WYBÓR SCHEMATU PODSTAWOWEGO

i

k

k

i

1) Znane są wzory transformacyjne dla prętów:

oraz

A

B

kąt prosty

k

i



C

2







gdy podpora        dla przypadku         tworzy kąt inny niż 90º

to obowiązują wzory transformacyjne,

jak dla przypadku         !

   (udowodnić)

B

i

A

I)





Układ 2x kinematycznie niewyznaczalny

II)





 90







2



0

1





3



1

2

1

2

Układ 2x kinematycznie niewyznaczalny







;

0

1





wzory dla (1-2) dla obrotu       tak jak dla 
schematu



B

1





2



1



3



2



 

2

1



 

2

2



 

0

2

3





III)

1

2

1





2







 90

1



 

1

2



 

1

1



 

1

3



1

1





1

2





Układ 3x kinematycznie niewyznaczalny

wzory dla (1-2) jak dla schematu

A





2

1

;

;







2) Znane są wzory transformacyjne dla pręta:

i

k

i

k



identycznie dla

A’

B’

pod warunkiem, że





 180

C’

i

k

Ten pręt zachowuje się jak statycznie 
wyznaczalny, tzn. obrót podpory        o kąt       
nie wywoła momentów zginających w pręcie:

k

k



k



1

2





wzory jak dla         postać łańcucha 
kinematycznego jak w poprzednim 
przypadku 

A’

I

układ 2 x kinematycznie 
niewyznaczalny







;

I)

1

2





układ 2 x kinematycznie 
niewyznaczalny







;

II)

wzory jak dla          tzn. stan

nie wywoła się wewnętrznych w pręcie 
(1-2)

C’

1

   

i

   

1









Łańcuch kinematyczny jak dla 
przypadku poprzedniego 

II

1

2

III)

Układ 3x kinematycznie niewyznaczalny





2

1

;

;











 180

wzory jak dla         

postacie łańcucha kinematycznego (             
     ) jak w poprzednim przypadku 

A’

III

 

2

 

1

  

i 

   

dla







1



2



SYMETRIA  I  ANTYSYMETRIA

oś symetrii

O

geometryczn
a

obciążenie

O

O

S

A

dla obciążenia 
symetrycznego

S

2

1

2

1

















A

dla obciążenia 
antysymetrycznego

2

1

2

1













S

dla 
punktu 
O

0

v

0

u

0

M







A

dla 
punktu 
O

0

v

0

u

0

M







1



2



2



1



1

2

1

- wykres M 
dla pręta 1-
2 jest 
zerowy   - 
u=0            
- v=0

- wykres M 
dla pręta 1-2 
nie jest 
zerowy

12

)

A

(

12

J

2

1

J



1

2

J

2

1

pozostałe warunki 
przemieszczeniowe pozostają 
zgodne z przemieszczeniami 
całego układu

3)

S

A

Zadanie domowe: sprowadzić schemat 3) do obliczenia dwóch 
schematów       i

S A

2)

pręt w osi symetrii



przeguby występujące w prętach prostych

„blokada”      do pręta     
(podpora liniowa) → 
niewiadomy przesuw



A

B

A

przegub łączący pręty 
leżące na jednej prostej

B

przegub łączący pręty , 
które nie leżą na jednej 
prostej

niekoniecznie

zawsze

INNE PRZYPADKI

zmienna sztywność pręta na jego długości (skokowa)

1

J

2

J





1

2

C

- pręt dzielimy na 2 odcinki (1-C) i (C-2)

- C staje się dodatkowym węzłem 
wewnętrznym



niewiado

ma

 



- (1-C) i (C-2) leżą na jednej 
prostej ; C ma możliwość 
przesuwu poziomego



dodatkowa niewiadoma

 



zmienna sztywność o charakterze ciągłym

1



2



1



3



3



2



model

dodatkowe

dzielimy na skończoną 
liczbę odcinków (prętów) o 
stałej sztywności (EJ) 



niewiadom
e





i

i

  

oraz

  





pręty zakrzywione aproksymuje się ciągiem prętów 
prostych



kształt zmienia się w 
sposób ciągły

rama; ciąg prętów 
prostych krzywa            
„łamana”



model

WZORY TRANSFORMACYJNE DLA PRĘTÓW PROSTYCH 

O SPRĘŻYSTYCH PODPORACH

i



i

i

v

i

R

podatna podpora liniowa

k

1

f

    

