Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
ustalone przewodzenie
ustalone przewodzenie
ciepła, rozwiązania analityczne
ciepła, rozwiązania analityczne
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
ustalone przewodzenie
ustalone przewodzenie
ciepła, rozwiązania analityczne
ciepła, rozwiązania analityczne
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
Redukcja wymiarowości zagadnienia przewodzenia ciepła
Redukcja wymiarowości zagadnienia przewodzenia ciepła
w wielu przypadkach przewodzenie w jednym kierunku
w wielu przypadkach przewodzenie w jednym kierunku
dominuje
dominuje
nad przepływem energii w innych kierunkach. Pozwala to
nad przepływem energii w innych kierunkach. Pozwala to
zredukować wymiar geometryczny zagadnienia, przez
zredukować wymiar geometryczny zagadnienia, przez
pominięcie składnika strumienia ciepła w nieistotnych
pominięcie składnika strumienia ciepła w nieistotnych
kierunkach.
kierunkach.
Najczęściej uproszczeń takich można dokonać w
Najczęściej uproszczeń takich można dokonać w
obszarach o kształtach wydłużonych w jednym lub
obszarach o kształtach wydłużonych w jednym lub
kierunkach. Zadanie trójwymiarowe sprowadza się wtedy
kierunkach. Zadanie trójwymiarowe sprowadza się wtedy
odpowiednio do dwu lub jednowymiarowego.
odpowiednio do dwu lub jednowymiarowego.
Aby zastosować takie uproszczenie, warunki brzegowe
Aby zastosować takie uproszczenie, warunki brzegowe
wzdłuż kierunków wydłużonych muszą być stałe. Zadania
wzdłuż kierunków wydłużonych muszą być stałe. Zadania
chętnie upraszcza się do 1D, bowiem dla takich
chętnie upraszcza się do 1D, bowiem dla takich
przypadków znane są proste rozwiązania analityczne.
przypadków znane są proste rozwiązania analityczne.
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
(
)
r
q
T T
�
=a
-
(
)
l
q
T T
�
=a
-
b
T T
=
u
q q
=
izolacja
0
q=
izolacja
0
q=
przykład zadania dwuwymiarowego
pole temperatury w każdym przekroju
x y
jest
identyczne (nie zależy od
z
).
z
y
x
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
b
T T
=
u
q q
=
izolacja
0
q=
izolacja
0
q=
przykład zadania jednowymiarowego
pole temperatury wzdłuż każdej linii równoległej do osi
y
jest
identyczne (nie zależy ani od
z
ani od
x
).
z
y
izolacja
0
q=
izolacja
0
q=
x
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
(
)
e
e
q
T T
�
=a
-
(
)
i
i
q
T T
�
=a
-
izolacja
0
q=
izolacja
z
r
f
przykład zadania jednowymiarowego
pole temperatury wzdłuż każdego promienia
r
jest
identyczne (nie zależy ani od
z
ani od kąta
).
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
ściśle rzecz biorąc, redukcja zadania 3D do 2D
wymaga aby na powierzchniach prostopadłych do
wynikowego pola 2D, panowały warunki adiabatyczne.
W praktyce, jeśli warunki w tych przekrojach nie różnią się
znacznie, zadanie można i tak traktować jak 2 wymiarowe,
bowiem zakłócenia pola 2D koncentrują się tylko w okolicach
tych powierzchni.
Podobnie rzecz się ma przy redukcji zadań 2D do 1D.
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
2
50(
300) /
q
T
W m
=
-
2
1200 /
q
W m
=
400
T
K
=
2
50(
300) /
q
T
W m
=
-
warunki brzegowe na czołowych (kwadratowych)
powierzchniach zmieniają się od izolacji do
intensywnej wymiany konwekcyjnej
przykład redukcji wymiarowości zagadnienia
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
powierzchnie czołowe zaizolowane. Zadanie 2D
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
powierzchnie czołowe słabo wymieniające ciepło przez
konwekcję
=20 W/m
2
K temperatura płynu 300K.
Wpływ wnikania z tych powierzchni ogranicza się do
bardzo małego obszaru w ich sąsiedztwie
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
powierzchnie czołowe wymieniające ciepło przez konwekcję
ze średnią intensywnością
=50 W/m
2
K temperatura płynu 300K.
