1. Opis ruchu cieczy

  a.  opis Lagrange’a
  b.  opis Eulera

2. Rodzaje przepływu cieczy

  a.  przepływ laminarny
  b.  przepływ turbulentny

3. Równanie ciągłości

4. Równanie Bernoulliego

5. Przepływ cieczy przez okrągłą rurę

  a.  długość odcinka stabilizacji hydrodynamicznej
  b.  wzór Newtona (siła lepkości)
  c.  prędkość warstwy płynu jako funkcja odległości od 
osi rury
  d.  definicja wydajności strumienia cieczy Q
  e.  wzór Poiseuille’a

Elementy HYDRODYNAMIKI

Opis ruchu cieczy

a. Podajemy położenie każdej cząstki cieczy w funkcji 

czasu 

– opis Lagrange’a

b.  Wybieramy punkt przestrzeni, rejestrujemy prędkości, z 

którymi przechodzą przez dany punkt cząstki cieczy 

– opis Eulera

Rodzaje przepływu cieczy

a. Przepływ ma charakter warstwowy. Cząstki cieczy nie 

przechodzą z warstwy do warstwy

      

- przepływ laminarny

b. Płyn miesza się (nie zachowuje charakteru 

warstwowego). Prędkość cząstek w danym punkcie 
zmienia się chaotycznie

      

- przepływ turbulentny

Kryterium podziału na ruch laminarny i turbulentny jest 
wielkość bezwymiarowa zwana 

liczbą Reynoldsa R

e

.

 

e

l

R

r n

h

=

gdzie: 

 – gęstość cieczy

 – średnia (w przekroju poprzecznym) prędkość

 – współczynnik lepkości

l  – charakterystyczny rozmiar przekroju poprzecznego (dł. boku, 

średnica)

Dla małych R

e

 – przepływ laminarny. 

Począwszy od tzw. wartości krytycznej R

ekr 

– przepływ 

turbulentny.
Przejście przepływu laminarnego w turbulentny zachodzi, 
gdy R

e

 > R

ekr

. 

Wielkość R

ekr

 zależy od szeregu czynników: 

gładkości ścianek rury, sposobu wprowadzania cieczy do rury. 

Dla gładkich powierzchni rur R

ekr 

 2300. 

Wprowadzamy pojęcie linii prądu:

Linią prądu nazywamy krzywą w każdym punkcie styczną do prędkości cieczy 

przepływającej przez ten punkt.

Linie prądu mają zwroty zgodne 
ze 

zwrotami 

odpowiednich 

wektorów prędkości.

•Umówiono się, że gęstość linii prądu jest proporcjonalna do 
wartości prędkości w danym miejscu.

•W przepływie stacjonarnym każda cząstka, która przechodzi 
przez dany punkt przestrzeni, ma tę samą wartość prędkości, 
kierunek i zwrot. Linie prądu pokrywają się z torami cząstek 
cieczy.

•Obszar cieczy ograniczony liniami prądu nazywamy rurką prądu 
(strugą).

•Cząstki cieczy poruszają się wewnątrz rurki, nie przecinają jej 
bocznych ścianek.

Równanie ciągłości

 

Rozważmy  strugę  cieczy,  wybierając  dwa  dowolne  przekroje  S

1

  i  S

2

,  przez 

które przepływa 
ciecz z prędkościami odpowiednio 

1

n

r

 i 

2

n

r

Przez poprzeczny przekrój strugi S

1

 w ciągu czasu 

t przepływa 

masa cieczy 

m

1

 = 



1

S

1



1

t 

zaś przez przekrój 
S

2

 

m

2

 = 



2

S

2



2

t 

(



1

, 



2

 – gęstość cieczy w pobliżu przekroju S

1

 i S

2

). 

Ponieważ ciecz nie wypływa ze strugi, ani nie dopływa, więc: 

1

2

1 1 1

2 2 2

m

m

S

t

S

t

r n

r n

D =D

D =

D

const

S

r n =

równanie ciągłości

P

1

 – siła parcia na powierzchnię S

1

;  P

1

 = 

p

1

S

1

p

1

 – ciśnienie na powierzchnię S

1

P

2

 – siła parcia na powierzchnię S

2

;  P

2

 = 

p

2

S

2

p

2

 – ciśnienie na powierzchnię S

2

Równanie Bernoulliego 

Stacjonarny strumień cieczy nielepkiej i nieściśliwej. 

2

2

2

1

2

1

1 1

1

2 2

2

2

2

2

1

1 1

1

2 2

2

2

1

2

2

1

2

1 1

1

1

2 2

2

2

1 1

1

2 2

2

1

1

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

;    

2

2

m

m

mgh mgh

W pS l

p S l

W

m

m

pS l

p S l

mgh mgh

m

m

pS l mgh

p S l

mgh

m

S l

S l

S l

S l

p

gh

p

gh

n

n

e

e

n

n

n

n

r

r

r n

r n

r

r

D =

-

+

-

D =

D -

D

D =D

D -

D =

-

+

-

D +

+

=

D +

+

=

D =

D

D = D

+

+

= +

+

2

const

2

p

gh

r n

r

+

+

=

równanie Bernoulliego

W czasie 

t przez powierzchnię 

S

1

 przepływa ciecz o masie 

m

1

 = 



1 



 

l

1

S

1

, 

zaś przez S

2

 

m

2

 = 



2 



 

l

2

S

2

. 

Z prawa ciągłości 



1 



 

l

1

S

1

 = 



2 



 

l

2

S

2

. 

