Wektory w przestrzeni
trójwymiarowej
Wektory w przestrzeni
trójwymiarowej
Układ współrzędnych w R
3
Osie współrzędnych
Reguła prawej ręki – układ prawoskrętny
Współrzędne punktu P (a,b,c)
Iloczyn kartezjański
R
R
R
R
z
y
x
z
y
x
,
,
:
)
,
,
,
(
Współrzędne prostokątne
Odległość w R
3
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
BP
AB
A
P
P
P
AB
A
P
B
P
BP
B
P
P
P
z
z
BP
y
y
AB
x
x
A
P
Przykład
Znajdź odległość pomiędzy punktami P(2,-1,7) i Q(1,-3,5) .
3
4
4
1
)
7
5
(
)
1
3
(
2
1
2
2
2
PQ
Przykład
Znajdź równanie sfery o środku w punkcie C(h,k,l) i promieniu r .
r
PQ
z
y
x
P
r
C
S
:
)
,
,
(
)
,
(
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
r
l
z
k
y
h
x
Przykład
Jak wygląda obszar dany równaniami:
Wektory
Składanie wektorów
AB
v
CD
u
BC
AB
AC
Reguła
równoległoboku
Suma wektorów
Przykład Znajdź
sumę
wektorów
a i b
Mnożenie wektora przez
liczbę
)
( v
u
v
u
Różnica wektorów
b
a 2
Przykład
Współrzędne
wektora
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
,
,
)
,
,
(
)
,
,
(
z
z
y
y
x
x
z
y
x
B
z
y
x
A
AB
a
a
Dodawanie wektorów
– dodawanie
współrzędnych
Mnożenie przez liczbę
Długość
wektora
2
3
2
2
2
1
a
a
a
a
3
2
1
,
,
a
a
a
a
Własności wektorów
Przykład
Ciężar 100 kg wisi sobie na dwóch drutach.
(rys ). Znajdź, siły T
1
, T
2
.
Iloczyn skalarny
Własności iloczynu
skalarnego
Twierdzenie
Niech oznacza kąt pomiędzy wektorami a i b .
cos
b
a
b
a
Kąt między wektorami niezerowymi
Wektory ortogonalne
Cosinusy kierunkowe
Przykład.
Oblicz cosinusy kierunkowe wektora a
Projekcja – rzut wektora na kierunek
Skalarna projekcja wektora b na wektor a
( składowa b wzdłuż a).
Przykład
Oblicz pracę wykonaną przez siłę
200N działającą na długości 8 m
pod kątem 25
o
Iloczyn wektorowy
Twierdzenie
Wektor jest ortogonalny do a
i b
b
a
Twierdzenie
Niech
oznacza kąt pomiędzy wektorami a i b
.
Pole równoległoboku którego boki są
odpowiedni wektorami a b jest równe:
