Struktura 

pasmowa ciał 

stałych

 opis struktury elektronowej
 pasma energetyczne
 masa efektywna elektronu i 
dziury

Wykład – 10 -

2

Prof. J. Zieliński

 

Terminy zaliczeń poprawkowych w semestrze letnim 
2010/11
o 28 marzec

o 18 kwiecień

o 16 maj

o 13 czerwiec

Przypominam, że 

Przypominam, że 

 na wszystkie kolejne terminy poprawkowe 
obowiązują karty zie-lone.

 Do zaliczenia można podejść po zaliczeniu ćwiczeń 
rachunko-wych

 zaliczona w terminie zerowym teoria a nie wpisana 

zaliczona w terminie zerowym teoria a nie wpisana 

do indeksu została skreślona

do indeksu została skreślona

Zaliczenia zaczynają się o 
godz. 15
sala 2 bud 5

W tym semestrze

Zaliczenie przedmiotu jest w formie egzaminu

>  Aby  móc  przystąpić  do  egzaminu  trzeba  mieć 
zaliczone  ćwicze-nia  i  laboratoria.  Pozytywne  oceny 
muszą być wpisane do karty o-cen i do indeksu.

Egzamin składa się z dwóch części:

- Pisemnej student pisze odpowiedź na 3 pytania z 
zestawu 4-ech

-  Ustnej  odpowiedzi  uzupełniające  na  pytania  z 
zestawu pisemne-go + inne pytania.

Właściwości  elektronów  w  ciałach  stałych 

wynikają  z  ich  oddziaływania  między  sobą  i 
oddziaływania  z  atomami  (jonami)  sieci.  Jednakże 
każde  z  tych  oddziaływań  jest  skomplikowane. 
Wystarczy  sobie  bowiem  uświadomić,  że  w  1  cm

3

 

ciała  stałego  znajduje  się  około  10

23

  elektronów  i 

jonów  będących  w  ciągłym  ruchu  i  oddziaływujących 
na siebie.

W 

celu 

prześledzenia 

wpływu 

pola 

elektrycznego  na  pozio-my  energetyczne  elektronów 
w  atomie,  rozpatrzymy  następujący  wyidealizowany 
przykład,  który  pozwala  w  sposób  jakościowy  zro-
zumieć zachodzące zjawiska. Rozmieścimy N atomów 
sodu  w  wę-złach  sieci  przestrzennej  odpowiadającej 
kryształowi sodu, ale w tak dużych odległościach aby 
można było pominąć ich wzajemne oddziaływanie. W 
takim przypadku stany energetyczne elektronów będą 
odpowiadały  stanom  atomu  izolowanego.  Na  rys. 
16.1a  pokazano  schemat  poziomów  energetycznych 
dwóch izolowanych atomów sodu. 

Izolowane (swobodne) 

atomy sodu (Na)

• w atomie swobodnym 

każdy  poziom  jest 
2(2l+1) 

krotnie 

zdegenerowany

• dla N atomów liczba 

pod-poziomów wynosi 
2N(2l+1)

• bariera potencjału nie 

ze-zwala  elektronom 
swo-bodnie  poruszać 
się mię-zy atomami

• elektrony 

są 

zlokalizowa-ne, 
funkcje falowe nie za-
chodzą na siebie

W  atomie  tym  jak  wiadomo,  poziomy 

energetyczne  1s,  2s  i  2p  są  zapełnione  całkowicie,  a 
poziomy  rozmieszczone  powyżej  3s  są  wolne. 

Zauważmy,  że  bariera  potencjału  nie  pozwala 
elektronom  poruszać  się  swobodnie  między 
poszczególnymi atomami.

Poddajemy 

teraz 

sieć 

jednorodnemu 

ściskaniu

.  W  miarę  zbliżania  się  atomów  do  siebie, 

wzrasta  ich  oddziaływanie  i  w  odległościach  równych 
parametrowi  sieci  (a  =  0,43  nm)  energia 
oddziaływania  osiąga  wartość  minimalną.  Na  rys. 
16.1b  pokazano  schemat  poziomów  energetycznych 
elektronów 

odpowiadający 

zbliżeniu 

atomów. 

Widzimy, 

że 

krzywe 

potencjalne 

oddzielające 

sąsiednie  atomy  częściowo  zachodzą  na  siebie  dając 
wypadkową  krzywą  potencjalną,  która  przebiega 
poniżej  poziomu  zerowego.  Godnym  uwagi  jest  fakt, 
że  wysokość  ta  jest  nawet  nieco  mniejsza  od 
początkowego 

położenia 

poziomu 

elektronów 

walencyjnych  3s.  Dlatego  też  elektrony  walencyjne 
uzyskują  możliwość  przechodzenia  z  jednego  atomu 
do 

drugiego. 

Elektrony 

takie 

nazywamy 

swobodnymi

Zmiana stanu elektronów 

przy zbliżaniu się atomów

•

obniżenie poziomu potencjału 
poniżej stanu 3s

•

elektrony 3s stają się 
swobodne

•

funkcje falowe tych 
elektronów zachodzą na 
siebie

•

funkcje falowe elektronów 
wewnętrznych nie ulegają 
zmianie

•

pojedyncze poziomy ulegają 
rozszczepieniu tworząc pasmo

Przy odległościach równych stałej sieci 0,43 nm 
otrzymujemy:

Zauważmy,  że  charakter  funkcji  falowych  tych 

elektronów  jest  taki,  że  zachodzą  one  na  siebie  w 
takim  stopniu,  że  tworzą  chmurę  o  prawie 
równomiernej  gęstości,  a  to  oznacza 

stan  pełnego 

uwspólnienia  elektronów  walencyjnych

.  Natomiast 

chmury 

elektro-nowe 

wewnętrznych 

powłok 

elektronowych  atomów  nie  pokrywają  się  i  stany 
elektronów wewnętrznych atomów kryształu pozostają 
w  zasadzie  takie  same  jak  w  atomach  izolowanych. 
Należy  ponadto  zauważyć,  że  pojedyncze  poziomy 
atomowe  uległy  rozszczepieniu  na  zespoły  poziomów 
zwanych dozwolonymi pasmami energetycznymi. 

Ponieważ prędkość ruchu elektronu jest rzędu 10

5

 m/s, a 

rozmiary  ato-mu  wynoszą  10

–10

  m,  to  elektron 

walencyjny  znajduje  się  w  danym  wę-źle  w  czasie  Δt  = 
10

–15

  s  co  powoduje,  że  szerokość  poziomu  energe-

tycznego elektronu walencyjnego  ΔE jest w przybliżeniu 
równa .

eV

 

t

/

h

E

1









Jeżeli 

poziomy 

energetyczne 

w 

atomie 

swobodnym  były  (2l+1)  -krotnie  zdegenerowane  (bez 
uwzględnienia  spinu),  to  odpowiada-jące  im  pasma 
energetyczne  będą  miały  N(2l+1)  podpoziomów  (N  – 
ilość  atomów);  np.  z  poziomu  p  wytworzy  się  pasmo 
składające  się  z  3N  podpoziomów  mogących  zmieścić 
6N  elektronów.  Jeżeli  dalej  uwzględnimy,  że  1  g  ciała 
stałego zawiera N = 10

22

 atomów i że każdy pojedynczy 

poziom  energetyczny  rozpada  się  na  N  poziomów,  to 
przy  szerokości  pasma  rzędu  1  eV  odległości  między 
poziomami wynoszą około 10

–22

 eV, co wskazuje, że nie 

ma  możliwości  doświadczalnego  ich  rozróżnienia.  O 
takiej właśnie grupie poziomów mówimy jako o paśmie 
dozwolonym  uważając,  że  elektrony  w  tym  paśmie 
mają  ciągły  rozkład  energii.  Pasma  te  są  rozdzielone 
pasmami wzbronio-nymi.

Wyniki  poglądowo  przedstawione  powyżej 

uzyskuje 

się 

również 

rozwiązując 

kwantowo-

mechaniczne  zagadnienia  ruchu  wielu  elektronów  w 
polu ruchu jonów. Złożoność tego zagadnienia zmusza 
nas  do  wprowadzenia  szeregu  uproszczeń.  Dlatego 
analizu-jąc  zachowanie  elektronów  w  sieci  stosujemy 
wiele 

przybliżeń. 

