Obudowa łukowa
ŁP
OBUDOWY
ROZPOROWE
Andrzej Wojtaszek
Obudowa łukowa
ŁP
OBUDOWY
ROZPOROWE
Andrzej Wojtaszek
obudowa ŁP
- obudowa odrzwiowa łukami o profilu
korytkowym, z których dwa ociosowe zastępują
stojaki, a trzeci stropnicę; łuki połączone są
strzemionami (złączami śrubowymi) pozwalającymi
na
zsuwanie
łuków
zapewniające
podatność
obudowy
.
MODEL OBLICZENIOWY OBUDOWY ŁP : UKŁAD OBUDOWA-GÓROTWÓR
W celu określenia modelu obliczeniowego układu obudowa-górotwór niezbędnym jest
stworzenie
opisu pracy statycznej obudowy łukowej ŁP
pod wpływem
działania na nią obciążenia oraz rozpoznanie zachowania się, otaczającego tę
obudowę, górotworu.
Stworzenie modeli obliczeniowych elementów tego układu, tzn.
obudowy oraz
górotworu
, pozwala dopiero na określenie modelu obliczeniowego całego układu.
Model układu jest zatem odpowiednią sumą fizyczną modeli
matematycznych elementów.
W przypadku układu obudowa-górotwór
sumowanie fizyczne polega na zachowaniu wartości odpowiadających
sobie przemieszczeń obudowy i górotworu
. Zatem punktem wyjściowym
do zbudowania modelu obliczeniowego układu obudowa-górotwór jest
stworzenie opisu pracy statycznej obudowy łukowej ŁP oraz modelu
matematycznego otaczającego obudowę górotworu.
Badania stanowiskowe obudów łukowych prowadzone w GIG w Katowicach pokazały,
że
obudowa ŁP w zależności od wartości przyłożonego do niej
obciążenia ma dwa odmienne jakościowo schematy pracy statycznej
.
Te dwa różne sposoby zachowania się łuku zdeterminowane są różną pracą
statyczną złącza obudowy.
W zależności od wartości sił wewnętrznych panujących w złączu obudowy,
element ten można traktować sztywny lub podatny.
W pierwszym przypadku, tzn. dla obciążeń
nie powodujących upodatnienie złącza,
zachowanie się obudowy opisuje teoria
łuków
na
sprężystym
podłożu.
Wszechstronną
analizę
naprężeń,
odkształceń
oraz
przemieszczeń
tej
konstrukcji
umożliwiają
programy
numeryczne dotyczące układów prętowych
(ramy), które są przydatne do momentu
„uplastycznienia się złącz tej konstrukcji.
W przypadku obciążeń powodujących
upodatnienie się złącza, analiza pracy
statycznej obudowy łukowej nie jest już tak
prosta i oczywista.
Warunkiem przygotowania opisu pracy
łuków po upodatnieniu się złącza jest
wyznaczenie jego funkcji upodatnienia.
Opis statycznej pracy obudowy łukowej ŁP
1.
Ustalenie warunków upodatnienia
obudowy w złożonych schematach pracy
konstrukcji
W
obudowie łukowej ŁP część stropnicowa jest połączona z łukami
ociosowymi na zakładkę i skręcona w jedną całość za pomocą
dwóch
strzemion
. W śrubach strzemion poprzez dokręcenie wywołuje się siły
S
o
.
Siła osiowa
N
w momencie uplastycznienia (poślizgu) pokonuje siły
tarcia między łukami i strzemion o łuki.
Funkcja
F
opisująca uplastycznienie złącza jest, podobnie jak w teorii
plastyczności, funkcją trzech sił wewnętrznych:
momentu zginającego
M
,
siły osiowej
N
,
oraz siły tnącej
Q
.
Jednym z parametrów tej funkcji jest współczynnik tarcia statycznego
stali o stal:
(1)
0
)
,
,
,
(
Q
N
M
F
Można przedstawić dwa uproszczone przypadki funkcji
uplastycznienia złącza:
(2)
(3)
Związek (2) pomija udział siły tnącej i momentu
zginającego w upodatnieniu się złącza, natomiast
zależność (3) pomija tylko udział siły tnącej
(rys. 1).
