WŁAŚCIWOŚCI GAZÓW 
DOSKONAŁYCH

 

 

JEDNOATOMOWE GAZY DOSKONAŁE

BT

U

2

3



BT

BT

U

V

p

U

I

2

5











B

T

U

C

V

v

2

3





















B

C

B

T

I

C

v

p

p

























2

5

...

666

,

1

3

5

         

  

          

















v

p

v

p

v

p

v

p

c

c

C

C

R

c

c

B

C

C



 

 

DWUATOMOWE GAZY DOSKONAŁE

BT

U

2

5



BT

BT

U

V

p

U

I

2

7











B

T

U

C

V

v

2

5





















B

C

B

T

I

C

v

p

p

























2

7

4

,

1

5

7

         

  

          

















v

p

v

p

v

p

v

p

c

c

C

C

R

c

c

B

C

C



 

 

BT

U 3



BT

BT

U

V

p

U

I

4











B

T

U

C

V

v

3





















B

C

B

T

I

C

v

p

p

























4

...

333

,

1

3

4

         

  

          

















v

p

v

p

v

p

v

p

c

c

C

C

R

c

c

B

C

C



WIELOATOMOWE GAZY DOSKONAŁE

 

 

GAZY PÓŁDOSKONAŁE

 

 

PRZEMIANY GAZÓW DOSKONAŁYCH

Przemiany izotermiczne

 Przemiany izotermiczne są przemianami przy stałej 
temperaturze (indeks T), tj. dT = 0, T

1

 = T

2

 = T = 

idem.

Z równania stanu gazów doskonałych dla przemian 
izotermicznych wynika, że

p

1

v

1

 = p

2

v

2

 = pv = RT

przy 

stałej 

temperaturze 

iloczyn 

ciśnienia 

bezwzględnego przez objętość właściwą jest dla gazów 
doskonałych  wielkością  stałą  (prawo  Boyle’a  i 
Mariotte’a).

 Energia  wewnętrzna  właściwa  i  entalpia  właściwa 
gazów doskonałych są funkcjami tylko temperatury. 

 

 

 

 

Przemiany  izotermiczne  gazów  doskonałych  są 
zarazem  przemianami  izoenergetycznymi  (u  =  idem) 
oraz 

izentalpowymi 

(i  =  idem).  Zatem  z  równań  wyrażających  pierwszą 
zasadę  termodynamiki  wynika,  że  ciepło  przemiany 
izotermicznej  gazów  doskonałych  jest  równe  pracy 
zmiany objętości i pracy technicznej przemiany

2

,

1

2

,

1

2

,

1

tT

T

T

l

l

q





1

2

1

1

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2

2

,

1

ln

ln

ln

ln

ln

ln

)

(

2

1

2

1

v

v

v

p

v

v

v

p

p

p

v

p

p

p

v

p

p

p

RT

v

v

RT

v

dv

RT

dv

v

p

l

v

v

v

v

T

T























 

 

Ciepło przemiany izotermicznej między stanami 1 i 2, 
odniesione do 1 kg, można również prosto obliczyć z 
przyrostu entropii właściwej:

)

(

1

2

2

,

1

2

1

s

s

T

Tds

q

s

s

T









Ponieważ  znak  ciepła  przemiany  izotermicznej  jest 
zgodny  ze  znakiem  pracy  zmiany  objętości 
przemiany  i  ze  znakiem  pracy  technicznej,  w 
przypadku ekspansji (v

2

 > v

1

) oraz rozprężania (p

2

 < 

p

1

)  ciepło  przemiany  izotermicznej  jest  dodatnie,  a 

w przypadku kompresji (v

2

 < v

1

) oraz sprężania  (p

2

 

> p

1

) – ujemne. 

Przyrost 

entropii 

właściwej 

dla 

przemiany 

izotermicznej  między  stanami  1  i  2  można  obliczyć 
ze wzoru:

2

1

1

2

2

,

1

1

2

ln

ln

)

(

p

p

R

v

v

R

T

q

s

s

T

T









 

 

Przemiany izochoryczne

 Przemiany  izochoryczne  są  przemianami  przy  stałej 
objętości  (indeks  V),  a  przy  rozważaniu  stałej  ilości 
jednorodnej  substancji  są  także  przemianami  przy 
stałej 

objętości 

właściwej 

(indeks 

v),

  tj.  dv  =  0,  v

1

  =  v

2

  =  v  =  idem.  Obrazem 

geometrycznym 

przemiany 

izochorycznej 

jest 

izochora.

