1

Podstawowe pojęcia statystyki 
matematycznej.
Statystyka opisowa

Pracownia Doświadczalnictwa
Prof. dr hab. Sławomir Stankowski
ul. Pawła VI 3, pok. 117

2

Zalecana literatura

Literatura:
Podstawowa:
Sobczyk M.,2007: Statystyka. PWN, 
Warszawa
Luszniewicz A., 1997: Metody 
wnioskowania statystycznego, 
PWE, Warszawa.

3

Wprowadzenie

Geneza statystyki matematycznej 
jako dziedziny naukowej

Definicja statystyki – jest to nauka 
zajmująca się badaniem  
prawidłowości w masowych 
zjawiskach przypadkowych i 
opisywaniem ich za pomocą liczb.

4

Działy statystyki

S ta ty s t y k a  o p i s o w a

W n io s k o w a n i e  s t a ty s t y c z n e

S t a ty s t y k a  m a te m a ty c z n a

5

Statystyka opisowa

Zajmuje się metodami 
gromadzenia, opisu i 
przedstawiania danych w postaci 
sumarycznej
Opis statystyczny dokonywany jest 
za pomocą określonych 
charakterystyk (miar)

6

Wnioskowanie 

statystyczne

Oparte jest na rachunku 
prawdopodobieństwa, będącego działem 
matematyki
Zajmuje się - na podstawie prób 
statystycznych -szukaniem reguł o 
właściwościach populacji i relacjach 
między populacjami w celu wyciągania 
uogólnionych wniosków o nich.

    

7

Pojęcia i definicje:

Zbiorowość statystyczna – zbiór elementów (osób, 

przedmiotów, zdarzeń) objętych badaniem.
Populacja generalna – zbiór danych (najczęściej 

liczbowych) charakteryzujących zjawisko.
Próba (populacja próbna) – podzbiór populacji 

generalnej.
Jednostka statystyczna – element zbiorowości 

statystycznej.
Cecha – właściwość jednostki statystycznej.
Materiał statystyczny – wyniki pomiarów lub 

obserwacji z jednostek statystycznych.
Szereg statystyczny – uporządkowany zbiór 

wartości cechy.

8

Podział cech

Cechy

jakościowe

(niemierzalne)

ilościowe

(mierzalne)

ciągłe

skokowe

quasi-ilościowe

9

Rodzaje charakterystyk 

populacji (prób)

Miary skupienia
Miary rozproszenia
Miary kształtu

10

Miary skupienia 

(koncentracji)

ś r e d n ia   a r y tm e t y c z n a

ś r e d n ia   a r y tm a t y c z n a   w a ż o n a

ś r e d n i a  g e o m e t r y c z n a

ś r e d n i a   h a r m o n i c z n a

k la s y c z n e

m o d a   ( d o m i n a n t a )

m e d i a n a

k w a r t y le

d e c y le

k w a n t y le

p o z y c y j n e

ś r e d n ie

11

Miary rozproszenia 

(zmienności, dyspersji)

r o z s te p   ( a m p li t u d a   w a h a ń )

o d c h y le n i e   ć w i a r tk o w e

p o z y c y j n e

o d c h y le n i e   p r z e c i ę t n e

o d c h y le n i e   s ta n d a r d o w e

w a r ia n c ja

b łą d   s t a n d a r d o w y

k la s y c z n e

w s p ó łc z y n n i k   z m i e n n o ś c i

m i e s z a n e

m ia r y   r o z p r o s z e n ia

12

Miary kształtu

s k o ś n o ś ć

b e z w z g lę d n e

w s p ó łc z y n n ik   s k o ś n o ś c i

w z g lę d n e

m i a r y   a s y m e t r ii

w s p ó łc z y n n i k   s p ła s z c z e n ia

w s p ó łc z y n n i k   k o n c e n t r a c ji

L o r e n z a

m ia r y   z r ó ż n ic o w a n ia

m i a r y   k s z t a łtu

13

Średnia 

arytmetyczna:

n

x

x

n

i

i







1

• 

X

min

 < średnia  < X

max

• Suma odchyleń poszczególnych 
wartości zmiennej od średniej 
arytmetycznej jest równa 0

14

Średnia arytmetyczna c.d.

•Jeżeli każdą z wartości szeregu liczbowego 
zwiększymy (zmniejszymy, podzielimy, 
pomnożymy) o stałą, to średnia arytmetyczna 
będzie równa sumie (różnicy, ilorazowi, 
iloczynowi) średniej arytmetycznej pierwotnych 
danych i tej stałej.