0
4
)
,
(
1
N
S
N
F
o
o
o
o
o
sS
M
N
s
M
S
sS
M
N
S
M
N
F
dla
0
2
2
dla
0
4
,
,
2
Rys.1.
a) siły wewnętrzne występujące w złączu, b) – funkcja upodatnienia złącza
wywołanego siłą osiową, c) – funkcja upodatnienia złącza wywołanego siłą osiową i
momentem zginającym
s
Q
N
M
N
M
Q
N
M
4 S
o
N
M
4S
o
2S
o
-sS
o
sS
o
tan
=2
/s
Przyjęcie jednego ze związków (2) lub (3) w
sposób ścisły determinuje metodę opisu pracy
statycznej obudowy łukowej po upodatnieniu
się złącza.
Do dalszej analizy przyjęto, że
obudowa jest
obciążona
symetrycznym
obciążeniem
pionowym
p
v
i
poziomym
p
b
= K p
v
.
Założenie to upraszcza schemat statyczny
obudowy ŁP, pozwalając na wykorzystanie
zasady symetrii.
Poniżej zostaną przedstawione dwa modele
obliczeniowe
obudowy
łukowej
ŁP
odnoszące się do wydzielonych dwóch
związków opisujących upodatnienie złącza
(2) i (3).
Przypadek pierwszy: związkiem opisującym funkcję upodatnienia
jest zależność (2): .
Oznacza to, że dla obciążeń obudowy nie powodujących
przekroczenia w złączu wartości siły osiowej równej
4S
o
konstrukcja pracuje jako sprężysta
a złącze jako niepodatne.
Jeśli przez p
k
oznaczy się wartość obciążenia, przy którym w złączu
siła osiowa jest równa
4S
o
, to model obliczeniowy obudowy można
przedstawić graficznie jak na rys. 2, a wartość sił wewnętrznych w
dowolnym
przekroju
obudowy
można
obliczyć
przy
wykorzystaniu zasady superpozycji w sposób następujący:
0
4
)
,
(
1
N
S
N
F
o
(4)
k
v
k
v
i
k
i
k
v
v
i
C
i
k
v
k
v
i
k
i
k
v
v
i
C
i
k
v
k
v
i
k
i
k
v
v
i
C
i
p
p
p
p
T
p
T
p
p
p
T
T
p
p
p
p
N
p
N
p
p
p
N
N
p
p
p
p
M
p
M
p
p
p
M
M
dla
dla
dla
dla
dla
dla
1
1
1
gdzie: M
i
, N
i
, T
i
– wartości momentu zginającego, siły osiowej i siły tnącej w przekroju „i” od
obciążenia jednostkowego w schemacie statycznym 1a, rys. 2, M
1
i
N
1
i
, T
1
i
– wartości
momentu zginającego, siły osiowej i siły tnącej w przekroju „i” od obciążenia jednostkowego w
schemacie statycznym 1b, rys. 2,
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
p
k
p
b
=
K
p
k
2b
1a
=
p
v
- p
k
p
b
=
K
(p
v
–
p
k
)
2b
1b
+
Rys. 2 Model obliczeniowy obudowy ŁP dla p
v
> p
k
– funkcja upodatnienia złącza wg
0
4
)
,
(
1
N
S
N
F
o
Maksymalna nośność obudowy, tzn.
maksymalna wartość obciążenia przy którym
obudowa nie ulega zniszczeniu, określana jest
wg zależności:
(5)
gdzie: W
i
, A
i
– wskaźnik na zginanie i pole
powierzchni danego przekroju, R
e
– granica
plastyczności materiału obudowy, m, n –
współczynniki materiałowe ((m+n) R
e
600
MPa)
e
i
C
i
i
C
i
R
n
m
A
N
W
M
Drugi przypadek, przy którym założono, że związkiem
opisującym funkcję upodatnienia złącza jest zależność
(3), czyli:
W tym przypadku
elementem decydującym o
upodatnieniu złącza jest
nie tylko
wartość siły
osiowej
ale także
wartość momentu zginającego
jaki
występuje w tym złączu.
Model obliczeniowy obudowy ŁP przedstawiono na
rys.3 , a wartość sił wewnętrznych można określić wg
następujących zależności:
o
o
o
o
sS
M
N
s
M
S
sS
M
N
S
M
N
F
dla
0
2
2
dla
0
4
,
,
2
gdzie: p
k1
– obciążenie, przy którym w złączu obudowy występuje
wartość siły osiowej równa 4S
o
i wartość momentu zginającego
równa co do wartości bezwzględnej wyrażeniu sS
o
(3).
