MODULACJE KĄTA
FAZOWEGO
HARMONICZNEGO
SYGNAŁU NOŚNEGO
Realizacja (2003/04): Andrzej Pitala,
Paweł Halicz
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
MODULACJE KĄTA
FAZOWEGO
HARMONICZNEGO
SYGNAŁU NOŚNEGO
Realizacja (2003/04): Andrzej Pitala,
Paweł Halicz
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Spis treści
•Edwin Howard Armstrong
•Podział modulacji kąta fazowego
•Modulacja fazy (PM)
•Modulacja częstotliwości (FM)
•Porównanie modulacji PM i FM
•Dewiacja fazy i częstotliwości -
związek
•Wykresy przebiegów PM i FM
•Przypadki graniczne modulacji FM
•Modulacja NBPM (NBFM)
•Modulator Armstronga
•Wykres wskazowy modulacji
NBFM i AM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Spis treści
•Modulacja szerokopasmowa WBFM
•Philip M. Woodward
•Szerokość pasma modulacji FM
•John Renshaw Carson
•Analiza widmowa modulacji tonowej
FM i PM
•Właściwości funkcji Bessela
•Wartości funkcji Bessela
•Wykres funkcji Bessela
•Budowa widma modulacji tonowej
FM i PM
•Szacowanie szerokości widma
modulacji
tonowej FM i PM
•Podsumowanie
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Edwin Howard
Armstrong
(1890 - †1954)
Edwin Howard Armstrong received his
engineering
degree in 1913 at The Columbia University. He
was
the inventor of three of the basic electronic
circuits
underlying all modern radio, radar, and
television:
Regenerative Circuit (1912 - odbiornik z
dodatnim sprzężeniem zwrotnym),
Superheterodyne Circuit (1918 -odbiornik
superheterodynowy), Superregenerative
Circuit (1922 - odbiornik superreakcyjny), and
the FM System (1933).
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Podział modulacji
kąta fazowego
Modulacja kąta
fazowego - M
PM
Phase
Modulation
FM
Frequency
Modulation
0
t
I
m
R
e
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
dt
t
d
dt
t
d
t
t
t
A
t
t
0
0
0
M
cos
Modulacja fazy (PM)
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
t
t
A
t
df
0
0
PM
cos
t
kx
t
t
t
t
df
0
0
t
x
k
dt
t
d
t
0
Modulacja
częstotliwości (FM)
dt
t
x
k
t
A
t
df
0
0
FM
cos
dt
t
x
k
t
dt
t
t
0
t
kx
t
df
0
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Porównanie modulacji
PM i FM
t
kx
t
A
t
df
0
0
PM
cos
dt
t
x
k
t
A
t
df
0
0
FM
cos
x(t
)
x(t
)
PM
FM
dt
d )
(
dt
MOD
FM
MOD
PM
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Porównanie modulacji
PM i FM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
t x k
t
t
kx
t
t
t
kx
t
0
0
dt
t x
k
t
A
t
df
0
0
FM
co
s
dt
t x
k
t
t
dt
t x
k
t
t
kx
t
0
0
t
kx
t
A
t
df
0
0
PM
cos
max
max
x
k
x
k
max
max
x
k
x
k
dt
t
d
t
0
?
g
0
0
g
g
g
g
g
g
1
2
1
2
1
M
t
x
d
X
d
e
X
j
t
x
M
d
X
d
e
X
t
x
g
t
j
t
j
Dewiacja fazy i
częstotliwości - związek
X
t
x
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
g
max
max
g
max
max
~
~
x
x
M
x
M
x
Dewiacja fazy i
częstotliwości - związek
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
dt
t x
k
t
A
t
0
0
FM
co
s
t
kx
t
A
t
0
0
PM
cos
dt
t
d
t
0
max
max
x
k
x
k
max
max
x
k
x
k
g
Dewiacja fazy
dewiacja częstotliwości
Dewiacja fazy i częstotliwości
- związek
Modulacja tonowa PM ( x(t)=
asin
g
t )
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
)
sin
cos(
g
0
0
PM
t
ka
t
A
t
t
t
g
g
0
cos
g
Dewiacja fazy i częstotliwości
- związek
Modulacja tonowa FM ( x(t)=
acos
g
t )
)
sin
cos(
g
g
0
0
FM
t
ka
t
A
t
t
ka
t
g
0
cos
g
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Wykresy przebiegów
PM i FM
FM
(t)
PM
(t)
-a
0
a
-A
0
0
A
0
-A
0
0
A
0
x(t)= acos
g
t
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Wykresy przebiegów FM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
-A
0
0
A
0
-A
0
0
A
0
-A
0
0
A
0
-a
0
a
x(t)= acos
g
t
25
g
0
Przypadki graniczne
modulacji FM
• Modulacja NBFM (Narrow Band FM)
<<
g
(o kształcie widma decyduje struktura częstotliwościowa)
• Modulacja WBFM (Wide Band FM)
>>
g
(o kształcie widma decyduje struktura wartościowa)
•
Przypadek pośredni
~
g
można traktować
jako złożenie przypadków granicznych.
