NAPĘD
ELEKTRYCZNY
Teresa Orłowska-Kowalska,
prof. dr hab. inż.
Zakład Napędów Elektrycznych
www.imne.pwr.wroc.pl/zne
godz. konsultacji: śr.11-13, pt.9-
11
NAPĘD
ELEKTRYCZNY
Teresa Orłowska-Kowalska,
prof. dr hab. inż.
Zakład Napędów Elektrycznych
www.imne.pwr.wroc.pl/zne
godz. konsultacji: śr.11-13, pt.9-
11
WYKŁAD 2
Równanie ruchu
układu napędowego
Równanie ruchu UN
Równanie ruchu formułuje się na podstawie:
• zasady Hamiltona (najmniejszego działania),
• zasady zachowania energii (prosta
interpretacja fizyczna).
Całkowita energia E
e
dostarczona
przez silnik SE do maszyny roboczej
MR:
energia użyteczna E
u
+ energia
kinetyczna E
k
(zmagazynowana w układzie
napędowym - w masach wirujących).
Równanie ruchu UN
SE
MR
E
k
(J)
M
e
M
o
E
u
E
e
E
E
E
e
u
k
czyli:
P dt
P dt J
e
t
u
t
0
2
0
2
Moc dostarczona przez silnik:
P
M
e
e
Moc
użyteczna:
P
M
u
o
Po podstawieniu, zróżniczkowaniu
względem czasu)
i podzieleniu przez otrzymuje się:
M
M
J
d
dt
dJ
dt
e
o
2
Równanie ruchu UN
Równanie ruchu UN
Uwzględniając, że (gdzie a - kąt
obrotu wału):
M
M
J
d
dt
d
d
dJ
dt
J
d
dt
dJ
d
M
e
o
d
2
2
2
d
dt
M
d
jest nazywany momentem
dynamicznym napędu.
Równanie ruchu UN
Moment dynamiczny zawiera dwie
składowe zmiennej energii kinetycznej:
1- wynikająca ze zmiany prędkości przy
stałym momencie bezwładności
J
d
dt
2
2
dJ
d
2 - uwzględniająca zmienność momentu bezwładności
Równanie ruchu UN
W tej postaci równaniu ruchu nie występują
jawnie straty (tarcie, luzy) towarzyszące
przenoszeniu energii od silnika do mechanizmu.
Można przyjąć, że uwzględnione są w wartościach
M
o
lub M
e
, jako ich dodatkowe składniki, np.:
M
M
x t
M
o
o
t
, , ,
sign
*
k
*
k
M
t
2
1
przy czym:
Równanie ruchu UN
Większość układów napędowych ma
stały, niezależny od czasu ani od
położenia, moment bezwładności.
Dla takich napędów równanie ruchu
przyjmuje postać:
M
M
J
d
dt
M
e
o
d
Stany pracy układu
napędowego
Z punktu widzenia zmiany prędkości
kątowej rozróżnia się dwa stany pracy:
- stan ustalony
,
v
d
dt
0
0
dt
dv
w którym prędkość = const
(lub = const),
czyli:
lub
Stany pracy układu
napędowego
- stan
nieustalony
(przejściowy,
dynamiczny),
w którym prędkość const
(lub const),
czyli:
lub
v
d
dt
0
0
dt
dv
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Stan ustalony
, zwany również
stanem
równowagi statycznej napędu
występuje
wówczas, gdy moment dynamiczny M
d
=0,
czyli moment obciążenia jest równoważony
przez moment silnika.
Stan ten jest charakteryzowany na wykresie
-M charakterystyk mechanicznych silnika
i maszyny roboczej,
punktem przecięcia A
charakterystyki
=f(M
e
) i
=f(M
o
).
Stan ustalony - równowaga
statyczna
M
M
o
M
M
o
M
e
M
e
M
A
M
A
A
A
A
A
b)
a)
Rys.1.15. Ilustracje stabilności statycznej układu
napędowego:
a - układ stabilny, b - układ niestabilny
.
