Managerial 

Managerial 

Economics

Economics

Jarek Neneman 

neneman@uni.lodz.pl

601305093

Lecture 6
Optimal search
(ch. 9, Samuelson & Marks)

 

 

Optimal search

If at first you don’t succeed, try, 

try again. Then stop. No use 

being a damn fool about it.

 

W.C. Fields

 

 

Optimal search

A exercise to start with – Finding the 

best item

Secretary problem, hotel problem. 
Suppose that you will be shown three "prizes" in 

order. Ahead of time, you know absolutely 

nothing about how valuable the prizes might 

be. Only after viewing all three can you 

determine which you like best. You are shown 

the prizes in order and are allowed to select 

one. However, there is no "going back.„ 

You must select a prize immediately after 

seeing it, and before seeing any subsequent 

prize.

 

 

Optimal search

A exercise to start with – Finding the 

best item

 Your sole objective is to obtain the best of the 

three prizes. (Second best doesn’t count.) 

 A random selection provides a one-third 

chance of getting the best prize. 

 Find a strategy that provides a strictly 

greater chance (and compute the actual 

chance).

 

 

Optimal search

A exercise to start with – Finding the best 

item - solution

Winning strategy:
 Observe but bypass the first prize. 
 Select the second prize only if it is better 

than the first;  

 otherwise go on and select the third prize.
Why?

 

 

Optimal search

A exercise to start with – Finding the best 

item - solution

Six distinct (equally likely) orderings 

of the prizes

First Prize

 

best 

best 

2nd best 

  2nd best  worst 

worst

Second Prize

  2nd best 

worst

 best

 

  worst 

best 

2nd 

best

Third Prize

   

worst

 

2nd best

 

 worst     

best 

2nd   best 

best

Prices selected with this strategy are 

shown in 

red

. The likelihood of 

selecting best prize is 50% instead of 

1/3 if selected by random

 

 

Optimal search

Optimal search

 Management search and uncover a number 

of uncertain opportunities.

 Options are explored (or search) in sequence
 Management tasks is:

- to find the best strategy search (order of 

pursuing options), and
- to find when to stop

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 An electronic firm can initiate an R&D 

program by making $3million investment

 The chance for immediate success is 1/5 and 

return is: $10 m, net profit is: 10-3=$7m

 If success does not come, the firm can invest 

another $3m with the chance for success 

now ¼

 The investment cost is $3m for each stage.
 The chances of success are: 1/5, ¼, 1/3, ½ 

and 1

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 Should risk-neutral firm pursue this program?
 At what stage should it stopped?
 What is you opinion?

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 Typically:

- 20% of students – no investment at all
- 30% of students – invest till the end
- 50% of students – start investment and stop 

(2/3 decided to stop after 3rd failure.

 Does stopping after 3rd failure make any 

sense? Compare cost and profits

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 Notice, that after failure investment cost is 

sunk cost and the firm faces the same 

problem under nearly the same conditions as 

before. 

 The only difference is the probability of 

success, but this is increasing, therefore

 If it is worth investing initially, then it is worth 

continuing to invest.

 The question is: should the firm start 

investing?

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 It is high time to draw a decision tree 

Third

investment

Fourth

investment

Fifth

investment

-2

-3.5

-3.5

-5

- 5

1/3

1

Quit

- 9

1/2

- 2

Quit

- 12

1/2

2/3

First

investment

Second

investment

1

1

-1/2

-2

-1/2

Don't
invest

0

1/5

7

Quit

- 3

1/4

4

Quit

- 6

3/4

4/5

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 Usually however, there is a risk that the 

program may not succeed at all.

 With declining probabilities of success, the 

firm should give up investment (irrespective 

of sunk cost) when revised probability of 

success falls sufficiently low

 Cut-off value of probability must satisfy zero-

profit condition:

π

*

 Π – c = 0, hence

π

*

 = c/Π

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D



π

*

 Π – c = 0, hence

π

*

 = c/Π

 Example
 Assume:

Π = $20m., c = $3m., 
π = 0.25, 0.21, 0.17, 0.13, 0.7, 0.01 
When to stop investing?

 

 

Optimal search

Optimal stopping – escalating 

investment in R&D

 Cutoff value 

π

*

 = 3/20 = 0.15

 The firm should invest 3 times and 

then abandon

 

 

Optimal search

Optimal sequencial decisions

 Assume:

- several methods of developing a new 

product
- predictable profit (Π) does not 

depend on the method
- cost (c) of each method is different
- probability of success (π) of each 

method is different

What is the best order of pursuing the 

methods?

 

 

Optimal search

Optimal sequencial decisions

 What is the best order of pursiung the 

methods?

 The intuitive answer is correct:

the program with greatest probability-

to-cost ratio should be tried first

 

 

Optimal search

Optimal sequencial decisions

 If there are only two methods, and if 

firm starts with A first, then the 

expected net benefit is:

π

A

Π – c

A

 + (1 – π

A

)(π

B

Π – c

B

)

= 

π

A

Π + π

B

Π – π

A

π

B

Π -  c

A

– c

B

 + π

A

c

B

 The first three terms are expected 

gross profit, 

 the cost are: c

A

 + c

B

, and last term is

  saving of investment cost (c

B

) if A is 

successful, but this happens with 

probability π

A

 

 

Optimal search

Optimal sequencial decisions

 If method B is the first one, the 

expected benefit is almost the same:
 π

A

Π + π

B

Π – π

A

π

B

Π -  c

A

– c

B

 + π

B

c

A

, 

therefore

 Starting from A is more profitable than 

starting form B, only iff:
 π

A

c

B

 > π

B

c

A 

or equivalently:

π

A

/c

A

 > π

B

/c

B

 

 

Optimal search

Optimal search – summary

 A risk neutral firm should:
1. continue to invest as long as π > c/Π
2. Determine the sequence of 

investments in descending order of π/c

 

 

Optimal search

The value of additional alternatives – searching for the 

best price

 Is more options available better for the 

decision maker?

 What if additional option can be 

obtained at a cost?

 Example of the sale of the bank 

division

 

 

Optimal search

The value of additional alternatives – searching for the 

best price

 Seller believes that the potential 

buyers offers are uniformly distributed 

in the range form $50-64m

 What is the best price the firm can 

obtain from from contracting outside 

buyers?

 What is expected price from single 

buyer?

 The average is $52m
 What if there are two potential buyers 

contacted?

 The average of two is: $56m

 

 

Optimal search

The value of additional alternatives – searching for the 

best price

 What is the best price the firm can 

obtain from contracting outside 

buyers?

 Generally, the more the outside buyers 

conntacted, the higher the average 

price.

 The expected maximum value:

E(V

max

) = [1/(n+1)]L + [n/(n+1)]U

L – the lowest possible value, 
U- the greatest possible value

 

 

Optimal search

The value of additional alternatives – searching for the 

best price

Expected maxium price ($ 

millions)

No of buyers Uniform distrib. Normal 

distrib.

1

52.0

52.0(0)

2 

56.0

56.5(0.56)

3

58.0

58.5(0.85)

4

59.2

60.2(1.03)

5

60.0

61.3(1.16)

6

60.6

62.2(1.27)

7

61.0

62.8(1.35)

8

61.3

63.4(1.42)

9

61.6

63.9(1.49)