Przyrost energii 



 warstwy 

cieczy o masie m

1

 = m

2

 = m 

równy jest pracy wykonanej 
przez siły zewnętrzne nad tą 
warstwą cieczy. 

Przepływ cieczy przez okrągła rurę 

•Rozkład prędkości płynu w różnych przekrojach cylindrycznych rury.

•Odległość miedzy przekrojami 1-1 i 5-5 nazywamy długością odcinka 
stabilizacji hydrodynamicznej.

W przepływie cieczy istotną rolę odgrywa siła tarcia pomiędzy warstwami 
cieczy zwana siłą lepkości. W laminarnym przepływie cieczy siła lepkości 
między dwiema sąsiednimi warstwami, poruszającymi się z prędkościami 

,   

 + d  wynosi:

d

F

S

dr

h

n

h

=

wzór 

Newtona

gdzie:
F



 – siła lepkości

  – współczynnik lepkości

S  – powierzchnia styku warstw

d

dr

n

–  szybkość zmian prędkości w kierunku 

prostopadłym

do samej prędkości  (gradient prędkości cieczy)

Zmianie odległości od osi rury równej dr odpowiada zmiana prędkości o d

. 

Rozważmy ciecz w walcu o promieniu r i długości l; 
p

1

, p

2

 – ciśnienie na powierzchnie 1, 2. 

Siła parcia na powierzchnię 1 wynosi: p

1

 r

2

, zaś na powierzchnię 

2: p

2

 r

2

. 

wypadkowa siła parcia wynosi: (p

1

 – p

2

) 

 r

2

. 

Zwrot tej siły jest zgodny z ruchem cieczy. Jednocześnie działa siła 
lepkości:

2

d

F

rl

dr

h

n

h

p

=

Warunek stacjonarności ma postać: 

2

1

2

(

)

2

d

p p

r

rl

dr

n

p

h

p

-

=

Wartość wypadkowej siły parcia równa jest wartości siły lepkości 
(zwroty tych sił są przeciwne).
Prędkość maleje wraz ze wzrostem odległości od osi rury czyli:

2

1

2

(

)

2

d

d

dr

dr

d

p

p

r

rl

dr

n

n

n

p

h

p

=-

-

=-

stąd 

1

2

(

)

2

d

p p r

dr

l

n

h

-

-

=

Rozdzielamy zmienne 

1

2

(

)

2

p p

d

rdr

l

n

h

-

=-

Całkujemy stronami 

2

1

2

(

)

2 2

p p

r

C

l

n

h

-

=-

+

�

Stałą całkowania obliczamy przyjmując, że dla r = R 

 = 0 

2

1

2

(

)

0

4

p p

R C

l

h

-

=-

+

stąd 

1

2

(

)

4

p p

C

R

l

h

-

=

2

stała całkowania

*

podstawiając tę wartość C do wzoru      otrzymujemy: 

2

2

1

2

(

)

(

)

4

p p

R

r

l

n

h

-

=

-

lub 

2

2

1

2

2

(

)

1

4

p p

r

R

l

R

n

h

-

�

�

=

-

�

�

�

�

**

*

Wartość prędkości na osi rury wynosi: 

2

1

2

0

(

)

    (

0)

4

p p

R

r

l

n

h

-

=

=

Można zatem wzór          zapisać 

2

0

2

1

r

R

n n

�

�

=

-

�

�

�

�

gdzie:
  prędkość w odległości r od osi

**

Przy założeniu, że przepływ jest laminarny obliczamy tzw. wydajność 
strumienia cieczy Q. 

Wartość liczbowa Q równa jest objętości cieczy, która przepływa 
przez przekrój poprzeczny rury w jednostce czasu. 

Wydajność strumienia cieczy

Poprzeczny przekrój rury dzielimy na pierścienie o 
grubości dr.
Przez pierścień o promieniu r przepływa w 
jednostce czasu ciecz o objętości równej iloczynowi 
powierzchni poprzecznego przekroju pierścienia 

2



rdr

 i prędkości przepływu w odległości r od osi 

rury

2

0

2

1

r

R

n n

�

�

=

-

�

�

�

�

Zatem 

Wydajność strumienia cieczy Q otrzymamy całkując to wyrażenie w 
granicach od zera do R. 

2

0

2

1

2

r

dQ

rl dr

R

n

p

�

�

=

-

�

�

�

�

�

2

0

2

1

2

r

dQ

rl dr

R

n

p

�

�

=

-

�

�

�

�

�

2

0

2

0

2

3

2

4

0

0

0

2

2

2

0

0

0

0

0

2

4

4

2

0

0

0

2

1

2

1

1

2

2

2

2

4

1

2

2

2

4

4

2

R

R

R

R

R

R

r

Q

rl dr

R

r

r

r

r

Q

rl dr

r dr

dr

R

R

R

R

R

R

R

R

n

p

n

p

n p

n p

p

n p

n p

n

�

�

=

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

-

� =

� -

=

-

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

-

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

R

2

ale 

2

1

2

0

(

)

4

p p

R

l

n

h

-

=

stąd 

4

1

2

(

)

4

p

p

R

Q

l

p

h

-

=

wzór 

Poiseuille’a

Q zależy od rodzaju cieczy (temperatury). Tę zależność określa 
współczynnik 

. 

Q jest odwrotnie proporcjonalne do współczynnika lepkości 

. 

Wydajność strumienia Q jest wprost proporcjonalna do spadku ciśnienia na 
jednostkę 

długości rury

1

2

p

p

l

-

�

�

�

�

�

�

oraz czwartej potęgi promienia rury R. 

8



l