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Punkt A jest
stabilnym punktem równowagi
,
czyli układ napędowy w stanie ustalonym jest
stabilny (stateczny) wówczas,
gdy zakłócenie stanu równowagi wywołuje
powstanie momentu
dążącego do sprowadzenia układu ponownie
do położenia równowagi w punkcie A
(rys.1.15a).
Jeżeli to nie nastąpi, to układ jest niestabilny
(niestateczny)
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Przy założeniu małych, dostatecznie
wolno przebiegających, odchyleń od
punktu pracy ustalonej, równania
rzeczywistych charakterystyk silnika i
maszyny roboczej można zastąpić
równaniami stycznych,
poprowadzonych
przez
punkt A odpowiadający stanowi
równowagi (rys.1.15), czyli:
M
a
e
M
b
o
Stan ustalony - równowaga
statyczna
a
dM
d
e
A
b
dM
d
o
A
Równanie ruchu (w przypadku J= const),
napisane dla przyrostów momentów i
prędkości, przyjmuje postać:
a
b
J
d
dt
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Po
przekształceniu:
d
dt
a b
J
0
Rozwiązanie tego równania różniczkowego
wyznacza przebieg prędkości kątowej
przy małym zaburzeniu w punkcie pracy A:
Ce
a b
J
t
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Rozważany
punkt pracy A będzie
stateczny
tylko wówczas, gdy odchyłka
prędkości będzie dążyła do zera:
lim
0
t
Warunek ten będzie spełniony, jeśli
wykładnik potęgi w rozwiązaniu będzie
ujemny, czyli przy dla J>0, gdy będzie
spełniony warunek:
b
a
czyli
0
,
b
a
Stan ustalony - równowaga
statyczna
A więc punkt pracy A będzie
stateczny,
jeśli będzie spełniony
warunek stabilności statycznej
układu napędowego.
:
dM
d
dM
d
e
o
A
A
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Przy pracy statecznej napędu - ze
wzrostem prędkości kątowej moment
oporowy M
o
powinien rosnąć szybciej niż
moment obrotowy M
e
silnika napędowego
Wówczas, przy wzroście prędkości, M
o
>M
e
i następuje hamowanie, natomiast przy jej
zmniejszaniu się, M
o
<M
e
i mamy
przyspieszenie napędu .
W obydwu przypadkach układ napędowy
wraca
do poprzedniego punktu pracy.
Stan ustalony - równowaga
statyczna
Z przedstawionej analizy wynika, że
o
równowadze statycznej UN decyduje
charakter przebiegów statycznych
charakterystyk mechanicznych SE i MR.
Ten sam punkt A pracy ustalonej może
być jednocześnie, w zależności od
przebiegu charakterystyki maszyny
roboczej:
- stabilnym (dla krzywej 1),
- niestabilnym (dla krzywej 2) punktem
pracy.
Stan ustalony - równowaga
statyczna
M
e
A
B
A
0
M
B
2(M
o2
)
1(M
o1
)
Rys.1.16 Ilustracja stabilności statycznej układu
napędowego:
A- punkt pracy stabilnej dla krzywej 1 (M
o1
=C
2
) i
niestabilnej dla krzywej 2 (M
o2
=const), B- punkt pracy
stabilnej dla krzywej 2.
Stany nieustalone
Stan nieustalony
(przejściowy,
dynamiczny) wiąże się ze zmianą punktu
pracy napędu w skutek działania trzech
rodzajów zaburzeń:
zakłóceń
(np. wahania napięcia lub
częstotliwości w sieci zasilającej),
awarii
(np. zwarcie w układzie zasilania,
chwilowy zanik napięcia sieci,
zablokowanie wirnika)
celowych działań
układu sterującego
(lub operatora) wymuszonych przez
specyfikę procesu technologicznego.