Wpływ wnikania z tych powierzchni nadal w niewielkim obszarze
w sąsiedztwie powierzchni czołowych
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
powierzchnie czołowe wymieniające ciepło przez
konwekcję
z dużą intensywnością
=100 W/m
2
K,temperatura
płynu 300K. Wpływ wnikania z tych powierzchni jest
jeszcze większy niż poprzednio. W środku obszaru
pole jest nadal dwuwymiarowe
redukcja wymiarowości
redukcja wymiarowości
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
Ustalone zadania jednowymiarowe
Ustalone zadania jednowymiarowe
Płaska nieskończona płyta
Płaska nieskończona płyta
wektor strumienia ciepła
normalny do powierzchni
q=q
x
y
z
q
q
x
obiekt 3D
obiekt 3D
model 1D
model 1D
2
2
2
2
2
2
0
v
T
T
T
q
x
y
z
�
�
�
�
�
l
+
+
+ =
�
�
�
�
�
�
�
2
2
0
v
d T
q
dx
l
+ =
q=q
x=0
x=
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
2
2
0
d T
dx
=
Stały współczynnik przewodzenia ciepła.
Stały współczynnik przewodzenia ciepła.
Płaska nieskończona płyta, pole bezźródłowe
Płaska nieskończona płyta, pole bezźródłowe
pole bezźródłowe
0
v
q =
rozwiązanie (całka ogólna)
1
2
( )
T x
C x C
=
+
stałe
C
1
i
C
2
wyznacza się z warunków brzegowych
x
R
R
dT
dT
q
d
dx
=- l
=- l
n
R
n
L
n
L
L
dT
dT
q
d
dx
=- l
=+l
n
strumienie na skrajnych powierzchniach maja przeciwne znaki.
W praktyce używa się jednego ze strumieni (zwykle dodatniego)
0
0
x
x
q
q
=d
=
+
=
notka o kierunku strumienia ciepła
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
(0)
( )
L
R
T
T
T
T
=
d =
znane obie temperatury skrajne
R
L
L
T T
T
x T
-
=
+
d
( )
L
R
T T
dT
q x
dx
-
=- l
=l
d
x
0
d
L
T
R
T
rozwiązanie
x
0
d
T
R
T
L
T
1
2
R
L
L
T T
C
C
T
-
=
d
=
1
2
T C x C
=
+
przebieg temperatury
l
A
L
R
T T
dT
Q qA
A
A
dx
-
=
=- l
=l
d
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
0
( )
L
x
R
dT
q
dx
T
T
=
l
=
d =
znana temperatura i strumień ciepła
(
)
L
R
q
T T
x
= -
d-
l
( )
L
dT
q x
q
dx
=- l
=-
x
0
d
L
q
R
T
x
0
d
T
R
T
1
2
L
L
R
q
C
q
C
T
=
l
= -
d
l
1
2
T C x C
=
+
rozwiązanie
l
przebieg temperatury
A
L
dT
Q qA
A
q A
dx
=
=- l
=-
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
0
(
)
(
)
L
fL
x
R
fR
x
dT
T T
dx
dT
T T
dx
=
=d
+l
=a
-
- l
=a
-
konwekcyjna wymiana ciepła na obu
powierzchniach
x
0
d
,
L
fL
T
a
x
0
d
,
R
fR
T
a
1
2
1
1
1
1
(
)
1
1
fR
fL
L
R
fR
fL
R
L
L
R
T
T
C
T
T
C
-
=
d
l
+ +
a
l
a
d
+
+
l
a
a
=
d
+ +
a
l
a
1
1
1
1
1
fR
fL
fL
fR
R
L
L
R
T
T
T
x
T
T
�
�
-
�
�
d
=
+
+
+
�
�
�
�
d
l
a
l
a
�
�
�
�
+ +
a
l a
1
1
fL
fR
L
R
T
T
dT
q
dx
-
=- l
=
d
+ +
a
l
a
1
1
fL
fR
L
R
T
T
dT
q
dx
-
=- l
=
d
+ +
a
l
a
l
1
2
T C x C
=
+
rozwiązanie
T
fL
T
fR
T
płyn
ciepły
płyn
chłodny
przebieg temperatury
A
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
płyta dwuwarstwowa 1
znany strumień ciepła i temperatura na brzegu. Idealny styk warstw
L
T
R
q
1
x
2
x
1
1 1
2
T C x C
=
+
2
3 2
4
T
C x C
=
+
1
