RACHUNEK MACIERZOWY
• Określenie i klasyfikacja
macierzy
• Działania na macierzach
• Zagadnienie wartości własnych
macierzy
RACHUNEK MACIERZOWY
• Określenie i klasyfikacja
macierzy
• Działania na macierzach
• Zagadnienie wartości własnych
macierzy
n
j
m
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
mn
m
m
m
n
n
n
m
ij
..
1
,
..
1
,
3
2
1
2
23
22
21
1
13
12
11
A
Określenie i klasyfikacja macierzy
Określenie macierzy prostokątnej o wymiarze m
x n
Szczególne przypadki macierzy
prostokątnej:
• Macierz kwadratowa, gdy m = n
• Macierz kolumnowa, gdy n = 1
• Macierz wierszowa, gdy m = 1
Szczególne przypadki macierzy
kwadratowej
Macierz diagonalna
j
i
dla
d
d
d
d
d
ij
0
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
44
33
22
11
D
Macierz skalarna
j
i
dla
s
s
ij
ii
0
,
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S
Macierz jednostkowa
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
I
I
S
Szczególne przypadki macierzy
kwadratowej c.d.
Macierz trójkątna dolna
i
j
dla
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
ij
0
,
0
0
0
0
0
0
44
43
42
41
33
32
31
22
21
11
L
Macierz trójkątna górna
i
j
dla
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
ij
0
,
0
0
0
0
0
0
44
34
33
24
23
22
14
13
12
11
U
Macierz pasmowa (np. trójdiagonalna)
1
0
,
0
0
0
0
0
0
44
43
34
33
32
23
22
21
12
11
i
j
dla
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
ij
P
Szczególne przypadki macierzy
kwadratowej c.d.
Macierz symetryczna
c
b
b
a
np
n
j
i
dla
m
m
m
ji
ij
ij
.
..
1
,
,
M
Macierz antysymetryczna (skośnie
symetryczna)
0
0
.
..
1
,
,
b
b
np
n
j
i
dla
n
n
n
ji
ij
ij
N
Przedstawienie dowolnej macierzy kwadratowej
jako sumę macierzy symetrycznej i
antysymetrycznej
yczna
antysymetr
T
a
symetryczn
T
A
A
A
A
A
2
1
2
1
Działania na wektorach
Iloczyn skalarny dwóch wektorów
cos
.
ab
b
a
b
a
b
a
z
z
y
y
x
x
b
a
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
)
(
)
(
)
(
x
y
y
x
z
x
x
z
y
z
z
y
z
y
x
z
y
x
b
a
b
a
k
b
a
b
a
j
b
a
b
a
i
b
b
b
a
a
a
k
j
i
c
b
a
Działania na macierzach
Równość macierzy tego samego wymiaru m x n
wskaźników
wszystkich
dla
b
a
ij
ij
,
B
A
Dodawanie (odejmowanie) macierzy tego samego
wymiaru m x n
wskaźników
wszystkich
dla
b
a
c
ij
ij
ij
,
B
A
C
Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)
wskaźników
wszystkich
dla
a
b
ij
ij
,
B
A
Mnożenie macierzy A (m x n) przez macierz B
(n x p)
Transpozycja macierzy
z
c
y
b
x
a
z
y
x
c
b
a
np
a
a
T
m
n
ji
T
n
m
ij
A
A
A
A
,
.
)
(
)
(
A
B
B
A
B
A
C
.
.
.
ogół
na
b
a
c
n
k
kj
ik
ij
Działania na macierzach c.d.
Odwracanie macierzy nieosobliwej A (det A
0)
dołączona
macierz
ad
ad
A
I
A
A
A
A
A
A
A
,
.
.
,
)
det(
1
1
1
Potęgowanie macierzy kwadratowej
n
n
n
n
1
0
,
,
...
.
.
A
A
I
A
A
A
A
A
A
Transpozycja iloczynu macierzy
T
T
T
T
T
A
B
R
S
S
R
B
A
.
...
.
.
...
.
Odwracanie iloczynu macierzy
1
1
1
1
1
.
...
.
.
...
.
A
B
R
S
S
R
B
A
2
B
A
B
B
A
A
B
A
B
A
B
A
.
.
.
2
2
A
B
B
A
B
A
.
det
det
det
.
det
Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych
Zagadnienie wartości własnych macierzy
Postać standardowa zagadnienia wartości własnych
macierzy
– wartość
własna
u – wektor
własny
Dane: A – macierz kwadratowa
Szukane: dla jakiego istnieje niezerowy u
u
u
A
0
u
u
A
0
u
I
A
u
u
A
Zagadnienie wartości własnych macierzy
c.d.
- równanie
charakterystyczne
)
(
)
1
(
...
det
2
2
1
0
w
c
c
c
n
n
I
A
- wielomian
charakterystyczny
n
i
w
i
..
1
,
0
)
(