Stany nieustalone
Wśród celowych działań US można
wyróżnić następujące stany
dynamiczne:
-
rozruch
- przejście ze stanu
spoczynkowego do określonego stanu
pracy ustalonej (np. praca przy
obciążeniu i prędkości znamionowej,
praca na biegu jałowym, praca przy
obniżonej prędkości kątowej itp.),
-
zatrzymanie
(wybieg) - proces
odwrotny do powyższego, przy czym
zmniejszanie prędkości do zera
następuje w sposób naturalny, tj. w
wyniku sił tarcia w układzie,
Stany nieustalone
-
hamowanie
- proces,
podczas którego UN jest
zatrzymywany przez
dostarczenie dodatkowego
momentu większego niż
moment tarcia; przy czym
moment hamujący
(spowalniający) może być
uzyskiwany na wiele sposobów
(mechaniczny, hydrauliczny lub
elektromechaniczny),
Stany nieustalone
-
nawrót
(rewers - czyli
zmiana kierunku obrotów) –
proces, w którym następuje
przejście ze stanu pracy
ustalonej przy jednym kierunku
wirowania do pracy ustalonej w
przeciwnym kierunku wirowania.
Rewers prędkości związany jest z
zatrzymaniem lub hamowaniem
silnika i następnie z
natychmiastowym rozruchem w
przeciwnym kierunku wirowania,
Stany nieustalone
-
regulacja prędkości
kątowej
- polega na zmianie
charakterystyk =f(M
e
) silnika
przy utrzymywaniu niezmienionej
charakterystyki maszyny
roboczej. Następuje wówczas
przejście od jednej prędkości
ustalonej (w punkcie pracy A
’
)do
innej (punkt A
’’
) przy stałej
charakterystyce M
o
(rys.1,17a),
kolejne punkty pracy leżą na
charakterystyce MR,
Stany nieustalone
-
regulacja momentu obciążenia
-
polega na zmianie charakterystyk
=f(M
o
) maszyny roboczej przy
niezmienionej charakterystyce
silnika. Powoduje to przejście do
innego punktu pracy na
charakterystyce silnika (rys,1.17b);
kolejne punkty pracy leżą na
charakterystyce mechanicznej
silnika.
Stany nieustalone
Rys.1.17 Ilustracje regulacji prędkości i
momentu obciążenia
M
o
M
A'
a)
A''
A'''
M
e
M
A'
b)
M
o
A''
A'''
M
e
c)
M
A'
A''
A'''
Stany nieustalone
W szczególnych przypadkach
regulacja może wymagać zmian obu
charakterystyk mechanicznych: silnika i
maszyny roboczej (np. w układach
napędowych lokomotyw elektrycznych).
W takim przypadku kolejne punkty pracy
pokrywają cały obszar wyznaczony
granicznymi charakterystykami
uzyskanymi w procesie regulacji
(rys.1.17c).
Połączenie silnika z maszyną
roboczą
Silnik elektryczny może być połączony
z
mechanizmem
roboczym
w
następujący sposób:
a - w sposób sztywny, gdy:
b - poprzez element elastyczny,
dzięki skręceniu
którego pojawi się kąt skręcenia wału:
c - za pomocą elementów z luzami,
gdzie ruch
części elektrycznej jest przekazywany
mechanizmowi po tzw. wybraniu luzu,
czyli obróceniem się jednej części
mechanizmu
o kąt przy drugiej nieruchomej.
e
m
s
e
m
Połączenie silnika z maszyną
roboczą
Rys.1.21 Połączenie silnika z mechanizmem:
a - sztywne, b- poprzez element sprężysty,
c- z luzem;
e
,
m
- kąty obrotu wału silnika i
mechanizmu
e
m
e
m
e
m
s
a)
b)
c)
Połączenie sztywne
e
m
• 1. Połączenie sztywne:
Przy założeniu, że J= const,
równanie ruchu przyjmuje znaną
postać:
J
d
dt
M
M
M
e
o
d
Połączenie sztywne
Po uwzględnieniu, że moment
oporowy
może być funkcją prędkości
i mieć składową zewnętrzną M
o
(t)
będącą dowolną funkcją czasu oraz
składową typu tarcia suchego,
równanie momentu
mechanicznego MR w równaniu
ruchu ma postać:
M
M t
k
k sign
o
o
( )
1
2
Połączenie sztywne
Rys.1.22 Połączenie sztywne silnika i
maszyny roboczej: a- schemat
struktury,
b- momenty mechaniczne tarcia.
