowie, ważne jest natomiast
aby uczniowie odczuli potrzebę
nowego znaku i przyjęli go ze
zrozumieniem.
Dzielenie (mieszczenie)
zapisują
uczniowie pod mnożeniem i pod
przestawieniem graficznym
mnożenia.
Przykłady zadań na mnożenie i
działanie odwrotne- dzielenie.
Np. Dzieci odrabiały lekcje. Nagle zgasło światło.
Mama postawiła 3 świeczniki i włożyła do
każdego po 2 świece i zapaliła. Ile świec zapaliła?
3 * 2 = 6
Np. Dzieci odrabiały lekcje. Nagle zgasło światło.
Mam przyniosła 6 świec, wstawiła po 2 do
każdego świecznika. Ile było świeczników?
6 : 3 = 6
Gdy dzieci zaczną dostrzegać
związki miedzy mieszczeniem i
mnożeniem nadszedł moment aby
wprowadzić podział.
Sposób opracowania tego przypadku dzielenia
praktycznego – podziału- przebiega podobnie
jak mieszczenia. Punktem wyjścia jest zadanie
na mnożenie, które dzieci przekształcają w
zadanie na mieszczenie a to z kolei wg
podanej przez nauczyciela formuły – w
zadanie na podział. Dzieci początkowo
kojarzą podział na równe części z czynnością
wykonywaną, a potem określoną słownie.
Chcąc przyspieszyć proces
abstrahowania mnożenia i dzielenia
jako działań wzajemnie odwrotnych
nauczyciel stosuje ćwiczenia
podobne jak przy opracowywaniu
związków dodawania z
odejmowaniem.
Przykłady:
1)Franek wyciął z kolorowego papieru
koguciki i nalepił je na 3 paskach
papieru po 5 na każdym pasku. Ile
kogucików wyciął?
3 * 5 = 15
2) Franek wyciął 15 kogucików z
kolorowego papieru i nalepił je po
równo na 3 jednakowych paskach
papieru. Po ile kogucików nalepił na
każdym pasku papieru?
15 : 3 = 5
3) Franek wyciął 15 kogucików z
kolorowego papieru i nalepił je po 5
na paskach papieru. Ile potrzebował
pasków papieru?
15 : 5 = 3
Podczas rozwiązywania działań na liczbach pojawia
się problem jak odczytać wynik: jako
mieszczenie (np. 24 podzielić po 8 jest 3),
czy jako
podział ( np. 24 podzielić 8 równych
części jest po 3).
Dzieci ukierunkowane przez
nauczyciela powinny dojść do wniosku, że bez
zadania tekstowego nie wiadomo jak odczytać
zapis dzielenia. Może on oznaczać zarówno
mieszczenie (dzielenie na równe części)
jak i
podział (dzielenie po kilka).
Dzieci odczuwają potrzebę innego
odczytywania dzielenia na samych liczbach,
niż gdy jest ono wzorem rozwiązywania
zadania tekstowego, dlatego przyjmą podaną
przez nauczyciela formułę „ 24 podzielić
przez 8 równa się 3” ze zrozumieniem.
WŁASNOŚCI
DZIAŁAŃ
MNOŻENIE
Prawo przemienności
Prawo przemienności
mnożenia
mnożenia
a
•
b = b
•
a
Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu
Slajd 4
W mnożeniu możemy zmieniać kolejność
czynników,
a iloczyn się nie zmieni.
Na przykład: 9 • 7 = 7 •
9
Prawo
łączności
mnożenia
a
•
(b
•
c) = (a
•
b)
•
c
Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu
Slajd 9
W mnożeniu kilku liczb możemy łączyć czynniki
w grupy,
a iloczyn się nie zmieni.
Na przykład:
6 • 2 • 5 = 6 • ( 2 • 5) = (6 • 2) •
5 = 60
Dla łatwiejszego obliczenia iloczynu
kilku liczb często wykorzystujemy
jednocześnie prawo przemienności i
łączności mnożenia.
Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu
Slajd 10
Na przykład:
4 • 9 • 25 = (4 • 25) • 9 = 100 • 9
= 900
Prawo rozdzielności
mnożenia względem
dodawania
a
•
(b +
c) = a
•
b
+ a
•
c
Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu
Slajd 19
Aby pomnożyć sumę przez daną liczbę,
możemy pomnożyć każdy składnik tej sumy
przez tę liczbę
i otrzymane iloczyny dodać.
Na przykład:
4 • (10 + 6) = 8 • 10 + 8 • 6 = 80
+ 48 = 128
ZERO W MNOŻENIU
ZERO W MNOŻENIU
a • 0 = 0 • a = 0
Jeżeli w mnożeniu jeden z czynników jest
zerem,
to iloczyn jest równy zeru.
