Pole elektryczne – zasada
superpozycji
Jeżeli dowolnie mały ładunek q umieszczony
jest w polu elektrycznym wytwarzanym przez
więcej niż jeden ładunek działa na niego
suma sił ze strony wszystkich ładunków:
n
F
F
F
F
2
1
E
q
E
q
E
q
E
q
n
2
1
Strumień pola elektrycznego
Liczba linii sił pola elektrycznego
związanych z danym ładunkiem i
wychodzących z dowolnej geometrycznej
powierzchni zamkniętej, zawierającej
ten ładunek, zależy
tylko
od wartości
tego ładunku. Wielkość nazywamy
strumieniem pola elektrycznego
przez
zadaną powierzchnię.
E
E
Strumień pola elektrycznego
Strumień pola dla
sferycznej powierzchni
otaczającej punktowy
ładunek q :
E
r
E
2
4
0
2
0
2
4
1
4
q
r
q
r
Prawo Gaussa
S
trumień pola elektrycznego
przechodzący przez dowolna powierzchnie
zamkniętą zależy od ładunków zawartych
wewnątrz tej powierzchni:
0
q
E
Potencjał elektryczny
B
+q
Q
r
F
B
+q
C
F
C
r
0
A
Potencjał elektryczny
2
0
r
k
F
e
C
gdzie:
r
0
= AC
2
r
k
F
e
B
gdzie:
r = AB
Potencjał elektryczny
F(r)
r
r
0
r
Potencjał elektryczny
r
r
k
r
k
r
k
F
F
F
e
e
e
B
C
śr
0
2
2
0
Średnia wartość siły odpychającej ładunek q
na odcinku CB jest średnią geometryczną sił
F
C
i F
B
:
Potencjał elektryczny
Czyli:
Wykonana przeciw tej sile praca przesunięcia
ładunku na drodze CB:
0
1
1
r
r
k
A
e
r
r
r
r
k
r
r
F
A
e
śr
0
0
0
Potencjał elektryczny
Wyznaczamy energię potencjalną ładunku
przyjmując, że początkowe położenie
ładunku +q jest nieskończenie odległe od
ładunku Q wytwarzającego pole elektryczne,
czyli
0
1
,
0
0
r
r
0
p
E
Potencjał elektryczny
p
p
E
E
A
Energia potencjalna ładunku +q w p.B jest równa
pracy wykonanej przy jego przeniesieniu z
nieskończoności do p.B, czyli:
r
k
A
E
e
p
Potencjał elektryczny
Stosunek energii potencjalnej ładunku do jego
wartości q jest dla danego punktu pola
elektrycznego wielkością charakterystyczną, zwaną
potencjałem pola w tym punkcie.
q
E
V
p
czyli:
r
Q
k
qr
k
V
e
e
Potencjał elektryczny
W próżni, czyli dla:
0
4
1
e
k
r
Q
V
0
4
1
Potencjał elektryczny
V(r)
r
Potencjał pola
elektrycznego wokół
ładunku Q+
V(r)
r
Potencjał pola
elektrycznego wokół
ładunku Q-
Potencjał elektryczny
Potencjał jest wielkością skalarną
charakteryzującą określony punkt pola
elektrycznego i wyraża liczbowo wartość
pracy wykonanej przeciwko siłom pola
(w przypadku potencjału dodatniego) lub
wykonanej przez te siły (w przypadku
potencjału ujemnego) przy przeniesieniu
dodatniego ładunku jednostkowego z
nieskończoności do tego punktu.
Potencjał elektryczny
Jednostka potencjału w układzie SI:
1 wolt
- taka różnica potencjałów dwóch punktów
pola elektrycznego, która wymaga wykonania pracy
1 J przy przeniesieniu ładunku 1C.
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
As
kgm
As
s
kgm
C
J
q
E
V
p
Potencjał elektryczny
Inaczej:
Przesuwanie ładunku Q wzdłuż linii sił pola
na dowolnie małą odległość dl wymaga
wykonania pracy:
Stosunek tej pracy do ładunku nazywamy
potencjałem:
Fdl
dA
Edl
Q
Fdl
dV
Potencjał elektryczny
Potencjał w
dowolnym punkcie
odległym od ładunku
wytwarzającego pole
możemy określić jako
pole powierzchni pod
krzywą F(l)
F(l
)
l
Potencjał elektryczny
Potencjał w punkcie A odległym o r
A
od
ładunku jako pole powierzchni pod
krzywą F(l) przy l zmieniającym się od:
A
r
l
do
l
czyli:
A
r
A
Edl
V
Potencjał elektryczny
dl
l
Q
V
A
r
A
2
0
4
A
r
r
Q
l
Q
A
1
1
4
1
4
0
0
A
r
Q
0
4
Potencjał elektryczny
Potencjał w punkcie B:
B
r
B
Edl
V
Napięcie
Różnica potencjałów w dwóch punktach pola A i
B, odległych od ładunku o r
A
i r
B
nazywana jest
napięciem U
AB
między tymi punktami:
B
A
B
A
r
r
r
r
B
A
AB
Edl
Edl
Edl
V
V
U
Napięcie
Jednostką napięcia (tak jak i potencjału)
jest
1 wolt
A
W
s
A
s
W
C
J
V
1
1
1
1
1
1
1
Powierzchnia ekwipotencjalna
Powierzchnią ekwipotencjalną
nazywamy powierzchnię równego
potencjału, czyli zbiór punktów pola
elektrycznego, w których potencjał
jest jednakowy.
Powierzchnia ekwipotencjalna
W polu elektrycznym wytworzonym przez
pojedynczy ładunek punktowy, potencjał jest
jednakowy we wszystkich punktach
znajdujących się w jednakowej odległości r
od ładunku.
r
Q
V
0
4
1
Powierzchnie ekwipotencjalne takiego pola
mają kształt kul opisanych dookoła ładunku
wytwarzającego pole.
Powierzchnia ekwipotencjalna
A
B
Praca w polu elektrycznym
Energia potencjalna ładunku znajdującego
się w punkcie pola elektrycznego o
potencjale
V:
Vq
E
p
Praca w polu elektrycznym
A
B
Praca w polu elektrycznym
Przesuwanie ładunku z punktu o potencjale
V
A
do punktu o potencjale V
B
związane jest
z pracą równą różnicy energii potencjalnych
ładunku w punkcie A i w punkcie B:
pB
pA
E
E
W
Praca w polu elektrycznym
q
V
V
q
V
q
V
W
B
A
B
A
Uq
Wartość wykonanej pracy jest niezależna
od drogi, po której następuje przesunięcie.
Praca w polu elektrycznym
Niezależność pracy od kształtu drogi
oznacza, że pole elektryczne jest
polem
zachowawczym
– gdy siła w polu działa na
drodze tworzącej obwód zamknięty – suma
prac wykonanych przez siłę jest równa
zeru.
0
l
l
d
E
Natężenie pola elektrycznego
W dowolnym środowisku:
2
4
r
Q
E
gdzie
:
r
0
przenikalność elektryczna bezwzględna,
zwana przenikalnością elektryczną
środowiska w F/m
Natężenie pola elektrycznego
0
–
przenikalność elektryczna próżni
0
= 8,85•10
-12
F/m
r
–
przenikalność elektryczna względna
środowiska (wielkość bezwymiarowa)
Przenikalność elektryczna względna
wskazuje, ile razy przenikalność danego
środowiska jest większa od
przenikalności elektrycznej próżni.
Przenikalność względna
dielektryków
Rodzaj dielektryka
Przenikalno
ść
elektryczna
względna
r
Wytrzymałoś
ć
elektryczna
w V/m
olej
transformatorowy
2 2,5
2 • 10
7
papier nasycony
3,7
2,5 • 10
8
polichlorek winylu
3,3
5 • 10
7
porcelana
izolatorowa
5,5 6,5
2 • 10
7
szkło
3,1 4,4
10
8
powietrze
~ 1
3,2 • 10
6
Natężenie pola elektrycznego
Kabel koncentryczny:
r
2
r
1
U
Natężenie pola elektrycznego
Natężenie pola elektrycznego w odległości:
r
1
r r
2
od środka kabla opisane jest zależnością:
1
2
ln
r
r
r
U
E
Elektryzowanie ciał
Wprowadzenie ładunku do dowolnego
ciała, czyli naelektryzowanie go:
- przez tarcie
- przez indukcję.