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
= ka
poziom fluktuacji częstotliwości chwilowej
wyznaczony przez amplitudę sygnału modulującego
(
rozkład wartości sygnału – funkcję gęstości prawdo-
podobieństwa I rzędu
)
g
szybkość fluktuacji częstotliwości chwilowej
wyznaczona przez częstotliwość sygnału modulującego
(
widmo gęstości mocy – funkcję korelacji – funkcję
gęstości prawdopodobieństwa II rzędu
)
Modulacja NBPM
(NBFM)
t
jkx
e
A
e
e
A
t
kx
t
A
t
t
j
t
jkx
t
j
1
Re
Re
cos
0
0
0
0
0
0
NBPM
0
,
1
!
2
!
1
1
2
1
z
z
z
z
e
z
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
1
g
g
Modulacja NBPM
(NBFM)
t
t
x
kA
t
A
t
0
0
0
0
NBPM
sin
cos
g
NBFM
NBPM
2
W
W
t
jkx
e
A
e
e
A
t
kx
t
A
t
t
j
t
jkx
t
j
1
Re
Re
cos
0
0
0
0
0
0
NBPM
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Modulator Armstronga
(NBM M
)
„Modulacja i detekcja” Zdzisław
Papir
2
t
A
0
0
sin
t
x
t
A
0
0
cos
t
t
0
cos
t
n
t
m
0
cos
powielacz
częstotliwo
ści
NBM
_
+
M
Wykres
wskazowy
modulacji
NBM
0
0
A
Im
Re
t
x
kA
0
t
NBPM
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Wykres wskazowy
tonowej modulacji
AM
2
0
mA
g
g
0
0
A
Im
Re
2
0
mA
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Modulacja
szerokopasmowa
WBFM
2
WBFM
W
Twierdzenie Woodwarda:
Widmo fourierowskie
szerokopasmowej modulacji
WBFM (z uwagi na powolne
zmiany częstotliwości chwilowej)
zawiera prążki częstotliwości
rzeczywiście wytwarzanych.
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Modulacja
szerokopasmowa
WBFM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Modulacja częstotliwości sygnałem
prostokątnym.
0
T
-1
0
1
t
2T
3T
4T
t
k
t
k
k
k
t
t
T
k
T
k
0
0
1
2
2
0
FM
sin
)
1
(
sin
2
)
sin(
2
sin
2
2
sin
)
(
T
T
T
2
,
Modulacja
szerokopasmowa
WBFM
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
0
1
Philip M. Woodward
Philip M. Woodward, a mathematician at
the
Radar
Research
Establishment,
England. During the war years he worked
on radio propagation. He has written
various papers on antenna theory, noise
theory,
and
computing
including
published in 1953 „Probability and
Information Theory with Applications to
Radar”.
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Szerokość pasma
modulacji FM
(NBFM)
1
,
2
(WBFM)
1
,
2
)
1
(
2
2
2
g
g
NBFM
g
WBFM
FM
W
Reguła Carsona:
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
John Renshaw Carson
(1886 - †1940)
John Renshaw Carson graduated
from Princeton University. Since
1914 he worked for American
Telephone and Telegraph Company
and later since 1925 for Bell
Telephone Laboratories. He
invented the "side band" system
which allowed several telephone calls
to be transmitted simultaneously by a single
electrical circuit and developed the mathematical
background for the use of metal pipes to guide radio
waves. Carson was the author of approximately fifty
professional papers, and was awarded with several
prizes and medals.
