P
K
M
I
wytrzymałość
zmęczeniowa
P
K
M
I
wytrzymałość
zmęczeniowa
Wytrzymałość - obciążenie
• Wytrzymałość doraźna – obciążenia
statyczne (było)
• Wytrzymałość zmęczeniowa –
obciążenia zmienne w czasie (np.
wielokrotne zginanie metalowego
pręta)
Współczynniki bezpieczeństwa ?
naprężenia zmienne w czasie – przyczyna zmęczenia !
t
σ
t
σ
Naprężenia zmienne w
czasie
Naprężenia stałe w
czasie
Samolot –
obciążenia
losowe
Zginanie zmęczeniowe
szyny
naprężenia zmienne okresowe – np. sinusoidalnie zmienne
t
σ
σ
min
σ
m
σ
max
2
min
max
m
2
min
max
a
naprężenia średnie
amplituda naprężeń
Okres T [s] lub
częstotliwość f [Hz]
Przykład
1,2,3
Przykłady
• Obracająca się zginana oś (wał a
oś ?)
T i f ?
• inne
naprężenia zmienne
t
σ
σ
min
σ
m
σ
max
max
min
R
a
m
współczynnik asymetrii cyklu
współczynnik stałości
obciążenia
t
σ
σ
min
σ
m
σ
max
naprężenia zmienne
naprężenia
stałe
jednostronny
dodatni
odzerowo
tętniący
dodatni
wahadłowy
odzerowo
tętniący
ujemny
max
min
R
a
m
R = +1
= +
0 < R <
1
1 < <
+
R = 0
= 1
R = -1
= 0
R = ±
= -1
Asymetria
cyklu:
Współczynnik
stałości
obciążenia
Związki R - ?
wykres Wöhlera – najczęściej cykle wahadłowe
N
σ
a
wykres Wöhlera
N
1/4
10
3
10
4
10
7
I
II
III
IV
I - w. quasi-
statyczna
II - w. niskocyklowa
III - w.
wysokocyklowa
IV - w.
nieograniczona
1·10
7
- stal
1·10
8
- metale nieżelazne
σ
a
wykres Wöhlera
Log N
σ
a
10
3
Z
g
Z
g0
- zginanie
wahadłowe
Z
gj
- zginanie
odzerowe
Z
s0
- skręcanie
wahadłowe
Z
sj
- skręcanie
odzerowe
Z
rc
- rozciąganie-
ściskanie
wahadłowe
Z
rj
- rozciąganie
odzerowo tętniące
Z
cj
- ściskanie
odzerowo tętniące
Z
g
– granica zmęczenia
N
0
Nieograniczona wytrzymałość zmęczeniowa
wykres Wöhlera
Log N
10
3
N
0
Z
g
Z
g
– granica zmęczenia
N
σ
a
0
log
log
N
k
Z
N
k
g
a
N
N
Z
k
g
a
log
log
0
stal 45 (C45) – wahadłowe zginanie:
σ
a
= 350 MPa
N = 10
5
Z
g
= 280 MPa
N
0
=
1,2·10
6
k=65
Równanie nachylonej prostej:
Współczynnik
:
σ
a
granica zmęczenia – stale konstrukcyjne
przybliżone wartości granic zmęczenia:
stale węglowe i stopowe obrabiane cieplnie:
Z
g0
=0,45·R
m
Z
gj
=0,7·R
m
Z
rc
=0,33·R
m
Z
rj
=(0,55÷0,63)·R
m
Z
s0
=0,25·R
m
Z
sj
=(0,45÷0,5)· R
m
zginanie
granica zmęczenia – ujęcie probabilistyczne (duże rozrzuty !) – zginane próbki
stal C45
wykres zmęczeniowy Smitha – uwzględnia naprężenia średnie
– opisuje właściwości materiałowe -
zmęczeniowe
σ
m
σ
m
σ
max
σ
min
σ
max
σ
min
σ
m
σ
m
R
m
σ
max
σ
min
Zg
const
m
Granice zmęczenia
z wykresów
Wöhlera
wykres zmęczeniowy Smitha - uproszczony
σ
m
R
e
Z
r
c
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
Zg
Jakie
dane ?
Jakie N ?
Jakie R ?
wykres zmęczeniowy Haigha
σ
m
σ
a
R
e
Z
r
c
Z
rj
/2
Z
rj
/2
R
e
R
m
const
R
max
min
Obciążenie
wahadłowe
Obciążenie
statyczne
Obciążenie odzerowo-
tętniące
Zadanie 1
– wykres Smitha
1. Narysować wykres Smitha wg stałych materiałowych
podanych w tabeli.
2. Obliczyć dopuszczalne amplitudy naprężenia σ
a1
oraz σ
a2
tak, aby element miał nieograniczoną
wytrzymałość zmęczeniową.
własności mechaniczne [MPa]
R
m
R
e
Z
g0
Z
gj
650
430
280
470
Element ze stali 45 poddany jest czystemu zginaniu, przy
czym naprężenie średnie wynosi σ
m1
=100 MPa lub
σ
m2
=350 MPa.