l
2
l
1
d
2
d
0
0
2
2
1
1
2
2
2
(
0)
L
R
x
T x
T
dT
q
dx
=d
= =
- l
=
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
0
(
)
(
0)
x
x
T x
T x
dT
dT
dx
dx
=d
=
=d =
=
- l
=- l
rozwiązanie w każdej z warstw
nieznane stałe wyznacza się
z warunków brzegowych
brzegi
zewnętrzne
styk
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
płyta dwuwarstwowa 2
podejście uniwersalne, wymaga dość żmudnych
rachunków
1
1
1
2
3
4
1
2
2
;
;
;
R
R
L
R
L
q
q
T
q
C
C
T C
C
l
- d
=
=
=-
=
l
l
l
może być stosowane do zadań o
• dowolnej liczbie warstw,
• dowolnych liniowych warunków brzegowych
• zależnych od współrzędnej źródeł ciepła
lub
•zależnych od temperatury współczynnikach
przewodzenia ciepła
1
1
1
1
2
2
1
2
1
;
R
R
L
R
L
q
q
T
q
T
x T
T
x
l
- d
=
+
=-
+
l
l
l
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
płyta dwuwarstwowa 3
L
T
1
l
2
l
L
T
1
l
2
l
1
2
l <l
1
2
l >l
przebieg temperatury
bardziej strome przebiegi w gorszych przewodnikach ciepła
płaska płyta
płaska płyta
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
• jednowymiarowych
• ustalonych
• bezźródłowych
• o stałym współczynniku przewodzenia ciepła
Rachunki można znacznie uprościć, jeśli zamiast
wyznaczania
rozkładu temperatury, określa się wpierw strumień
ciepła.
Wykorzystuje się
stałość strumienia ciepła w czasie
(stan ustalony i pole bezźródłowe). Związek między
temperaturami na powierzchni płyty a gęstością
strumienia ciepła (niezależnie od zadanych
warunków brzegowych)
analogia elektryczna.
Szybka metoda rozwiązywania zadań
(
)
L
R
q
T T
l
=
-
d
(
)
L
R
q
T T
l
=
-
d
L
T
d
R
T
l
q
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
…
…
ścianka płaska, wielowarstwowa, idealny kontakt cieplny
konwekcyjna wymiana ciepła z obu stron ścianki
przenikanie ciepła
Dane:
L
T
1,2
T
2,3
T
1,
i
i
T
-
, 1
i i
T
+
2, 1
n
n
T
-
-
1,
n
n
T
-
R
T
temperatury granic warstw są nieznane
1
d
2
d
i
d
1
n-
d
n
d
,
1,2,...
i
i
n
d =
grubości warstw
1
l
2
l
i
l
1
n-
l
n
l
,
1,2,...
i
i
n
l
=
współczynniki przewodzenia ciepła warstw
,
fL
fR
T T
fL
T
fR
T
temperatury płynów omywających ściankę
L
a
R
a
,
L
R
a a
współczynniki wnikania ciepła
q
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
…
…
1
d
2
d
i
d
1
n-
d
n
d
1
l
2
l
i
l
1
n-
l
n
l
L
a
R
a
L
T
1,2
T
2,3
T
1,
i
i
T
-
, 1
i i
T
+
2, 1
n
n
T
-
-
1,
n
n
T
-
R
T
fL
T
fR
T
(
)
L
fL
L
q
T
T
=a
-
1
1,2
1
(
)
L
q
T T
l
=
-
d
2
1,2
2,3
2
(
)
q
T
T
l
=
-
d
1,
, 1
(
)
i
i
i
i i
i
q
T
T
-
+
l
=
-
d
…
…
1
2, 1
1,
1
(
)
n
n
n
n
n
n
q
T
T
-
-
-
-
-
l
=
-
d
1,
(
)
n
n
n
R
n
q
T
T
-
l
=
-
d
(
)
R
R
fR
q
T T
=a
-
wnikanie do lewej powierzchni
przewodzenie w 1. warstwie
przewodzenie w 2. warstwie
przewodzenie w i-tej warstwie
przewodzenie w n-1-szej warstwie
przewodzenie w n-tej warstwie
wnikanie do prawej powierzchni
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
1
fL
L
L
q
T
T
=