Elektryzowanie przez tarcie –
dielektryki.
Elektryzowanie ciał
Przewodniki mogą być
elektryzowane, jeśli są
odizolowane od innych
przewodników:
- przez tarcie
- przez indukcję
Elektryzowanie ciał
B
A
i
Elektryzowanie ciał
A
B
i
p
Pole elektryczne między
płaszczyznami
d
s1
s3
s2
+
-
Pole elektryczne między
płaszczyznami
Natężenie pole elektrycznego wokół
nieskończonej jednorodnie naładowanej
płaszczyzny (zgodnie z prawem Gaussa):
0
2
E
gdzie w [C/m
2
] – gęstość
powierzchniowa ładunku.
Pole elektryczne między
płaszczyznami
Przeniesienie ładunku próbnego na drodze
od płaszczyzny naładowanej ujemnie do
naładowanej dodatnio wymaga pracy:
d
q
qEd
Fd
W
0
Pole elektryczne między
płaszczyznami
Różnica potencjałów między
płaszczyznami, czyli napięcie między
nimi wynosi:
0
d
q
W
U
Pole elektryczne między
płaszczyznami
Dla dwóch płaszczyzn o wymiarach
skończonych i polu powierzchni A
d
A
Q
d
q
W
U
0
0
Kondensatory
Ładunek Q wprowadzony do kondensatora jest
proporcjonalny do napięcia ładowania U
U
+Q
-Q
Kondensatory
CU
Q
gdzie C – pojemność elektryczna
kondensatora
Jednostką pojemności jest farad (1F).
Kondensatory
Pojemność kondensatora jest równa 1F,
jeżeli pod wpływem napięcia 1V
występującego między elektrodami,
ładunek zgromadzony na każdej
elektrodzie jest równy 1C.
pikofarad – 1pF = 10
-12
F
nanofarad – 1nF = 10
-9
F
mikrofarad - 1F = 10
-6
F
Kondensatory
Kondensator płaski – dwie płyty przedzielone
dielektrykiem
gdzie: A – pole powierzchni elektrody
kondensatora
płaskiego [m
2
]
d – odległość elektrod [m]
d
A
C
Kondensatory
Kondensator kulisty (sferyczny) – dwie
współśrodkowe sfery.
gdzie: r
1
– promień wewnętrznej kuli [m]
r
2
– promień zewnętrznej kuli [m]
2
1
1
1
4
r
r
C
Kondensatory
Kondensator walcowy – dwa współosiowe walce
przedzielone dielektrykiem.
gdzie: l – długość kondensatora walcowego [m]
r
1
– promień wewnętrznego walca [m]
r
2
– promień zewnętrznego walca [m]
1
2
ln
2
r
r
l
C
Łączenie kondensatorów
Kondensatory mogą być
połączone:
- szeregowo
- równolegle
- szeregowo-równolegle
Połączenie szeregowe
kondensatorów
a
c
b
U
1
U
U
2
Q
2
Q
1
Połączenie szeregowe
kondensatorów
1
1
1
U
Q
C
2
2
2
U
Q
C
lub
1
1
1
C
Q
U
2
2
2
C
Q
U
Połączenie szeregowe
kondensatorów
2
2
1
1
2
1
C
Q
C
Q
U
U
U
2
1
Q
Q
Q
2
1
1
1
C
C
Q
U
Połączenie szeregowe
kondensatorów
2
1
1
1
1
C
C
C
U
Q
C
Pojemność zastępcza układu dwóch
kondensatorów:
Połączenie szeregowe
kondensatorów
n
k
k
C
C
1
1
1
Pojemność zastępcza n kondensatorów
połączonych szeregowo:
Połączenie równoległe
kondensatorów
U
U
2
U
1
Q
1
C
1
C
2
Q
2
Połączenie równoległe
kondensatorów
2
2
1
1
2
1
2
1
U
C
U
C
Q
Q
Q
U
U
U
Pojemność zastępcza dwóch kondensatorów
połączonych równolegle:
2
1
2
2
1
1
C
C
U
U
C
U
C
U
Q
C
Połączenie równoległe
kondensatorów
Pojemność zastępcza układu n
kondensatorów połączonych
równolegle:
n
k
k
C
C
1