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
dla
dla
dla
dla
dla
dla
dla
dla
dla
k
v
v
i
v
k
v
i
k
k
i
k
i
k
v
k
k
v
i
k
i
k
v
v
i
C
i
k
v
v
i
v
k
v
i
k
k
i
k
i
k
v
k
k
v
i
k
i
k
v
v
i
C
i
k
v
v
i
v
k
v
i
k
k
i
k
i
k
v
k
k
v
i
k
i
k
v
v
i
C
i
p
p
ΔΔ
T
p
p
p
T
p
p
T
p
T
p
p
p
p
p
T
p
T
p
p
p
T
T
p
p
ΔΔ
N
p
p
p
N
p
p
N
p
N
p
p
p
p
p
N
p
N
p
p
p
N
N
p
p
p
M
p
p
p
M
p
p
M
p
M
p
p
p
p
p
M
p
M
p
p
p
M
M
Wartość siły osiowej i momentu w złączu muszą
spełniać zależność (3), wobec tego
wykorzystując związki (3) i (6) uwzględniając
fakt, że dla złącza:
(7)
można zapisać zależność:
(8)
0
1
z
N
v
z
v
k
v
z
k
k
z
k
z
o
v
k
v
z
k
z
p
M
p
p
p
M
p
p
M
p
M
s
S
p
p
p
N
p
N
1
1
1
1
1
2
2
Wykorzystując następujące równanie:
(9)
oraz:
(10)
zależność (8) można przekształcić do postaci:
(11)
Stąd ostatecznie otrzymano:
(12)
wobec tego wartość
p określona jest zależnością:
o
k
z
s
p
N
4
o
k
k
z
k
z
sS
p
p
M
p
M
1
1
v
z
z
k
v
z
o
o
v
k
v
z
o
p
M
M
p
p
M
sS
s
S
p
p
p
N
s
)
(
2
2
4
1
1
1
s
p
p
M
p
p
N
p
M
M
s
N
k
v
z
k
v
z
v
z
z
z
1
1
1
2
)]
(
2
[
)
(
2
2
1
1
1
z
z
z
k
v
z
k
v
z
M
M
s
N
s
p
p
M
p
p
N
p
(13)
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
p
k
p
b
=
K
p
k
2b
p
k1
- p
k
p
b
=
K
(p
k1
–
p
k
)
2b
p-p
k1
-p
p
b
=
K
(p
-p
k
-
p)
2b
p
p
b
=
K
p
2b
=
+
+
Rys. 3 Model obliczeniowy obudowy ŁP dla p
v
> p
k1
Reasumując –
model obliczeniowy
obudowy łukowej jest zależny od postaci
funkcji upodatnienia złącza.
Opisują go odpowiednio zależności (4) lub (6) i
(13), a maksymalna nośność obudowy, w obu
przypadkach, określona jest równaniem (5).
Należy zauważyć, że przyjęcie funkcji
upodatnienia w postaci (3) znacznie komplikuje
model obliczeniowy obudowy w porównaniu z
modelem wykorzystującym funkcję (2). Należy
zatem sprawdzić jakie różnice w nośności
obudowy ŁP daje stosowanie obu modeli
obliczeniowych. Jeśli wyniki obliczeń różnią się
niewiele można zastosować związek (4),
ponieważ jest prostszy i łatwiejszy w
obliczeniach.
W przeciwnym przypadku koniecznym staje się
stosowanie modelu drugiego i związków (6) i
(13).