k
2
sign
k
1
k
2
M
-k
2
0
M=f(
b)
a)
M
e
M
o
(t)
M
d
J
e
+J
m
1
Połączenie elastyczne
2. Połączenie elastyczne (np. długi
wał)
Grupując część układu wokół silnika, a
pozostałą część przypisując maszynie
roboczej, otrzymuje się strukturę
dwumasową ze sprężystym elementem
łączącym, pokazaną na rys.1.23.
MR(J
m
)
SE(J
e
)
C
s
m
e
e
m
Połączenie elastyczne
Jeśli wprowadzi się pojęcie
współczynnika sprężystości C
s
, jako
zależność między kątem skręcenia a
momentem przenoszonym:
[Nm/rad],
to
moment skrętny
będzie wyrażony
następująco:
C
M
s
s
s
m
e
s
s
s
s
C
C
M
Połączenie elastyczne
Wówczas równania równowagi
mechanicznej (równania ruchu)
przyjmą następującą postać:
J
d
dt
M C
dt
e
e
e
s
e
m
C
dt M
J
d
dt
s
e
m
o
m
m
m
m
o
o
sign
k
k
)
t
(
M
M
2
1
:
czym
przy
Połączenie elastyczne
Rys.1.23. Schemat strukturalny połączenia
sprężystego silnika SE i maszyny roboczej MR
Połączenie elastyczne
Wynika to z faktu, że wspólny
poprzednio magazyn energii
kinetycznej związany z masą o
momencie bezwładności J=(J
e
+ J
m
)
został teraz rozdzielony na dwa, a
ponadto pojawił się jeszcze jeden w
postaci elementu sprężystego, który
magazynuje energię potencjalną
(wyrażoną w [Ws]):
Jak widać, rząd układu równań różniczkowych
podwyższa się w porównaniu z przypadkiem
połączenia sztywnego.
E
C
p
s
s
1
2
2
Połączenie elastyczne
Dokładniejsza analiza układu z masami i
elementami sprężystymi wykazuje istnienie
drgań własnych układu o częstotliwościach
równych odpowiednio dla silnika i
mechanizmu:
f
C
J
oe
s
e
1
2
f
C
J
om
s
m
1
2
f
C
J
J
J J
o
s
e
m
e m
1
2
Drgania te mogą ujawnić się w sposób
niebezpieczny,
jeśli któreś z wymuszeń (tzn. M
e
lub M
o
) będzie
zawierało
składową o bliskiej im częstotliwości.
Połączenie z luzem
Analizę UN z takim typem połączenia
przeprowadza się w podobny sposób jak
w przypadku połączenia sprężystego, tzn.
stosuje się
podział układu
na dwa zespoły zlokalizowane po
obydwu stronach elementu
wykazującego luz
.
Normalne przekładnie zębate oraz
niektóre połączenia przegubowe
wykazują
luzy.
e
m
Połączenie z luzem
Rozważa się dwa przedziały czasowe:
- pierwszy - w którym na skutek
występowania luzu
zespoły silnika i maszyny
roboczej
należy traktować jako
rozdzielone;
- drugi - w którym zespół
napędowy
przechodzi w układ
sztywny.
Połączenie silnika z maszyną
roboczą
Przedział pierwszy nazywany jest
wybieraniem luzu
i równanie dynamiki w tym przedziale
przyjmuje następującą postać:
J
d
dt
M
M
e
e
e
o
'
e
e
'
o
sign
k
k
M
2
1
:
gdzie
Połączenie silnika z maszyną
roboczą
Natomiast
w przedziale drugim -
bezluzowym
równanie dynamiki
odpowiada połączeniu sztywnemu :
o
e
M
M
dt
d
J
sign
k
k
)
t
(
M
M
o
o
2
1
:
czym
przy
WYKŁAD 2
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
- czas na
odpoczyne
k....