Pochodne funkcji wielu
zmiennych
Pochodne funkcji wielu
zmiennych
1.06.21
2
Pochodne cząstkowe (I
rzędu)
• Jeśli funkcja f zależy od kilku zmiennych
(2,3,...,n) tzn. f = f(x
1
, x
2
, ... ,x
n
) to można
obliczyć jej pochodną względem każdej z nich –
np. x
i
– traktując pozostałe jako stałe. Tak
wyznaczoną funkcję nazywamy
pochodną
cząstkową (I rzędu) funkcji f względem
zmiennej x
i
i oznaczamy
'
2
1
2
1
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
i
i
i
n
n
i
f
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
f
1.06.21
3
Pochodne cząstkowe cd.
• Przykłady pochodnych cząstkowych. Niech
f(x,y) = x
2
+ y
2
+ 2x – y.
• Wówczas:
1
2
2
2
y
x
f
x
x
f
• Niech teraz
g(x,y) = x
3
+ x
2
y + 2xy
2
– y
3
.
• Wówczas
2
2
2
2
3
4
2
2
3
y
xy
x
x
g
y
xy
x
x
g
1.06.21
4
Gradient i ekstrema
funkcji
• Wektor utworzony z pochodnych cząstkowych
funkcji f nazywamy
gradientem
i oznaczamy
grad f.
Tak więc dla przykładowych funkcji f i g mamy:
grad f = <2x + 2; 2y – 1>
grad g = < 3x
2
+ 2xy + 2y
2
; x
2
+4xy –3y
2
>.
• Inne oznaczenie - f (nabla).
• Gradient wskazuje kierunek największego
wzrostu (malenia) funkcji f w danym punkcie.
n
x
f
x
f
x
f
f
grad
,
...
,
,
2
1
1.06.21
5
Interpretacja gradientu
1.06.21
6
Interpretacja geometryczna
gradientu
2
2
( , ) 1
( , ) ( 2 , 2 )
f x y
x
y
f x y
x
y
F
V
= -
-
�
= -
-
=- �
r
r
r
Kierunek
najszybszego
wzrostu
1.06.21
7
Gradient i ekstrema
funkcji cd.
• Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w
pewnym obszarze i ma w nim
ekstremum w punkcie P=(P
1
, P
2
, ... , P
n
)
to gradient funkcji w tym punkcie jest
wektorem zerowym tj. wszystkie jego
współrzędne są równe 0. Wówczas
0
,
...
,
0
,
0
)
,
...
,
,
(
,
...
,
,
2
1
2
1
n
n
P
P
P
x
f
x
f
x
f
f
grad
1.06.21
8
Pochodne cząstkowe II
rzędu
• Jeśli wyznaczona została pochodna
cząstkowa I rzędu (np. względem zmiennej
x
i
) i jest ona różniczkowalna, to jej
pochodną względem zmiennej x
j
nazywamy
pochodną cząstkową II rzędu funkcji f
względem zmiennych x
i
i x
j
i oznaczamy:
j
i
j
i
n
n
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
ij
2
2
1
2
2
1
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
1.06.21
9
Pochodne cząstkowe II
rzędu cd.
• Przykłady pochodnych cząstkowych II rzędu. Dla
f(x,y) = x
2
+ y
2
+ 2x – y
mamy
:
x
y
f
y
x
f
y
f
y
y
f
x
f
x
x
f
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
• Analogicznie dla
g(x,y) = x
3
+ x
2
y + 2xy
2
– y
3
mamy:
x
y
g
y
x
y
x
g
y
x
y
g
y
y
g
y
x
x
g
x
x
g
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
6
4
2
6
1.06.21
10
Pochodne cząstkowe II
rzędu cd.
• Oznaczenie.
Pochodne II rzedu liczone
względem tej samej zmiennej nazywamy
pochodnymi czystymi,
zaś pochodne
liczone względem różnych zmiennych –
pochodnymi mieszanymi
.
• Uwaga.
Dla podstawowych funkcji (klasy
C
2
) zachodzi równość
zatem pochodne mieszane liczymy tylko raz.
i
j
j
i
x
x
f
x
x
f
2
2
1.06.21
11
• Pochodne cząstkowe II rzędu funkcji f
zapisujemy w postaci macierzy, zwanej
hesjanem tej funkcji. Macierz ta ma
postać następującą:
Pochodne cząstkowe II
rzędu cd.
n
n
n
n
n
n
j
i
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
f
H
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
...
