Równania różniczkowe
zwyczajne
1
Zagadnienie
początkowe
2
• Metoda Eulera
• Metoda Runge-Kutty 4-tego rzędu
• Rozwiązywanie zagadnienia początkowego
w Maple’u
1
Równanie różniczkowe, w którym niewiadoma funkcja
zależy tylko od jednego argumentu nazywamy
równaniem różniczkowym zwyczajnym
2
Z zagadnieniem początkowym (zagadnieniem
Cauchy’ego) mamy do czynienie wtedy, gdy znana jest
wartość niewiadomej funkcji i jej pochodnych dla jednej
(początkowej) wartości zmiennej niezależnej
Równanie różniczkowe nieliniowe n-
tego rzędu
0
)
1
(
)
1
(
0
0
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
n
n
y
y
y
y
y
y
y
y
warunki
początkowe
)
,
...
,
,
,
(
)
1
(
)
2
(
)
(
n
n
n
y
y
y
y
x
f
y
Układ równań różniczkowych
Forma kanoniczna układu równań różniczkowych 1-go
rzędu
)
...
,
,
,
(
)
...
,
,
,
(
)
...
,
,
,
(
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
y
y
y
x
f
x
d
y
d
y
y
y
x
f
x
d
y
d
y
y
y
x
f
x
d
y
d
Zapis
macierzowy
0
)
0
(
),
,
(
y
y
y
f
y
x
0
20
10
0
2
1
2
1
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
n
n
n
y
y
y
x
f
x
f
x
f
y
y
y
y
y
y
y
f
y
0
20
2
10
1
)
0
(
)
0
(
)
0
(
n
n
y
y
y
y
y
y
warunki
początkowe
Sprowadzanie równania n-tego rzędu
do układu n równań 1-go rzędu
)
,
...
,
,
(
,
1
2
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
y
y
y
y
x
f
y
y
y
y
y
y
y
f
y
)
,
( y
f
y
x
)
(t
f
kx
x
c
x
m
)
)
(
(
1
2
1
2
2
1
kx
cx
t
f
x
x
x
m
Przykład
x
x
x
x
2
1
)
,
...
,
,
,
(
)
1
(
)
2
(
)
(
n
n
n
y
y
y
y
x
f
y
Metody przybliżone rozwiązywania zagadnienia
początkowego
- metoda Eulera
- metoda Picarda
- metody szeregów Taylora
- metody Rungego i Kutty
- metoda Adamsa-Bashforda, Adamsa-
Moultona
- metoda Milne’a
- metoda Hamminga
- metoda Geara
- ...
Metoda Eulera
0
0
)
(
,
)
,
(
y
x
y
y
x
f
x
d
y
d
1
..
0
,
)
,
(
1
n
i
y
x
f
h
y
y
i
i
i
i
Idea metody Runge-Kutty dla równania
różniczkowego 1-go rzędu
r
j
k
c
h
y
b
h
x
f
k
y
x
f
k
j
s
s
js
i
j
i
j
i
i
..
2
,
)
,
(
)
,
(
1
1
1
js
j
j
c
b
a
,
,
– współczynniki zależne od rzędu
metody RK
0
0
)
(
,
)
,
(
y
x
y
y
x
f
x
d
y
d
,
1
..
0
1
1
n
i
k
a
h
y
y
r
j
j
j
i
i
r – rząd
metody
,
1
h
x
x
i
i
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
k
a
h
k
a
h
k
a
h
k
a
h
y
k
a
h
y
y
i
r
j
j
j
i
i
Metoda RK 4-tego rzędu (r = 4)
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
43
2
42
1
41
4
4
2
32
1
31
3
3
1
21
2
2
1
k
hc
k
hc
k
hc
y
b
h
x
f
k
k
hc
k
hc
y
b
h
x
f
k
k
hc
y
b
h
x
f
k
y
x
f
k
i
i
i
i
i
i
i
i
Klasyczny zestaw współczynników w metodzie RK 4-
tego rzędu
4
3
2
1
43
42
41
4
32
31
3
21
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
a
a
a
a
c
c
c
b
c
c
b
c
b
6
1
6
2
6
2
6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
2
2
(
,
,
,
)
,
(
4
3
2
1
6
1
1
3
4
2
2
1
2
1
3
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
h
y
y
k
h
y
h
x
f
k
k
h
y
h
x
f
k
k
h
y
h
x
f
k
y
x
f
k
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Rozwiązywanie zagadnienia początkowego w Maple’u
ivp
– initial value problem (zagadnienie początkowe)
odesys – zbiór lub lista równań różniczkowych i warunków
początkowych
numeric
– opcja narzucająca rozwiązanie numeryczne
vars
– zbiór lub lista zmiennych zależnych (opcjonalny)
options
– opcje
Objaśnienia:
> ?dsolve,ivp
dsolve(odesys, numeric, vars, options)