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Analiza widmowa
modulacji tonowej FM i
PM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
)
sin
cos(
)
(
sin
)
(
g
0
0
PM
t
ka
t
A
t
t
a
t
x
g
)
sin
cos(
)
(
g
g
0
0
FM
t
ka
t
A
t
t
a
t
x
g
cos
)
(
)
sin
cos(
)
(
g
0
0
M
t
t
A
t
t
j
t
j
e
e
A
0
g
sin
0
Re
t
jn
n
n
t
j
e
J
e
g
g
)
(
sin
J
n
(
) – funkcje Bessela pierwszego
rodzaju
Analiza widmowa
modulacji tonowej FM i
PM
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Szereg Fouriera:
t
n
J
A
t
n
n
g
0
0
M
cos
)
(
)
(
Analiza widmowa
modulacji tonowej FM i
PM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
d
e
J
n
j
n
sin
2
1
Właściwości funkcji
Bessela
2
1
1
2
)
3
1
)
2
)
1
n
n
n
n
n
n
n
J
J
n
J
J
J
J
R
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
Wartości funkcji Bessela
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
N
0
1
2
3
4
5
6
7 8 9 10 11 12
0 1,00
1 0,77 0, 0,11 0,02
2 0,22 0,5 0,35 0,13 0,03 0,01
3 -0,2 0,3 0,9 0,31 0,13 0,0 0,01
4 -0,0 -0,07 0,3 0,3 0,2 0,13 0,05 0,02
5 -0,1 -0,33 0,05 0,3 0,39 0,2 0,13 0,05 0,02 0,01
6 0,15 -0,2 -0,2 0,11 0,3 0,3 0,25 0,13 0,0 0,02 0,01
7 0,30 0,00 -0,30 -0,17 0,1 0,35 0,3 0,23 0,13 0,0 0,02 0,01
8 0,17 0,23 -0,11 -0,29 -0,11 0,19 0,3 0,32 0,22 0,13 0,0 0,03 0,01
9 -0,09 0,25 0,1 -0,1 -0,27 -0,0 0,20 0,33 0,31 0,21 0,12 0,0 0,03
10 -0,25 0,0 0,25 0,0 -0,22 -0,23 -0,01 0,22 0,32 0,29 0,21 0,12 0,0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.5
0
0.5
1
J
n
(
)
J
0
J
7
J
5
J
3
J
10
J
1
J
2
Wykres funkcji
Bessela
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Budowa widma
modulacji tonowej FM i
PM
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
0
0
=0.0
5
0.1
0.2
0.3
0.4
|J
n
(
)|
0
+3
g
0
+6
g
0
+9
g
n=
1
n=
0
Budowa widma
modulacji tonowej FM i
PM
gdzie
„Modulacja i detekcja” Zdzisław
Papir
g
2
N
W
M
1
2
2
N
Szacowanie szerokości
widma modulacji
tonowej FM i PM
„Modulacja i detekcja”
Zdzisław Papir
=0.0
5
|
J
n
(
)|
0
0
+4
g
0
-4
g
0
+8
g
0
-8
g
n=
1
W
M
Liczba prążków
istotnych N(
)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
N(
)
P=99,%
P=90%
P=9%
+1
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Pod uwagę branych jest tyle prążków, aby moc
przesyłanego sygnału była nie mniejsza niż ustalony
procent mocy całkowitej.
Liczba prążków
istotnych N(
)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
N(
)
+2
+1
=0,01
=0,1
=0,05
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
Pod uwagę brane są tylko te prążki, dla których
wartość bezwzględna funkcji Bessela przekracza
ustaloną wartość
Przeważnie przyjmuje się 0,01 <
< 0,1
Podsumowanie
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
1. Dwa rodzaje modulacji kąta fazowego
• PM – modulacja fazy - zmiany
odchyłki kąta fazowego są
uzależnione liniowo od sygnału
modulującego
• FM – modulacja częstotliwości -
częstotliwość chwilowa zależy liniowo
od sygnału modulującego
2. Modulacje FM i PM są ze sobą ściśle
powiązane
• Znając parametry jednej można łatwo
określić parametry drugiej
Podsumowanie
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
3. Dwa graniczne przypadki modulacji kąta
• NBFM – poziom fluktuacji
częstotliwości chwilowej zależy od
amplitudy sygnału modulującego,
najmniejsza możliwa szerokość
pasma
• WBFM – szybkość fluktuacji
częstotliwości chwilowej zależy od
amplitudy sygnału modulującego,
szerokość pasma wyznacza się z
twierdzenia Woodward'a
4. Przypadek pośredni można traktować
jako złożenie NBFM i WBFM
• Szacowanie szerokości pasma zgodnie
z regułą Carsona
Podsumowanie
„Modulacja i detekcja” Zdzisław Papir
5. Analiza widmowa sygnału
zmodulowanego tonowo za pomocą
rozkładu w szereg Fouriera z
wykorzystaniem funkcji Bessela
• Szacowanie szerokości widma poprzez
uwzględnianie tylko prążków
istotnych
• Ilość prążków istotnych ustala się
albo z kryterium amplitudy albo z
kryterium mocy