Po  podzieleniu  stronami  równań  stanu  gazów 
doskonałych  dla  stanów  1  i  2  o  jednakowych 
objętościach właściwych otrzymuje się

1

2

1

2

T

T

p

p



Przy  stałej  objętości  właściwej  ciśnienie  bezwzględne 
gazu  doskonałego  jest  wprost  proporcjonalne  do 
temperatury bezwzględnej (prawo Charlesa).

 

 

 

 

Praca  zmiany  objętości  dla  przemiany  izochorycznej 
(dv = 0) jest równa zeru







2

1

0

2

,

1

v

v

v

pdv

l

Wobec tego z równania wyrażającego pierwszą zasadę 
termodynamiki 

wynika, 

że 

ciepło 

przemiany 

izochorycznej  jest  zużywane  w  całości  na  przyrost 
energii wewnętrznej.

Ciepło przemiany izochorycznej między stanami 1 i 2, 
odniesione do 1 kg, wynosi

1

0

2

0

1

2

2

,

1

1

2

T

c

T

c

u

u

q

T

v

T

v

v









a dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym

)

(

1

)

(

1

)

(

1

2

1

2

1

2

2

,

1

p

p

v

T

T

R

T

T

c

q

v

v





















 

 

Na  skutek  izochorycznego  ogrzewania  wzrastają 
temperatura i ciśnienie gazu doskonałego.

Praca 

techniczna 

przemiany 

izochorycznej, 

odniesiona do 1 kg, wynosi:

Przyrost 

entropii 

właściwej 

dla 

przemiany 

izochorycznej między stanami 1 i 2 jest równy

a dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym

2

,

1

2

1

2

1

2

,

1

)

1

(

)

(

)

(

2

1

v

p

p

tv

q

T

T

R

p

p

v

vdp

l























1

2

1

2

1

2

ln

)

(

)

(

]

)

(

[

)

(

)

(

2

1

2

1

T

T

R

T

s

T

s

T

dT

R

T

c

T

dT

T

c

s

s

p

p

T

T

p

T

T

v

v



















1

2

1

2

1

2

ln

ln

)

(

p

p

c

T

T

c

s

s

v

v

v







 

 

Na  wykresie  o  współrzędnych  T-s  izochora  gazu 
doskonałego 
o stałym cieple właściwym jest krzywą logarytmiczną. 
Izochora 
o większej objętości właściwej v

1

 = idem przebiega na 

wykresie 
o  współrzędnych  T-s  przy  większych  wartościach 
entropii  niż  izochora  o  mniejszej  objętości  właściwej 
v

3

  = idem.  Pozioma  odległość  między izochorami  jest 

stała i wynosi

3

1

1

3

ln

)

(

v

v

R

s

s

s

T

T









 

 

Przemiany izobaryczne

 Przemiany  izobaryczne  są  przemianami  przy  stałym 
ciśnieniu  (indeks  p),  tj.  dp  =  0,  p

1

  =  p

2

  = p  = idem. 

Obrazem  geometrycznym  przemiany  izobarycznej 
jest izobara.

Po  podzieleniu  stronami  równań  stanu  gazów 
doskonałych  dla  stanów  1  i  2  o  jednakowych 
ciśnieniach otrzymuje się

 Przy  stałym  ciśnieniu  objętość  właściwa  gazu 
doskonałego 

jest 

wprost 

proporcjonalna 

do 

temperatury bezwzględnej (prawo Gay-Lussaca).

Praca techniczna przemiany izobarycznej (dp = 0) 
jest równa zeru 

1

2

1

2

T

T

v

v

p























2

1

0

2

,

1

p

p

tp

vdp

l

 

 

Z 

równania 

wyrażającego 

pierwszą 

zasadę 

termodynamiki 

wynika, 

że 

ciepło 

przemiany 

izobarycznej  jest  zużywane  w  całości  na  przyrost 
entalpii.