...
...
...
...
...
...
2
)
(
1.06.21
12
Pochodne cząstkowe II
rzędu cd.
•Dla funkcji dwóch zmiennych hesjan ma
postać:
y
y
f
x
y
f
y
x
f
x
x
f
y
x
f
y
x
f
H
2
2
2
2
2
))
,
(
(
1.06.21
13
Pochodne cząstkowe II
rzędu cd.
• Macierz HM
n
nazywamy
dodatnio
(ujemnie)
określoną jeśli spełniony
jest warunek:
i {1, 2, ... , n} Δ
i
> 0
((-1)
i
·Δ
i
> 0)
• gdzie Δ
i
jest wyznacznikiem macierzy:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
i
i
i
i
i
2
1
1
.
np
...
...
...
...
...
...
...
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1.06.21
14
Pochodne cząstkowe II
rzędu cd.
• Twierdzenie: Jeśli gradient funkcji f wielu
zmiennych jest równy zero w punkcie P a
jej hesjan jest dodatnio (ujemnie)
określony w tym punkcie to f ma
minimum ( maximum) w tym punkcie.
Jeśli hesjan nie jest określony to
ekstremum nie ma
• Wniosek: funkcja f z przykładu ma
minimum
w punkcie (-1, 0.5), funkcja g nie ma
ekstremum w punkcie (0, 0).
1.06.21
15
Funkcja wklęsła
• Funkcję f: R
n
R nazywamy
wklęsłą
(wypukłą)
jeśli spełniony jest warunek:
x,y R
n
, a,b R
+
: a + b = 1
f(ax + by)
(
)
af(x) + bf(y)
• Funkcję f: R
n
R nazywamy
silnie
wklęsłą
(silnie wypukłą)
jeśli dla x, y
różnych od zera nierówność jest ostra.
• Intuicyjnie funkcja jest wypukła
(wklęsła) jeśli jej wykres leży poniżej
(powyżej) powierzchni stycznej
1.06.21
16
Pochodne cząstkowe II rzędu
dok.
• Funkcję f, dwukrotnie różniczkowalną,
nazywamy
wklęsłą
(wypukłą)
w
obszarze W
jeśli jej hesjan jest
dodatnio
(ujemnie)
określony w tym obszarze.
• Wniosek: funkcja f jest wklęsła w R
2
(hesjan jest wszędzie dodatnio określony);
funkcja g nie jest ani wypukła ani wklęsła
w otoczeniu punktu (0, 0).
1.06.21
17
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Twierdzenie
Jeżeli funkcja f(x,y) ma w punkcie
(x
0
,y
0
) ekstremum lokalne oraz ma
w tym punkcie pochodne
cząstkowe rzędu pierwszego, to
0
)
,
(
'
)
,
(
'
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
1.06.21
18
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Jeżeli funkcja f(x,y) ma w otoczeniu punktu
(x
0
,y
0
) drugie pochodne cząstkowe oraz
spełnione są następujące warunki:
to w punkcie (x
0
,y
0
) funkcja f(x,y) ma
ekstremum.
0
)
,
)(
(
det(
.
3
0
)
,
(
'
.
2
0
)
,
(
'
.
1
0
0
0
0
0
0
y
x
f
H
y
x
f
y
x
f
y
x
1.06.21
19
Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
Jeżeli spełnione są warunki 1-3 oraz
To funkcja f(x,y) ma w punkcie
(x
0
,y
0
) minimum. W przeciwnym
wypadku – maksimum.
0
)
,
(
''
0
0
y
x
f
xx
1.06.21
20
Wyznaczyć ekstrema lokalne
funkcji:
• a) f(x,y)=x
2
+y
2
-6xy-
38x+18y+20
• b) f(x,y)=x
2
-2y
2
1.06.21
21
Znaleźć najmniejszą i największą
wartość funkcji:
a) f(x,y)=x
2
+2xy-4x+8y w
prostokącie, którego boki znajdują
się na prostych x=0, y=0, x=1,
y=2