Zadanie 1
– wykres Smitha
własności mechaniczne
[MPa]
R
m
R
e
Z
g0
Z
gj
650
430
280
470
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
4 5 0
5 0 0
- 3 0 0
- 2 5 0
- 2 0 0
- 1 5 0
- 1 0 0
- 5 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
2 5 0
3 0 0
3 5 0
4 0 0
4 5 0
5 0 0
R
e
Z
gj
Z
gj
/2
Z
g0
-Z
g0
σ
m2
σ
a2
σ
a1
σ
m1
σ
m
Z
g
log N
σ
Z
g
brak
pęknięć
pęknięcie
krytyczne
wzrost
pęknięcia
proces zniszczenia zmęczeniowego
proces zniszczenia zmęczeniowego – przełom zmęczeniowy
1 - ognisko
2 - strefa przyogniskowa
3 - uskoki pierwotne
4 - prążki zmęczeniowe
5 - uskoki wtórne
6 - strefa przejściowa
7 - strefa resztkowa
gładkie
Właściwości zmęczeniowe
• Współczynnik kształtu
α
k
(wałek z
karbem)
• Współczynnik działania karbu
β
k
(wrażliwość materiału na działanie
karbu
η
k
- materiał kruchy i plastyczny)
• Współczynnik wielkości przedmiotu
ε
• Współczynnik obróbki powierzchni
β
p
•
współczynnik kształtu – karb – zmiana rozkładu naprężeń (spiętrzenie) !
Zmęczenie
Rowki, otwory, wycięcia, gwinty …
rozciąganie
zginanie
skręcanie
n
k
max
n
k
max
n
k
max
współczynnik kształtu – zależny wyłącznie od geometrii karbu
,
,
r
R
r
f
k
współczynnik kształtu
skręcanie pręta
okrągłego
z odsadzeniem
R = D/2 = 24 mm
r = d/2 = 20 mm
R/r = 24/20 = 1,2
ρ = 4 mm ρ/r = 4/20 = 0,2 α
k
=
1,35
ρ = 2 mm ρ/r = 2/20 = 0,1 α
k
=
1,76
ρ = 1 mm ρ/r = 1/20 = 0,05 α
k
=
2,4
Zmniejszenie wpływu karbu (współczynnika kształtu) – odciążenie – przykłady
wgłębieni
e
wgłębieni
e
rowek
odciążający
rowek
odciążający
zaokrąglenie
zaokrąglenie
eliptyczne
rowek i zaokrąglenie
pierścień dystansowy
współczynnik działania karbu - model
k
gł
k
Z
Z
Z
gł
- granica zmęczenia próbki
gładkiej
Z
k
- granica zmęczenia próbki z
karbem
1
1
k
k
k
η
k
- współczynnik
wrażliwości materiału na
działanie karbu
η
k
= 1 dla materiałów doskonale
sprężystych i doskonale
kruchych
η
k
= 0 dla materiałów doskonale
plastycznych
np. żeliwo
η
k
bliskie zeru
Z wykresów lub ze wzoru lub będzie
podany:
współczynnik działania karbu
ρ
R
m
η
k
α
k
β
k
4
810
0,875
1,65
1,58
Stal C45 o Rm = 810
MPa
współczynnik działania karbu – obciążenie wahadłowym zginaniem wałka
ρ
Z
α
k
β
k
4
380
1,6
5
1,5
4
współczynnik wielkości przedmiotu (stal konstrukcyjna) w odniesieniu do
wałka Φ10 mm
d
Z
α
k
1/ε
50
380
1,6
5
1,3
9
10
Z
Z
d
współczynnik obróbki powierzchni (odniesienie – próbka polerowana)
R
a
β
p
obr
pol
p
Z
Z
810
10
1,2
1,1
β
p
’
rozciąganie/skręcanie i
zginanie
skręcanie
1
p
k
współczynnik wpływu obróbki powierzchni
obr
k
obróbka
rodzaj
próbki
średnica [mm]
β
obr
kulowanie
gładka
7-20
0,77-0,91
30-40
0,91-0,93
z karbem
7-20
0,40-0,70
30-40
0,57-0,90
azotowanie
gładka
8-15
0,80-0,87
30-40
0,87-0,90
z karbem
8-15
0,33-0,52
30-40
0,50-0,77
obr
obr
Z
Z
Naprężenia nominalne i
zastępcze
a
z
a
współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
a
az
Z
Z
δ - współczynnik bezpieczeństwa
Z - granica zmęczenia
ε - współczynnik wielkości przedmiotu
β - współczynnik działania karbu i
powierzchni
σ
a
- nominalna amplituda obciążenia
przyjmowana wartość współczynnika bezpieczeństwa δ
δ
przypadek
1,3÷1,5
wykorzystanie wyników badań eksperymentalnych
1,5÷1,7
zwykła dokładność obliczeń, elementy niewielkie,
dobra technologia wykonania
1,7÷2,0
zwykła dokładność obliczeń, elementy duże lub o
średniej technologii wykonania
2,0÷3,0
obliczenia orientacyjne, ciężkie warunki pracy,
elementy odlewane
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
Wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa δ
1
dla pręta ze stali C35
(normalizowanej) o średnicy D
=
20 mm obciążonego wahadłowo
zmiennym momentem zginającym o amplitudzie M
=50 Nm.