Dwoma 

skrajnymi 

przeciwstawnymi  przybliżeniami  są:  przybliże-
nie 

elektronów 

prawie 

swobodnych 

i 

przybliżenie elektronów silnie związanych

. W obu 

tych  przypadkach  otrzymujemy  zakresy  energii 
dozwolonych  i  zabronionych  dla  elektronów.  Kształt 
pasm energetycznych i ich zapełnienie przez elektrony 
jest  jednym  z  najpoważniejszych  zagadnień  w  fizyce 
ciała stałego.

Co to jest teoria pasmowa

Teoria pasmowa jest kwantowo-
mechanicznym opisem zachowania 
elektronów w krystalicznym ciele stałym

.

Nazwa 

teoria 

pasmowa 

pochodzi  od  najważniejszej 
cechy  widma  energety-cznego 
w krysztale: 

w 

przeciwieństwie 

do 

dyskretnych 

poziomów 

dla 

izolowanych  atomów,  widmo 
energetyczne  kryształu  chara-
kteryzują 

pasma 

energii 

dozwolonych 

o 

skończonej 

szerokości 

Równanie Schrodingera

Przyjęcie  wspólnego  potencjału  U(r)  umożliwia  opis 
stanów 

ele-ktronowych 

przy 

pomocy 

jedno-

elektronowych  funkcji  falo-wych.   Postać  funkcji 
falowych 



  i wartości własne energii E uzyskuje się 

z rozwiązania równanie Schrödingera, które w przy-
padku jednowymiarowym ma znaną nam postać

Podstawą teorii pasmowej jest założenie, że 
oddziaływania elektro-nów w ciele stałym można 
opisać przy pomocy periodycznego po-tencjału U(r), 
który nie zmienia się w wyniku przesunięcia o wektor 
sieciowy R = n

1

a + n

2

b + n

3

c

U(r + R) = U(

r

)

 





0

2

2

2

2











x

U

E

m

dx

d



U(x + a) = U

(x)

Model elektronów 

swobodnych

m

k

E

2

2

2





E(k)

/a

k

Jedyne ograniczenie ruchu elektronów swobodnych jest 
spowodowane 

przez 

powierzchnię 

kryształu. 

Z 

równania Schrödingera wynika, że za-leżność energii od 
wektora  falowego  jest  quasi-ciągłą  funkcją  parabo-
liczną 

Elektron praktycznie 
może przyj-mować 
dowolne wartości energii, 
jedynie obsadzanie 
stanów ener-getycznych 
odbywa się zgodnie z 
zakazem Pauliego

 

ikx

Ae

x 



Wady modelu elektronów 

swobodnych

• przyjęcie  stałego  potencjału  w 

modelu  elektronów  swobodnych 

nie 

uwzglę-dnia 

dyskretnej 

struktury krystalicznej ciał stałych

• istotny  wpływ  na  zachowanie 

elektro-nów 

odgrywa 

ich 

oddziaływanie z jonami sieci

• brak również uwzględnienia oddzia-

ływania elektronów pomiędzy sobą

• oba  typy  oddziaływań  można 

rozdzielić  stosując  różne  rodzaje 

przybliżeń: 

jednoelektronowe, 

elektronów prawie swobodnych lub 

silnie związanych

E

x

0





Przybliżenie elektronów 

prawie swobodnych

Z  rozwiązania  równania  Schrodingera  wynika,  że 
energia  elektro-nów  o  wektorach  falowych  leżących 
na  granicy  tzw.  strefy  Bril-louina  może  przybierać 
dwie  wartości  różniące  się  o  2V

g

  –  prowa-dzi  to  do 

powstania nieciągłości energii

g

V

m

k

E





2

2

2



E(k)

/a

k

2V

g

Fale  o  tych  wektorach  falowych 
ulegają całkowitemu odbiciu i nie 
mogą rozcho-dzić się w krysztale - 
powstaje fala stojąca.

Zakładamy,  że  potencjał  U(r)  działający  na  elektrony 
poruszające  się  w  krysztale  jest  tak  mały,  że  można 
potraktować go jako małe zaburzenie

W  przybliżeniu  elektronów  słabo  związanych 
zakładamy,  że  energia  oddziaływania  elektronu  z 
siecią  jest  znacznie  mniejsza  od  energii  ki-netycznej. 
Sytuacja  taka  ma  miejsce  w  przypadku  elektronów 
najsła-biej  związanych  z  atomami,  czyli  elektronów 
przewodnictwa 

w 

meta-lach. 