Ciepło przemiany izobarycznej między stanami 1 i 2, 
odniesione do 1 kg, wynosi

  

a dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym

 

Praca zmiany objętości przemiany izobarycznej między 
stanami 1 i 2, odniesiona do 1 kg, wynosi

1

0

2

0

1

2

2

,

1

1

2

T

c

T

c

i

i

q

T

p

T

p

p









)

(

1

)

(

1

)

(

1

2

1

2

1

2

2

,

1

v

v

p

T

T

R

T

T

c

q

p

p

























2

,

1

1

2

1

2

2

,

1

1

)

(

)

(

2

1

p

v

v

p

q

T

T

R

v

v

p

pdv

l





















 

 

Przyrost entropii właściwej dla przemiany izobarycznej 
między  stanami  1  i  2  dla  gazów  o  stałym  cieple 
właściwym jest równy

 

Na  wykresie  o  współrzędnych  T-s  izobara  gazu 
doskonałego  o  stałym  cieple  właściwym  jest  krzywą 
logarytmiczną  przebiegającą  łagodniej  niż  izochora, 
ponieważ  podstyczne  są  równe  ciepłu  właściwemu 
a  c

p

  >  c

v

.  Izobara  o  wyższym  ciśnieniu  p

1

  =  idem. 

Pozioma  odległość  między  tymi  izobarami  jest  stała  i 
wynosi 

1

2

1

2

1

2

ln

ln

)

(

v

v

c

T

T

c

s

s

p

p

p







1

3

2

3

ln

)

(

p

p

R

s

s

s

T

T









 

 

 

 

Przemiany adiabatyczne

 Przemiany  adiabatyczne  są  przemianami  bez 
wymiany 

ciepła 

z  otoczeniem  (dq

z

  =  0).  Odwracalne  (dq

w

  =  0) 

przemiany 

adiabatyczne 

są 

przemianami 

izentropowymi:

0

          

,

0











ds

Tds

dq

dq

dq

w

z

Dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym  

lub  w  postaci  zależności  między  parametrami 
dowolnego stanu przemiany izentropowej































          

          

;

1

2

1

1

2

2

1

1

2





p

p

v

v

v

v

p

p

idem





pv

 

 

Dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym 
stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do 
ciepła właściwego przy stałej objętości 



 nazywany 

jest wykładnikiem izentropy.

 Ponieważ

 

na wykresie o współrzędnych p- izentropa przebiega 

bardziej stromo niż izoterma.

T

s

v

p

v

p

v

p

v

p













































 

 

 

 

Jeżeli podzieli się stronami równania stanu gazów 
doskonałych dla stanów 1 i 2

1

2

1

1

2

2

T

T

v

p

v

p



to po uwzględnieniu równań * otrzymuje się 

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

  

          

;





































T

T

v

v

v

v

T

T

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

  

          

;









































T

T

p

p

p

p

T

T

 

 

lub w postaci zależności między parametrami 
dowolnego stanu przemiany izentropowej

 

 

Ciepło przemiany izentropowej (ds = 0) między 
stanami 1 i 2 jest równe zeru

 

idem

      

          

idem;

1

1















Tp

Tv







2

1

0

2

,

1

s

s

s

Tds

q

 

 

Z równania wyrażającego pierwszą zasadę 
termodynamiki wynika więc, że praca przemiany 
izentropowej jest wykonywana kosztem spadku 
energii wewnętrznej i w odniesieniu do 1 kg 
substancji dla gazów doskonałych o stałym cieple 
właściwym wynosi 

Praca techniczna przemiany izentropowej jest 
wykonywana kosztem spadku entalpii i dla gazów 
doskonałych o stałym cieple właściwym  w 
odniesieniu do 1 kg wynosi





































































































1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

,

1

1

1

1

1

1

)

(

1

)

(

p

p

RT

v

v

v

p

v

p

v

p

T

T

R

T

T

c

l

v

s

2

,

1

2

1

2

,

1

)

(

s

p

ts

l

T

T

c

l









 

 

 

 

Zewnętrzne  ciepło  przemiany  adiabatycznej  jest 
równe 

zeru 

(q

zad1,3

 

= 

0). 

Całkowite 

ciepło 

przemiany 

adiabatycznej jest równe ciepłu rozpraszania pracy.  

Zewnętrzna 

praca 

techniczna 

przemiany 

adiabatycznej  jest  wykonywana  kosztem  spadku 
entalpii  i  dla  gazów  doskonałych  (przy  stałym  cieple 
właściwym) jest równa

 

Zewnętrzną 

pracę 

techniczną 

przemiany 

adiabatycznej  można  łatwo  odczytać  z  wykresu  o 
współrzędnych  i-s  jako  odpowiedni  spadek  entalpii 
właściwej.

)

(

1

)

(

3

1

3

1

3

1

3

,

1

T

T

R

T

T

c

i

i

l

p

ztad



















 

 

Sprawność  izentropowa  (adiabatyczna)  rozprężania 
jest  zdefiniowana  jako  stosunek  nieodwracalnego 
adiabatycznego  spadku  entalpii  do  izentropowego 
spadku 

entalpii 

od 

tego 

samego 

stanu 

początkowego 

do 

takiego 

samego 

ciśnienia 

końcowego.