Na przykład:
15 • 0 = 0, 3 • 0 • 6 • 5 = 0
Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu
Slajd 21
JEDYNKA W MNOŻENIU
a • 1 = 1 • a = 1
Jeżeli w mnożeniu dwóch czynników,
jeden z czynników jest równy 1,
to iloczyn równy jest drugiemu czynnikowi.
Na przykład:
39 • 1 = 39,
63 • 1 = 63,
3 • 8 • 1 = 3 • 8
Kliknij aby przejść do kolejnego
slajdu
Slajd 21
WŁASNOŚCI
DZIAŁAŃ
DZIELENIE
Prawo rozdzielności
dzielenia względem
dodawania.
Aby sumę podzielić przez liczbę różną od
zera, możemy każdy składnik tej sumy
podzielić przez liczbę i otrzymane ilorazy
dodać.
(a + b) : c = a : c + b : c c różne od
0
(54+18):9=.....
(42-24):6=.....
(63+21):7=.....
(63-42):7=.....
(45+15):3=.....
(72-56):8=.....
(72+32):8=.....
(100-24):4=.....
(36+48):12=.....
(99-33):11=.....
Zadanie 1
Oblicz stosując prawo rozdzielności dzielenia względem dodawania i odejmowania:
Prawo rozdzielności
dzielenia względem
odejmowania.
Aby różnicę podzielić przez liczbę różną
od zera, możemy odjemną i odjemnik
podzielić przez tę liczbę i otrzymane
ilorazy odjąć.
(a - b) : c = a : c - b : c c różne od 0
Dzielna o wartości
równej „0”
Jeżeli dzielna równa się zero, to
iloraz równa się zero:
0 : a = 0
Dzielenie przez zero
Dzielenie przez zero jest niewykonalne,
gdyż nie ma takiej liczby, która
pomnożona przez zero dałaby dzielną.
a : 0 =
Dzielnik o wartości
równej „1”
Jeżeli dzielnik jest równy 1, to iloraz jest
równy dzielnej.
a : 1 = a
Dzielna równa
dzielnikowi
Jeżeli dzielna jest równa dzielnikowi, to
iloraz jest równy 1.
a : a = 1
MNOŻENIE I
DZIELENIE W
ZAKRESIE TABELI
MNOŻENIA
W klasie drugiej przy powtarzaniu wiadomości
wyniesionych z klasy pierwszej wskazane jest
zaznajomienie dzieci z drugim mnogościowym
sposobem interpretowania mnożenia.
Zaczynamy od kombinatoryki. Mamy dwa zbiory: zbiór A
składający się z elementów a i zbiór B składający się z
elementów b mamy określić liczbę par, w których na
pierwszym miejscu stoją elementy zbioru B. liczba
wszystkich par jest iloczynem zbioru ab.
Na materiale powtórzeniowym poznają dzieci
klasy drugiej nazwy liczb w mnożeniu i
dzieleniu oraz własności mnożenia:
łączność i przemienność.
Tabele mnożenia i dzielenia opracowujemy
łącznie na zasadzie zachodzących miedzy tymi
działaniami zależności wzajemnie odwrotnych.
Zanim przystąpimy do rozszerzania tabeli
mnożenia i dzielenia do pełnego jej
wyczerpania, należy zmechanizować technikę
rachunkową tych działań w zakresie
przerobionym w klasie pierwszej. Posłużą one
za podstawę do opracowywania odnośnych
działań na większych liczbach przy stosowaniu
rozdzielności mnożenia i dzielenia względem
dodawania.
Na przykład liczbę
kratek w prostokącie
można obliczyć
różnymi sposobami.
Dzieci analizują
rysunek i zapisują
przedstawione na nim
sposoby mnożenia:
7 x 6 = (5+2) x 6 = 5 x 6 + 2 x 6 = 30
+12 =42
7 x 6 = 7 x (3+3) = 7 x 3 + 7 x 3 = 21 +
21 =42
7 x 6 = (4+3) x 6 = 4 x 6 + 3 x 6 =24 +
18 =42
Porównują podane sposoby
obliczania iloczynu i
wybierają łatwiejszy.
Posłużyły się tutaj
praktycznie, bez
teoretycznych uogólnień
prawem rozdzielności
mnożenia względem
dodawania w celu ułatwienia
obliczania iloczynu w
trudniejszych przypadkach
tabeli mnożenia
Tę samą sytuację możemy
zilustrować na osi liczbowej.