Pole 

elektryczne 

wytworzone  przez  jony  jest  kompensowane  przez  pole 
wszystkich 

pozostałych 

elektronów 

oprócz 

rozpatrywane-go.  Niewielkie,  nieskompensowane  pole 
ma charakter okresowy o okresie równym stałej sieci. Z 
okresowości  tej  wynika,  że  funkcja  falo-wa  opisująca 
stan elektronu będzie funkcją Blocha.

Aby 

opisać 

ruch 

elektronu 

w 

polu 

periodycznym,  posłużymy  się  modelem  Kröniga-
Penneya.  W  modelu  tym  potencjał  rzeczywisty  w 
krysztale  zastępujemy  przez  nieskończoną  liczbę 
prostokątnych  barier  potencjalnych  o  szerokości  b  i 
wysokości  U

o

.  Studnia  poten-cjału  oddzielająca 

bariery ma szerokość a i energię U

o

  rys

Potencjał  ten  odtwarza  wprawdzie  w  niewielkim 
stopniu  warunki  występujące  w  krysztale,  jednak 
uzyskane 

rozwiązanie 

umożliwia 

sformułowanie 

pewnych  ogólnych  wniosków  dotyczących  zależności 
dyspersyjnej  dla  elektronu  w  ośrodku  periodycznym. 
Potencjał  jest  więc  okresowy  o  okresie  d  =  a  +  b. 
Zakładamy,  że  energia  całkowita  elektronu  E  <  U

o

. 

Równanie Schrödingera ma postać

0

2

2

2

2









E

m

dx

d







0

2

2

2

2











E

U

m

dx

d

o



dla 0 < x < a

dla –b < x < 0

Rozwiązaniem powyższych równań są funkcje

x

i

x

i

e

B

e

A













1

1

1

x

x

e

B

e

A













2

2

2

dla        0 < x < a

dla      –b < x < 0,

gdzie

 

E

m

2

2











E

U

m

o





2

2





Wiemy już, że jeśli potencjał jest periodyczny, to 
funkcja Ψ(x) speł-nia warunek

   

ikx

e

x

u

x 



skąd

 

 

ikx

e

x

x

u







………

Po  kolejnych podstawieniach otrzymujemy układ 4-
ech równań w których niewiadome stanowią A

1

, A

2

, 

B

1

, B

2

:

2

2

1

1

B

A

B

A























2

2

1

1

B

ik

A

ik

B

k

i

A

k

i







































b

ik

b

ik

a

k

i

a

k

i

e

B

e

A

e

B

e

A



























2

2

1

1

































b

ik

b

ik

a

k

i

a

k

i

e

B

ik

e

A

ik

e

B

k

i

e

A

k

i













































2

2

1

1

Układ ten posiada niezerowe rozwiązanie tylko wtedy, 
gdy wyznacznik macierzy współczynników przy A

1

, A

2

, B

1

, 

B

2

 równa się zeru





b

a

k

cos

a

cos

b

cosh

a

sin

b

sinh























2

2

2

Równanie  to  nakłada  warunki  na  α  i  β,  a  co  z  tym  się 
wiąże i na dopu-szczalne wartości energii. Analiza tego 
równania  jest  jednak  dość  uciążliwa.  Dlatego 
zastosujemy  uproszczenie  Kröniga  i  Penneya  pole-
gające  na  założeniu,  że  U

o

  dąży  do  nieskończoności, 

natomiast b dąży do zera w taki sposób, że iloczyn U

o

b 

pozostaje skończony. 

Po uproszczeniu równanie ma postać

ka

cos

a

cos

a

a

sin

P











gdzie ; przyjęto też, że  sinhβb = βb i cosh βb = 1.       
Wielkość P można traktować jako miarę trudności 
pokonywania bariery przez elektron. 

