Wykład 8

Analiza korelacji 

Korelacja krzywoliniowa

-miary krzywoliniowości 

korelacji-

dr Elżbieta Gołąbeska

Rozważania dotyczące korelacji 

między dwiema zmiennymi X i Y 

prowadzone były dotychczas wyłącznie w 

zakresie

stwierdzenia istnienia tejże korelacji.

Wprowadze
nie 

W tym celu stawiano hipotezę zerową 

o niezależności badanych zmiennych. 

Następnie weryfikowano ją testem chi-

kwadrat.

W momencie odrzucenia H

0

 stwierdzano, 

że istnieje korelacja między X i Y.   

Wprowadze
nie 

Po stwierdzeniu, że korelacja istnieje, 

w dalszej części analizy należałoby zbadać 

czy jest to korelacja liniowa czy 

krzywoliniowa. 

Wprowadze
nie 

Współczynnik korelacji 
liniowej

Stosunki korelacyjne

Miary krzywoliniowości 

Oznaczenia 

xy

r

xy

e

yx

e

xy

m

yx

m

Czy korelacja jest liniowa czy 
krzywoliniowa ?

Korelacja między zmiennymi X  i  Y jest liniowa, 

jeśli

xy

r

=

xy

e

Zwykle jednak 

|

|

xy

r

<

xy

e

Wówczas mówimy, że korelacja może być 

krzywoliniowa

W celu stwierdzenia krzywoliniowości należy 

wyznaczyć 

tzw. miary krzywoliniowości korelacji 

Miary krzywoliniowości korelacji

xy

m

=

xy

e

-

 

xy

r

oraz

yx

m

=

yx

e

-

 

xy

r

 
2

 
2

W przypadku, gdy 

xy

m

>

0,2

to można sądzić, że zależność między zmiennymi X i 

Y 

jest krzywoliniowa

2

2

Wstępna interpretacja miar 
krzywoliniowości korelacji

Interpretacja miar krzywoliniowości korelacji jest 

tylko wstępna 

i powinna być uzupełniona bardziej obiektywną 

oceną statystyczną.

 W tym celu należy dokonać weryfikacji hipotezy 

zerowej

 zakładającej, że korelacja między zmiennymi jest 

liniowa 

wobec prawostronnej hipotezy alternatywnej.

Hipoteza o liniowości korelacji

0

)

(

:

0





xy

xy

r

e

E

H

0

)

(

:

0





xy

yx

r

e

E

H

wobe
c

0

)

(

:

1





xy

xy

r

e

E

H

2

2

2

2

2

2

Weryfikacja hipotezy o liniowości 
korelacji 

Do weryfikacji powyższych hipotez zerowych na 

deklarowanym poziomie istotności stosujemy 

odpowiednio testy 

l

n

e

l

r

e

F

xy

xy

xy

x













1

1

k

n

e

k

r

e

F

yx

xy

yx

y













1

1

lub

gdzie:     k – liczba wierszy          l – liczba kolumn                 n – 

liczebność próby losowej

2

2

2

2

2

2

Obszar krytyczny

W celu podjęcia decyzji weryfikacyjnej 

należy w oparciu o hipotezę alternatywną 

wyznaczyć (prawostronny) obszar krytyczny:

)

,

(

2

1

,

,



s

s

F



1

1



k

s

k

n

s





2

Decyzja weryfikacyjna

Jeżeli wynik testu mieści się w wyznaczonym 

obszarze krytycznym, 

to hipotezę zerową należy odrzucić 

na korzyść hipotezy alternatywnej, 

co oznacza, że korelacja między badanymi 

zmiennymi 

jest krzywoliniowa.

Przykład

Analizą  statystyczną  objęto  50  polskich  największych  firm 
(próba  losowa)  w  2011  roku  ze  względu  na  zysk  brutto  (w 
tys.PLN) 
i rentowność brutto (w procentach poniesionych nakładów). 
Dla  obu  zmiennych  zestawiono  ETK  o  wymiarach  5  x  5  i 
otrzymano fragment wydruku komputerowego:

wsp. korelacji liniowej                  - 0,3462

                                               x wz y           y wz x

stosunki korelacyjne            0,7227           0,6905

miary krzywoliniowości       0,4024           0,3569

Deklarując  poziom  istotności  0,01  wypowiedzieć  się  czy 
korelacja obserwowanych zmiennych jest liniowa i ujemna.

Bardzo dziękuję za uwagę 

i zapraszam na kolejny wykład

Elżbieta Gołąbeska