Po przerobieniu szeregu tego rodzaju ćwiczeń z
podręcznika zdobędą dzieci umiejętności posługiwania
się rozdzielnością przy obliczaniu iloczynu. W podobny
sposób opracowujemy analogicznie do mnożenia
przypadki dzielenia, posługując się rozdzielnością
dzielenie względem dodawania.
W klasie drugiej nie kładziemy nacisku na
zmechanizowanie mnożenia i dzielenia w zakresie tabeli
mnożenia, nastąpi to dopiero w klasie trzeciej. Tutaj
doprowadzimy do wprawy w obliczaniu iloczynu i ilorazu,
tzn. do umiejętności rachunkowych. Łączne
opracowywanie tych działań na zasadzie logicznych
związków między nimi doprowadzi niejako boczni, bez
specjalnych ćwiczeń pamięciowych, do sprawności
rachunkowych.
Z przemienności mnożenia będziemy korzystać w
ćwiczeniach techniki rachunkowej dopiero wtedy, gdy
dzieci już umieją obliczać iloczyn posługiwać się prawem
rozdzielności mnożenia względem dodawania. Unikniemy
w ten sposób wyłącznie pamięciowego przyswojenia
tabeli mnożenia i dzielenia zanim zdobędą dzieci
umiejętności samodzielnego obliczania iloczynu i ilorazu.
Dziękujemy
!
Notatka dla grupy:
MNOŻENIE, DZIELENIE ORAZ ICH WŁASNOŚCI
Gdy uczniowie posługują się liczbami w zakresie do 25
można zacząć zapoznawać ich z nowym działaniem- mnożeniem.
Mnożenie uczniowie klasy pierwszej poznają jako skrócone
dodawanie jednakowych składników. Początkowo mnożenie
wyrażone jest różnymi czynnościami fizycznymi. Zapisując
dodawaniem jednakowych składników i krócej mnożeniem,
odpowiadające im czynności, uczniowie zaczynają obejmować
poznanym działaniem- mnożeniem- ogół tych czynności. Dalsze
ćwiczenia służą do oderwania mnożenia od czynności materialnej.
Oderwanie się myślami ucznia od czynnościowego pojmowania
mnożenia dokonuje się łatwo i szybko z uwagi na wprowadzenie
tego działania z dodawania jednakowych składników.
W pierwszej klasie wprowadzenie dzielenia wykorzystujemy
do pogłębienia mnożenia i wykazania związku między tymi
działaniami. Dzielenie jest działaniem arytmetycznym stosunkowo
trudnym. Łączy ono dwa typy zagadnień: dzielenia „po kilka”, czyli
mieszczenia oraz dzielenia „na kilka równych części”, czyli podział.
Wprowadzając dzielenie należy wyjść od znanych uczniom
intuicyjnie dwóch przypadków dzielenia (mieszczenie i podział) i
stopniowo doprowadzać do abstrakcji i uogólnienia, to znaczy
dzielenia „przez”.
WŁASNOŚCI MNOŻENIA I DZIELENIA
Mnożenie liczb (iloczyn) a · b = c
Liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami (a, b), wynik mnożenia
to iloczyn (c).
Mnożenie oznaczamy symbolem kropki ·, czasami w miejsce kropki
używa się znaku krzyżyka ×.
Mnożenie liczb jest rozszerzeniem dodawania dla liczb naturalnych,
określonego jako:
a · b = a + a + ... + a,
gdzie a występuje b razy. Mnożenie jest więc dodawaniem tych
samych składników.
Własności:
• Liczba 1 jest elementem neutralnym w mnożeniu liczb:
a · 1 = a
• Przemienność mnożenia:
a · b = b · a
• Łączność mnożenia:
(a · b) · c = a · (b · c)
• Rozdzielność mnożenia względem dodawania:
a · (b + c) = a · b + a · c
Dzielenie liczb (iloraz)
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
a : b = c, gdzie b ≠ 0
Liczbę, którą dzielimy nazywamy dzielną (a), liczba, przez
którą dzielimy to dzielnik (b). Wynik dzielenia to iloraz (c).
Dzielnik nie może być równy zero. Dzielenie przez zero jest
niewykonalne.
Symbol działania: :, /, ÷
Własności:
•Iloraz dwóch jednakowych liczb jest zawsze równy jeden:
a : a = 1
•Jeżeli dowolną liczbę podzielimy przez 1, to liczba ta nie
zmieni się:
a : 1 = a
•Jeżeli zero podzielimy przez dowolną liczbę, to wynik jest
równy zero.
0 : a = 0
• Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
Jeżeli b ≠ 0, to a : b = c ⇔a = b · c