-
a
1
1,2
1
L
q
T T
d
= -
l
2
1,2
2,3
2
q
T
T
d
=
-
l
1,
, 1
i
i
i
i i
i
q
T
T
-
+
d
=
-
l
1
2, 1
1,
1
n
n
n
n
n
n
q
T
T
-
-
-
-
-
d
=
-
l
1,
n
n
n
R
n
q
T
T
-
d
=
-
l
1
R
fR
R
q
T T
= -
a
z każdego z równań wyznacza się
różnicę temperatur
dodawanie stronami eliminuje wszystkie (nieznane)
pośrednie temperatury
1
1
1
n
i
fL
fR
i
L
i
R
q
T
T
=
�
�
d
+
+
=
-
�
�
a
l
a
�
�
�
1
(
)
1
1
fL
fR
fL
fR
n
i
i
L
i
R
T
T
q
k T
T
=
-
=
=
-
�
�
d
+
+
�
�
a
l
a
�
�
�
1
(
)
1
1
fL
fR
fL
fR
n
i
i
L
i
R
T
T
q
k T
T
=
-
=
=
-
�
�
d
+
+
�
�
a
l
a
�
�
�
ostatecznie gęstość strumienia ciepła wyznaczyć można ze wzoru
znając gęstość strumienia ciepła, temperatury na stykach
(jeśli są potrzebne) wyznacza się kolejno
1
L
fL
L
T
q
T
=
+
a
1
1,2
1
L
T
q
T
d
=
+
l
2
2,3
1,2
2
T
q
T
d
=
+
l
itd
ponieważ temperatury w warstwach zmieniają się liniowo, wystarcza
to do jednoznacznego wyznaczenia pełnego pola temperatury w przegrodzie
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
pojęcie oporu cieplnego
U
i
R
D
=
analogia między ustalonym przepływem prądu stałego
a ustalonym, jednowymiarowym przewodzeniem ciepła.
i
natężenie prądu
U
różnica potencjałów
R
opór elektryczny
Q
T
Q
R
D
=
Q
strumień ciepła
T
różnica temperatur
R
Q
opór cieplny
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
1
1
1
fL
fR
n
i
i
L
L
i i
R R
T
T
Q
A
A
A
=
-
=
�
�
d
+
+
�
�
a
l
a
�
�
�
1
1
1
fL
fR
n
i
i
L
L
i i
R R
T
T
Q
A
A
A
=
-
=
�
�
d
+
+
�
�
a
l
a
�
�
�
1
fL
fR
n
L
i
R
i
T
T
Q
R
R
R
a
l
a
=
-
=
�
�
+
+
�
�
�
1
fL
fR
n
L
i
R
i
T
T
Q
R
R
R
a
l
a
=
-
=
�
�
+
+
�
�
�
1
R
A
a
=
a
opór wnikania
R
A
l
d
=
l
opór przewodzenia
tak zdefiniowane opory cieplne można łączyć tylko szeregowo
jednakże dla pól zbliżonych do jednowymiarowych,
łączenie równoległe i szeregowe oporów jest
dopuszczalne, gdyż prowadzi do niewielkich błędów
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
L
a
R
a
fL
T
a
d
b
d
R
a
fR
T
1
A
2
A
3
A
1
l
2
l
3
l
4
l
4
A
4
1
1 1
2
2 2
1
L
L
a
a
R
A
R
A
R
A
a
l
l
=
a
d
=
l
d
=
l
3
3 3
4
4 4
4
1
a
b
R
R
R
A
R
A
R
A
l
l
a
d
=
l
d
=
l
=
a
4
1
2
3
1
1
1
1
fL
fR
L
R
T
T
Q
R
R
R
R
R
R
a
l
a
l
l
l
-
=
+
+
+
+
+
współczynniki przewodzenia ciepła powinny być do
siebie zbliżone. W przeciwnym wypadku, założenie
o jednowymiarowości pola temperatury jest
obarczone dużym błędem
opór cieplny
opór cieplny
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
opór cieplny
opór cieplny
1
1
,T
a
2
2
,T
a
l
d
1
2
1
1/
/
1/
k
a
d l
a
=
+
+
1
2
(
)
q k T T
=
-
19.5
4
3909
200
0.00
5
30
20
1000
1
a
2
a
l
d
1
2
T T
-
k
q
19.7
4
3947
200
30
20
2000
0.00
5
1000
40
30
0.00
5
200
38.2
2
7643
Intensyfikacja wymiany ciepła przy przenikaniu przez
przegrodę
należy zwiększać mniejszy
współczynnik
wnikania ciepła (zmniejszać
większy opór
cieplny)
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
przewodzenie ciepła w układzie cylindrycznym.