- 3 

- 2 

2 

3 

 a

- 



- 1

+ 1

a

s in

a

a

s in

P









Równanie 

 

wyraża 

za-

leżność 

energii 

ele-ktronu 
(poprzez  a)  od 
liczby  falowej  k. 
Na 

rys. 

przedstawiono 
rozwiązanie 
powyż-szego 
równania  meto-
dą graficzną

mieszczą  się  w  przedziale  [–1,1].  Wartości  αa 
spełniające  ten  warunek  zaznaczono  grubą  linią. 
Widać,  że  dopuszczalne  wartości  energii  tworzą 
pewne  przedziały,  tzw.  pasma  energetyczne. 
Poszczególne pasma energetyczne oddzielone są przez 
obszary  o  wzbronionych  wartościach  energii.  W  miarę 
wzrostu  αa  (a  więc  wartości  energii,  gdyż  a  jest 
ustalone)  dozwolone  pasma  energetyczne  stają  się 
coraz  szersze.  Szerokość  pasm  zależy  także  od 
parametru P. 

Ponieważ  coska  znajdujący  się 
po  pra-wej  stronie  równania 
jest  zawarty  w  przedziale  [–
1,1],  a  więc  dopuszczalne 
mogą być tylko te wartości αa, 
dla  któ-rych  wartości  lewej 
strony równania 

- 3 

- 2 

2 

3 

 a

- 



- 1

+ 1

a

s in

a

a

s i n

P









Ze wzrostem P pasma dozwolone zwężają się; w 
szczególności gdy  P>∞, równanie  ma rozwiązanie tylko 
wtedy gdy
czyli αa = nπ, a 
Stąd

0



a

sin



3,....

 

2,

 

,

n







 1

2

2

2

2

2

n

ma

E







Otrzymujemy więc poziomy 
dyskret-ne jak w 
odosobnionej studni poten-
cjału.


a




a



2 

a



3 

a

3 

a

2 

a

Zależność dyspersyjna 

E(k)

E

E

k

0

0

a



a



2

a



3

a





a



2



a



3



p

a

sm

a

 e

n

e

rg

e

ty

cz

n

e

Przybliżenie elektronów 

silnie związanych

• jako punkt wyjścia przyjmujemy 

funkcje falowe i zdegenerowane 
poziomy energetyczne pojedyn-
czych atomów

• w wyniku zbliżania atomów 

nastę-puje rozszczepienie 
poziomów w pasma i 
ewentualne przekrywanie 
(zlewanie)

• szerokość pasma zależy od 

prze-krywania odpowiednich 
funkcji falowych

• głęboko leżące poziomy są 

niezna-cznie poszerzone i 
zachowują swój atomowy 
charakter

odległość r

r

0

e

n

e

rg

ia

 e

le

k

tr

o

n

u

  

E

1s

2s

2p

Kształt pasm Si i GaAs

Krzywe dyspersyjne

Zapełnianie pasm przez 

elektrony

• izolatory  i  półprzewodniki  -  niższe  pasma 

całko-wicie zapełnione, wyższe poczynając 

od pewne-go, całkowicie puste

• metale proste - nad całkowicie 

zapełnionymi pasmami istnieje pasmo 

zapełnione częściowo

• metale  z  pasmami  nakładającymi  się  - 

najwyższe  całkowicie  zapełnione  pasmo, 

zachodzi  na  poło-żone  nad  nim  najniższe 

pasmo  puste,  wtedy  oba  zapełniają  się 

częściowo

Pod względem charakteru zapełnienia pasm 
przez elektrony możemy podzielić wszystkie 
ciała na trzy grupy:

E

k

Podział ciał stałych

O własnościach fizycznych ciał stałych decydują:
• kształt i sposób obsadzenia elektronami dwóch 

najważniej-szych pasm energetycznych

– pasma przewodnictwa - najniższego pasma nie 

zapełnio-nego

– pasma podstawowego (walencyjnego) - 

najwyższego pasma obsadzonego przez 
elektrony

• odległość między tymi pasmami E

g

 - zwana przerwą 

energetyczną (pasmem zabronionym)

– izolatory E

g

 > 3 eV - nie przewodzą prądu

– półprzewodniki E

g 

< 3 eV, choć GaN ( 3,4eV) 

diament (5,4eV)

– metale E

g

 = 0 - pasma zachodzą na siebie

– ta sama substancja może mieć w pewnych warunkach 

bądź właściwości półprzewodnikowe, bądź metaliczne

E

creature

przewodnik

półprzewodnik

izolator

Stworzenia próbują się 
dostać 
z platformy na antresolę. 
W zależności od położenia 
antresoli i temperatury 
platformy wyróżniamy 
trzy przypadki

grzanie