•Na wartość średniej arytmetycznej duży 
wpływ mają wartości skrajne 
(ekstremalne)

15

Średnia arytmetyczna 

ważona:

•Jest stosowana, gdy warianty zmiennej (x

i

) 

występują z różną częstotliwością. Wtedy 
poszczególnym wariantom odpowiadają różne 
liczebności tzw. wagi (f

i

).







i

i

i

f

f

x

x

·

16

Średnia harmoniczna

•Średnią tą stosujemy przy wyliczaniu 
średniego tempa zjawisk, gdy mamy do 
czynienia z wielkością stosunkową w której 
zmienny jest mianownik. Jako wielkość 
stosunkową rozumiemy stosunek dwóch 
różnych wielkości (każda z nich mogłaby być 
niezależnie analizowana) np. wydajność pracy, 
prędkość, gęstość zaludnienia.





i

H

x

n

x

1

17

Średnia geometryczna

n

n

G

x

x

x

x

·....·

·

2

1



•Średnią tą stosujemy przy wyliczaniu średniej 
z szeregów dynamicznych (czasowych), cech 
przedstawionych w liczbach względnych

•Średnia ta jest mniej wrażliwa na wartości 
skrajne.

średnia arytmetyczna > średnia 
geometryczna > średnia harmoniczna

18

Moda (dominanta,

wartość najczęstsza)

•W przypadku cechy liczbowej skokowej jest to 
wartość powtarzająca się najczęściej. 

•W przypadku cechy liczbowej ciągłej jest to 
wartość, wokół której jest najwyższa 
koncentracja (gęstość) wyników. 

D

,

Mo

19

Mediana (wartość 

środkowa)

•Jest to wartość środkowa uporządkowanego 
szeregu liczbowego.

parzyste

gdy

2

e

nieparzyst

gdy

1

2

2

2

1

n

x

x

Me

n

x

Me

n

n

n











20

Kwartyle

•dzielą uporządkowany szereg liczbowy na 
cztery równe części

•drugi kwartyl jest jednocześnie medianą

•pierwszy kwartyl jest „medianą pierwszej 
połowy szeregu”

•trzeci kwartyl jest „medianą drugiej połowy 
szeregu”

Me

Q

2

Q

1

Q

3

x

min

x

max

21

Rozstęp (amplituda 

wahań)

Klasyczny

Kwartylowy

1

3

min

max

Q

Q

R

x

x

R









22

Odchylenie ćwiartkowe

2

1

3

Q

Q

Q





•Określa poziom zróżnicowania części szeregu 
liczbowego po odrzuceniu skrajnych 25 % 
obserwacji. Oznacza to, że odchylenie 
ćwiartkowe określa średnią rozpiętość wartości 
cechy w dwóch wewnętrznych ćwiartkach 
zbiorowości.

23

Odchylenie przeciętne

n

x

x

d

i







24

Wariancja





 

 

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2



























n

n

x

x

s

 

n

x

x

s

 

n

x

x

s

n

i

i

Estymator obciążony, stosować dla dużych prób

Estymator nieobciążony, stosować dla małych prób

25

Odchylenie standardowe

2

s

s 

26

Błąd standardowy (błąd 
średniej arytmetycznej)

n

s

s

x



27

Współczynnik   zmienności

(4)

   

V

(3)

   

%

100

V

(2)

  

%

100

)

1

(

   

%

100

(%)

1

3

1

3

Q3

-

Q1

Q

Q

Q

Q

Q

Me

Q

x

d

V

x

s

V

d













28

Współczynnik zmienności 

c.d.

• określa stopień zróżnicowania wyników w 

stosunku do średniej

• wyliczony ze wzorów (1) i (2) jest określany 

jako klasyczny

• wyliczony ze wzorów (3) i (4) jest określany 

jako pozycyjny

• wykorzystywany jest do:
a) określania ścisłości wykonania 

doświadczenia

b) porównania stopnia zmienności kilku cech w 

obrębie jednej populacji

c) porównania stopnia zmienności tej samej 

cechy w obrębie kilku populacji

29

MIARY KSZTAŁTU

Miary asymetrii

Skośność – liczona tradycyjnie

Q

Me

Q

Q

A

s

Me

x

A

s

Mo

x

A

Q

Me

Mo

2

2

3

3

1















A=0 dla rozkładu symetrycznego, A<0 - dla rozkładów o 
lewostronnej asymetrii (wydłużone lewe ramię rozkładu) 
i  A>0  dla  rozkładów  o  prawostronnej  asymetrii 
(wydłużone prawe ramię rozkładu).