Własności stali: Z
g0
=255 MPa, R
m
=
550 MPa. Określić współczynnik
bezpieczeństwa δ
2
jeśli na pręcie wykonany zostanie karb obrączkowy
o promieniu ρ
=
2 mm, przy czym średnica pręta ulega w tym miejscu
zmniejszeniu do d
=
15 mm. Wał został dokładnie wytoczony, wartość
R
a
=
10μm.
a
Z
1
p
k
32
3
d
M
W
M
x
a
σ
m
R
e
Z
go
Z
gj
Z
rj
/2
-Z
rc
a
Z
1
p
k
32
3
d
M
W
M
x
a
σ
a z
Z = Z
go
A
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
ZADANIE 1 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle symetryczne
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp.
zmęczeniowy
σ
m
R
e
Z
r
c
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
-Z
rc
A
A’
’
A
0
A’
L
L
0
L’
’
L’
'
'
max
max
AA
LL
A
L
Założenie: dla R = const
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp.
plastyczny
σ
m
R
e
Z
r
c
Z
rj
Z
rj
/2
σ
max
σ
min
-Z
rc
B
B’
’
B
0
B’
P
P
0
P’’
P’
'
'
max
max
BB
PP
B
P
e
Dla R =
const
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp.
zmęczeniowy
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/
2
σ
ma
x
σ
min
-Z
rc
A
A’
L
L’
'
'
max
max
AA
LL
A
L
m
a
rc
rj
rj
rc
m
a
rc
Z
Z
Z
Z
Z
2
Dla R =
const
współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne – wsp. bezp.
zmęczeniowy
σ
m
R
e
Z
rc
Z
rj
Z
rj
/
2
σ
ma
x
σ
min
-Z
rc
C
C’=S
’
S
'
'
max
max
CC
SS
C
S
a
m
rc
a
rj
rj
rc
m
rc
Z
Z
Z
Z
Z
2
Dla σ
m
=
const
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
Wał obciążony jest momentem skręcającym M = M
m
± M
a
=
5000±2000
Nm.
W pewnym miejscu jego średnica zmienia się z D = 80 mm na d = 60
mm, przy czym wykonane jest tam odsadzenie o promieniu ρ = 5
mm.
1. Narysować wykres Smitha jeżeli dane stali C55 z której wykonano
wał są następujące: Z
s0
= 225 MPa; Z
sj
= 405 MPa; R
e
= 320 MPa;
R
m
= 700 MPa.
2. Określić dopuszczalną chropowatość wału jeżeli współczynnik
bezpieczeństwa ma być nie mniejszy niż δ = 1,45. W przypadku
przeciążenia współczynnik asymetrii cyklu pozostaje stały.
16
3
d
M
a
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
ZADANIE 2 - współczynniki bezpieczeństwa – cykle niesymetryczne
hipoteza kumulacji uszkodzeń
N
σ
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
σ
5
n
1
n
2
n
3
n
4
n
5
N
1
N
2
N
3
N
4
N
5
=
hipoteza Palmgrena-
Minera:
k
i
i
i
N
n
D
1
1
ZADANIE 3 – kumulacja uszkodzeń
Okrągłe cięgno pokazane na rysunku obciążone jest naprężeniami
blokami wg. tabeli. Obliczyć maksymalną liczbę bloków do
zniszczenia, jeżeli granica zmęczenia wynosi Z
g
=280 MPa przy N
0
=
1,2·10
6
cykli, zaś dla σ
x
= 350 MPa zmniejsza się do N
x
= 10
5
.
Pozostałe
stałe
materiałowe:
R
e
=
290
MPa,
R
m
= 480 MPa.
lp
.
amplituda
obciążenia
[kN]
liczb
a
cykli
1
10,5
10
2
7,5
300
3
8,5
80
4
9
50
ZADANIE 3 – kumulacja uszkodzeń
ZADANIE 3 – kumulacja uszkodzeń
ZADANIE 3 – kumulacja uszkodzeń
wytrzymałość niskocyklowa
ε
ac
- amplituda odkształcenia
całkowitego
ε
apl
- amplituda odkształcenia
plastycznego
ε
as
- amplituda odkształcenia
sprężystego
wytrzymałość niskocyklowa
N
ε
apl
N
σ
a
σ
a
=
const
ε
apl
=
const
materiał wykazujący:
umocnienie
,
osłabienie
,
stabilność