;

        

f

1

k

k

v

R

    

;

     

f

v

R

k

R

v

    

;

    

f

R

v

i

i

i

i

i

i

i

i













liniowa:

f – podatność podpory

k – sztywność 
podpory

i



i

M

podatna podpora 
kątowa





































1

f

    

;

        

f

1

M

    

;

     

f

M

M

    

;

    

f

M

i

i

i

i

i

i

i

i



kątowa:

 – sztywność podpory

  – podatność podpory





f

Zadania:

1)

liniowa

i

k

i



L

Wymuszenie kinematyczne





















ik

i

k

k

i

k

L

v

v

   

v

   

i

  

v

  

oraz

  

rozwiązanie:

równanie różniczkowe 
osi odkształconej

metoda sił

na podstawie wzorów 
dla prętów o 
niepodatnych 
podporach

Metoda 
sił:

i

k

1

X

ki

1

M

X 

Dane:

 

-obrót 
podpory 

 

-obrót pręta 

 

k



ik





















L

v

v

i

k

ik

L

1

L

1

1

M

1

X

  

1





1















































i

i

2

i

L

0

2

1

11

K

3

1

EJ

3

L

L

1

EJ

1

1

3

2

L

1

2

1

1

L

1

L

1

dx

EJ

M

EJ

L

K

3

i

i







ik

k

k

i

k

p

1

v

L

1

v

L

1







































ik

k

11

p

1

1

3

K

K

L

EJ

3

X





























3

K

K

L

EJ

3

T

T

   

;

  

3

K

K

L

EJ

3

M

ik

k

2

ki

ik

ik

k

ki





























- brak 
podpory

i



0

K

   

, 

0

i







0

M

   

,

  

0

3

K

K

lim

ki

0

K

















K

   

, 

i



1

K

3

1

1

lim

3

K

K

lim

K

K





















1

L

EJ

3

M

k

k

ki











- podpora         
niepodatna

i



Wykorzystanie znanych wzorów

podpora niepodatna:

podpora podatna:





ik

i

o
ki

L

EJ

3

M









ki

M

ki

o
ki

ki

M

M

M







ki

M



- dodatkowy moment, 
który powstanie przez 
obrót pręta         
wynikający z podatności 
podpory





L

M

R

     

,

  

R

     

,

  

L

ki

i

i

i

i

i























i

2

ki

L

M











 











L

EJ

3

M

ki









ki

ik

k

i

2

ki

ik

k

ki

M

K

3

L

EJ

3

L

M

L

EJ

3

L

EJ

3

M









































ik

k

ki

ki

L

EJ

3

K

3

M

M



















K

3

K

L

EJ

3

M

ik

k

ki













2)

kątowa

EJ

L

K







i

k



L

Metoda 
sił:

1

X

2

X

wymuszeni
e:

i



4

K

K

L

EJ

2

M

X

     

;

   

4

K

3

K

L

EJ

4

M

X

i

ki

2

i

ik

1



















przypadek  

1) 

0

K

   

, 

0







0

4

K

K

lim

4

3

4

K

3

K

lim

0

K

0

K















0

M

L

3EJ

4

3

L

EJ

4

M

ki

i

i

ik











2) 











K

   

, 

1

4

K

K

lim

1

4

K

3

K

lim

K

K



















i

ki

i

ik

L

EJ

2

M

    

,

  

L

EJ

4

M









Sztywność podpory k

EJ

II sposób:

ki

i

ki

ik

i

ik

M

L

EJ

2

M

    

,

  

M

L

EJ

4

M

















M



- momenty wywołane dodatkowym obrotem podpory

k

       

;

M

ki

k











   

L

4EJ

M

    

L

2EJ

M

k

ki

k

ik





















2

ki

1

ik

X

M

    

;

   

X

M

















































2

i

2

2

i

1

X

L

EJ

4

L

EJ

2

X

X

L

EJ

2

L

EJ

4

X



4

K

K

L

EJ

2

X

4

K

3

K

L

EJ

4

X

i

2

i

1















inne przypadki:

i

k

i



i

k

i



    

k







 itd….