Analiza obwodów liniowych
metodą
rachunku operatorowego
Klasa SLS
Dla dwójników SLS przy zerowych
warunkach początkowych,
równanie operatorowe ma postać
)
(
)
(
)
(
s
I
s
Z
s
U
)
(
)
(
)
(
s
U
s
Y
s
I
Analiza obwodów liniowych
metodą
rachunku operatorowego
Klasa SLS
Dla dwójników SLS przy zerowych
warunkach początkowych,
równanie operatorowe ma postać
)
(
)
(
)
(
s
I
s
Z
s
U
)
(
)
(
)
(
s
U
s
Y
s
I
Z(s), Y(s) - funkcja wymierna
rzeczywista
(o współczynnikach rzeczywistych)
0
1
0
1
...
...
)
(
)
(
)
(
b
s
b
s
b
a
s
a
s
a
s
M
s
L
s
Z
m
m
l
l
Z(s) – impedancja operatorowa
Y(s) - admitancja operatorowa
(immitancje operatorowe)
0
)
(
t
i
k
0
)
(
s
I
k
0
)
(s
U
k
Równania operatorowe
Opornik
)
(
)
(
s
I
R
s
U
R
s
Z
R
)
(
Cewka
t
i
L
u
d
d
(0)
-
)
(
)
(
Li
s
I
sL
s
U
k-ta cewka sprzężona magnetycznie z
(n-1) cewkami
t
i
M
t
i
L
u
l
n
k
l
l
l
k
k
k
k
d
d
d
d
1
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
1
1
l
n
k
l
l
kl
n
k
l
l
k
k
l
kl
k
k
k
i
M
i
L
s
I
M
s
s
I
sL
s
U
Kondensator
d
)
(
1
)
0
(
0
t
i
C
u
u
)
(
1
)
0
(
)
(
s
I
sC
s
u
s
U
Źródła sterowane
x
y
)
(
)
(
s
X
s
Y
Przy zerowych warunkach
początkowych, cewkę i kondensator w
pełni charakteryzują impedancje
operatorowe
sL
s
Z
L
)
(
sC
s
Z
c
1
)
(
Prawa Kirchhoffa dla wartości
operatorowych mają taką samą postać
jak dla wartości symbolicznych.
Reguły dotyczące wyznaczania
zastępczej impedancji (admitancji)
operatorowej połączeń są takie same
jak w przypadku impedancji
(admitancji) zespolonych.
Przykład
2
3
3
2
3
3
1
1
1
)
(
sC
sL
R
sC
sL
R
R
s
Z
Analiza obwodów metodą
operatorową
W procesie analizy obwodów
posługujemy się znanymi metodami.
Otrzymane równania operatorowe
obwodu są równaniami algebraicznymi
o współczynnikach zależnych od
zmiennej zespolonej s.
W wyniku rozwiązania tych równań
otrzymujemy transformaty prądów i
napięć, które następnie poddajemy
przekształceniu odwrotnemu
otrzymując pełne rozwiązania,
obejmujące składową wymuszoną i
swobodną.
Przykład
Obliczyć prąd i przy zerowych
warunkach początkowych,
t
E
u
1
sL
R
s
Z
)
(
)
(
)
(
s
I
s
Z
s
E
L
R
s
s
L
E
s
I
1
)
(
t
L
R
e
k
k
L
E
L
R
s
s
L
E
s
I
t
i
1
)
(
)
(
2
1
1
1
L
L
R
L
L
R
s
s
s
k
s
lim
0
1
R
L
L
R
s
s
L
R
s
k
L
R
s
lim
2
t
L
R
e
R
E
i
1
Przykład
Obliczyć u
C
(t) po przełączeniu
e=10V, L=1H, C=1mF, R
1
=5,
R
2
=50
e
L
C
R
1
R
2
t=0
warunki początkowe
V
E
u
A
R
i
C
L
10
0
2
10
0
1
schemat operatorowy
E
(s
)
s
L
sC
1
R
2
L
i
L
(0
)
s
u
C
0
U
C
(s
)
0
1
0
0
2
R
s
U
sC
s
u
s
U
sL
Li
s
E
s
U
C
C
C
L
C
1000
20
10000
2000
10
2
2
s
s
s
s
s
s
U
C
j
s
j
s
s
30
10
30
10
0
3
2
1
t
e
t
u
t
C
30
sin
60
10
10
Wyznacz prąd płynący przez szeregowe
połączenie RC, jeżeli układ zasilono napięciem
trapezoidalnym pokazanym na rysunku
u(t)
t
2
1
0
10
R=1 C=0.5F
1. Wyznaczamy transformatę napięcia u(t)
dt
dt
t
dt
t
u
s
U
st
st
st
e
10
e
10
e
2
1
1
0
0
pierwszą z całek liczymy przez części
2
2
1
0
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
10
e
10
e
10
e
1
10
e
10
e
1
10
e
10
1
e
1
e
e
10
e
10
s
s
s
s
s
t
dt
s
s
t
g
h
gh
g
t
g
s
h
h
dt
t
dt
t
s
s
st
st
st
st
st
st
st
st
liczymy drugą całkę
s
s
st
st
s
s
s
dt
e
10
e
10
e
1
10
e
10
2
2
1
2
1
ostatecznie
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
U
2
2
2
2
2
2
e
10
e
10
10
e
10
e
10
10
e
10
e
10
Ponieważ u(t)=0 dla t<0, więc
0
0
C
u
i impedancja układu wynosi
s
.
s
.
sC
sRC
sC
R
s
Z
5
0
1
5
0
1
1
prąd płynący przez obwód
s
s
s
.
s
.
s
s
.
s
.
s
s
.
s
.
s
s
Z
s
U
s
I
2
2
2
e
1
5
0
5
0
10
e
1
5
0
5
0
10
1
5
0
5
0
10
s
s
s
s
s
s
s
s
Z
s
U
s
I
2
e
2
10
e
2
10
2
10
wyznaczamy transformatę odwrotną
2
1
e
10
1
1
e
5
1
1
5
e
5
5
2
2
1
2
2
t
t
t
t
i
t
t
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0
2
4
I
t
F1
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
I
t
F1
2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0
-10
-8
-6
-4
-2
0
I
t
F1
1
V1
2
R1
1
C1
0.5
Ic
amps
v1
volts
SPICE
1
500M
1.50
2.50
3.50
4.50
WFM.1 V1 vs. TIME in Secs
12.0
8.00
4.00
0
-4.00
V
1
in
V
o
lts
1
500M
1.50
2.50
3.50
4.50
WFM.1 IC vs. TIME in Secs
6.00
2.00
-2.00
-6.00
-10.00
IC
in
A
m
p
s
i(t)
u(t)