 

Sprawność  izentropowa  (adiabatyczna)  sprężania 
jest  zdefiniowana  jako  stosunek  izentropowego 
wzrostu 

entalpii 

do 

nieodwracalnego 

adiabatycznego  wzrostu  entalpii  od  tego  samego 
stanu  początkowego  do  takiego  samego  ciśnienia 
końcowego.

 

 

 

Przemiany politropowe

Rodzina przemian politropowych (indeks n) 
zdefiniowana jest przez równanie 

gdzie wykładnik politropy n = idem jest wielkością 
stałą dla danej przemiany, a dla różnych przemian 
może przybierać dowolne wartości rzeczywiste 

Obrazem geometrycznym przemiany politropowej jest 
politropa 

idem



n

pv











n

 

 

 

 

Dla szczególnych wartości wykładnika politropy 
otrzymuje się:

  -  przemiany izobaryczne substancji dowolnych: n = 0, 
p = idem;

-    

  -

  

przemiany izotermiczne gazów doskonałych: n = 1, 

pv = idem, 
      T = idem

-      

-  przemiany izentropowe gazów doskonałych o 

stałym cieple 
      właściwym;

 

n = , pv

 

= idem;

-      

-  przemiany izochoryczne substancji dowolnych: n = 

,

      v = idem.

 

Należy zauważyć, że przemiany izentropowe gazów 
doskonałych 
o cieple właściwym zależnym od temperatury nie są 
przemianami politropowymi.

idem

1





v

p

 

 

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

  

          

;

































n

n

T

T

v

v

v

v

T

T

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

  

          

;

































n

n

n

n

T

T

p

p

p

p

T

T

n

n

p

p

v

v

v

v

p

p

1

2

1

1

2

2

1

1

2

      

          

;





























 

 

Praca przemiany politropowej





















































































































































n

n

n

n

n

n

n

p

p

n

v

p

v

v

n

v

p

p

p

n

RT

v

v

n

RT

T

T

n

R

l

1

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)

(

1

Praca techniczna przemiany politropowej

2

,

1

1

1

2

2

2

,

1

2

,

1

)

(

n

n

tn

nl

v

p

v

p

l

l









 

 

Ciepło właściwe przemiany politropowej wynosi

R

n

n

R

n

n

T

n

T

c

n

R

T

c

T

c

v

v

n























































1

1

1

1

1

1

1

)

(

)

(

1

)

(

)

(









 

 

Na  rysunku  podano  zależność  ciepła  właściwego 
przemian  politropowych  od  wykładniki  politropy  dla 
gazów 

doskonałych 

o 

stałym 

cieple 

właściwym. 

Dla 

przemian 

izobarycznych,  gdy  n  =  0,  jest  c

n

  =  c

 

=  c

p

.  Dla 

przemian  izotermicznych,  gdy  n  =  1,  jest 
c

n

 = c

T

 = . Dla przemian izentropowych, gdy n = , 

jest c

n

 = c

T

 = . Dla przemian izentropowych, gdy n 

= 

, 

jest 

c

n

 

= 

c

s

 

= 

0. 

Dla przemian izochorycznych, gdy n = , jest c

n

 = c

 

.

 

 Dla przemian izentropowych jest c

n

= 0, czyli n = .

Ciepło przemiany politorpowej między stanami 1 i 2, 
odniesione  do 1  kg,  dla  gazów doskonałych o  stałym 
cieple właściwym wynosi

v

n

p

n

v

n

c

c

c

c

n

n

n

c

c













 

          

          

1



)

(

1

)

(

1

)

(

1

2

1

2

1

2

2

,

1

u

u

n

n

T

T

n

n

c

T

T

c

q

v

n

n

























 

 

Iloczyny  parametrów  p,  v,  T  przeciwległych  punktów 
przecięć  politrop  (tj.  iloczyny  parametrów  punktów 
parzystych 
i  nieparzystych)  w  obiegu  składającym  się  z  dwóch 
politrop 
o  jednakowych  wykładnikach  przeciętych  dwoma 
politropami 
o jednakowych wykładnikach są sobie równe.

                p

1

p

3

 = p

2

p

4            

v

1

v

3

 = v

2

v

4                  

T

1

T

3

 = T

2

T

4