Powłoka walcowa, pole bezźródłowe, jednowymiarowe.
Stały współczynnik przewodzenia ciepła
1
0
d
dT
r
r dr
dr
�
�
�
�=
�
�
�
�
�
�
�
�
r
1
dT
r
C
dr
=
jednokrotne całkowanie daje
powtórne całkowanie
1
2
ln
T C
r C
=
+
1
2
ln
T C
r C
=
+
stałe wyznacza się z warunków brzegowych na wewnętrznej
i zewnętrznej powierzchni powłoki.
cylinder
cylinder
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
zadane temperatury na obu powierzchniach
( )
( )
w
w
z
z
T r
T
T r
T
=
=
w
T
z
T
w
r
r
z
r
ln( / )
( )
(
)
ln( / )
w
w
z
w
z
w
r r
T r T
T T
r r
= +
-
ln( / )
( )
(
)
ln( / )
w
w
z
w
z
w
r r
T r T
T T
r r
= +
-
rozwiązanie
gęstość strumienia ciepła zależy od promienia
krzywoliniowy przebieg temperatury!
1
( )
ln( / )
z
w
z
w
T T
dT
q r
dr
r
r r
-
=l
=l
1
( )
ln( / )
z
w
z
w
T T
dT
q r
dr
r
r r
-
=l
=l
( )
2
2
ln( / )
z
w
l
z
w
T T
dT
q r
r
dr
r r
-
=l
p = pl
( )
2
2
ln( / )
z
w
l
z
w
T T
dT
q r
r
dr
r r
-
=l
p = pl
strumień jednostkowy
odniesiony do jednostki
długości walca [W/m]
strumień jednostkowy jest stały (nie zależy od promienia)
cylinder
cylinder
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
konwekcyjna wymiana ciepła na obu powierzchniach
2
(
)
l
w w
fw
w
q
r
T
T
= p a
-
1
;
2
fw
w
w
l
l
w
l
w w
T
T
q
R
R
r
a
a
-
=
=
p a
rozwiązanie metodą oporu cieplnego
fw
T
fz
T
w
r
r
z
r
2
(
)
lz
z
z
z
fz
q
r
T T
= p a
-
ln( / )
;
2
w
z
z
w
l
l
l
T
T
r r
q
R
R
l
l
-
=
=
pl
1
;
2
z
fz
z
l
l
z
l
z
z
T T
q
R
R
r
a
a
-
=
=
p a
eliminując pośrednie temperatury
ln( / )
1
1
2
fw
fz
fw
fz
l
w
z
z
w
l
l
l
w w
z z
T
T
T
T
q
r r
R
R
R
d
d
a
l
a
-
-
=
=
+
+
+
+
p a
pl
p a
ln( / )
1
1
2
fw
fz
fw
fz
l
w
z
z
w
l
l
l
w w
z z
T
T
T
T
q
r r
R
R
R
d
d
a
l
a
-
-
=
=
+
+
+
+
p a
pl
p a
cylinder
cylinder
Transport ciepła i masy
©Ryszard A.
Białecki
strumień ciepła z rury o długości
L
(
)
ln( / )
1
1
2
fw
fz
l
z
w
w w
z z
T
T L
Q qL
d d
d
d
-
=
=
+
+
p a
pl
p a
(
)
ln( / )
1
1
2
fw
fz
l
z
w
w w
z z
T
T L
Q qL
d d
d
d
-
=
=
+
+
p a
pl
p a
1
(
)
ln( / )
1
1
2
fw
fz
l
i
i
n
z
w
i
i
w w
z z
T
T L
Q qL
d d
d
d
=
-
=
=
+
+
p a
pl
p a
�
1
(
)
ln( / )
1
1
2
fw
fz
l
i
i
n
z
w
i
i
w w
z z
T
T L
Q qL
d d
d
d
=
-
=
=
+
+
p a
pl
p a
�
wielowarstwowa przegroda cylindryczna
,
i
i
w
z
d d
wewnętrzna i zewnętrzna średnica i-tej warstwy
,
w
z
d d
wewnętrzna i zewnętrzna średnica przegrody
cylinder
cylinder