Obudowa ŁP 8 – V 25 ze stali
30Gy
a)
dla funkcji upodatnienia (3), otrzymano:
2S
o
= 0,059276 MN,
2
/s = 3,222 1/m
Funkcja upodatnienia złącza dla tej obudowy ma postać (3):
b)
dla prostszej funkcji upodatnienia opisanej zależnością (2),
otrzymano następujące wielkości:
, a funkcja upodatnienia ma postać:
MNm
0184
,
0
dla
0
222
,
3
059276
,
0
MNm
0184
,
0
dla
0
118552
,
0
,
,
2
z
z
z
z
z
M
N
M
M
N
M
N
F
MN
1345
,
0
4
o
S
0
1345
,
0
)
,
(
1
z
N
N
F
Obudowa ŁP 8 – V 29 ze stali St5
a)
dla funkcji upodatnienia (3), otrzymano:
2S
o
= 0,042015 MN,
2
/s = 3,857 1/m
Funkcja upodatnienia złącza dla tej obudowy ma postać (3):
dla prostszej funkcji upodatnienia opisanej
zależnością (2), otrzymano następujące wielkości:
a funkcja upodatnienia ma postać:
MNm
0109
,
0
dla
0
857
,
3
042015
,
0
MNm
0109
,
0
dla
0
08403
,
0
,
,
2
z
z
z
z
z
M
N
M
M
N
M
N
F
MN
1256
,
0
4
o
S
0
1256
,
0
)
,
(
1
z
N
N
F
PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
OBUDOWA ŁP 8 – V 25
W obliczeniach przyjęto, że na obudowę działa obciążenie
symetryczne pionowe
p
v
oraz poziome
p
b
=
Kp
v
,
założono
wartość
K = 0,5
Charakterystyka pracy obudowy łukowej ŁP 8 – V 25 przy
uproszczonej funkcji upodatnienia określonej zależnością (2).
W wyniku obliczeń numerycznych otrzymano następujące wyniki:
upodatnienie złącza następuje przy obciążeniu
p
v
=0,067419
MN/m, zatem zgodnie z oznaczeniami na rys.
p
k
= 0,067419 MN/m
. Obciążeniu temu towarzyszy przemieszczenie pionowe klucza
obudowy równe:
v
k
= 0,021097
m.
Wykresy momentów zginających, sił osiowych, przemieszczeń oraz wytężenia
przekrojów obudowy przedstawiono na rys. 4, 5, 6 i 7.
Maksymalne obciążenie jakie obudowa jest w stanie
przenieść wynosi:
p = 0,0707842
MN/m. Obciążeniu temu towarzyszy
przemieszczenie klucza obudowy równe
v
k
= 0,297954
m.
Wykresy odpowiednich sił wewnętrznych oraz przemieszczeń
poszczególnych przekrojów obudowy przedstawiono na rys. 8, 9, 10 i
11
.
Charakterystykę pracy obudowy, czyli zależność przemieszczenia
klucza obudowy od wartości przyłożonego obciążenia zilustrowano
na rys. 12.
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,14 0,18 0,22 0,026 0,030
v
k
[m]
0
,0
1
0
,0
2
0
,0
3
0
,0
4
0
,0
5
0
,0
6
0
,0
7
0
,0
8
p [MN/m]
0,067419
0,021097
0,0707842
0,297954
rys.12 Wykres nośności obudowy ŁP w zależności od
przemieszczenia klucza obudowy – funkcja upodatnienia złącza
wg (2)
Charakterystyka pracy obudowy łukowej ŁP 8 – V
25 przy funkcji upodatnienia określonej zależnością
(3).
W wyniku obliczeń numerycznych otrzymano następujące wyniki:
wartość obciążenia
p
k
= 0,05925 MN/m
klucz obudowy przemieści się w stronę wyrobiska:
v
k
= 0,01854m
wykresy sił wewnętrznych oraz przemieszczeń mają podobny przebieg
jak poprzednio,
wartość obciążenia
p
k1
= 0,0621067 MN/m
również tu wykresy sił wewnętrznych oraz przemieszczeń mają
podobny przebieg jak poprzednio,
maksymalne obciążenie jakie jest w stanie przenieść obudowa jest
równe
p
v
= 0,0690472 MN/m
Obciążeniu temu towarzyszy maksymalne przemieszczenie
klucza obudowy równe
v
k
= 0,299584 m
Wykresy odpowiednich sił wewnętrznych oraz przemieszczeń
poszczególnych przekrojów obudowy przedstawiono na rys 13, 14, 15, i 16.
Charakterystykę pracy obudowy
, czyli zależność przemieszczenia
klucza obudowy od wartości przyłożonego obciążenia zilustrowano na rys.
17
Charakterystykę pracy obudowy
, czyli zależność przemieszczenia klucza
obudowy od wartości przyłożonego obciążenia zilustrowano na rys. 17
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,14 0,18 0,22 0,026 0,030
v
k
[m]
0
,0
1
0
,0
2
0
,0
3
0
,0
4
0
,0
5
0
,0
6
0
,0
7
0
,0
8
p [MN/m]
0,05925
0,01854
0,0690472
0,299584
0,253565
0,0621067
rys.12 Wykres nośności obudowy ŁP w zależności od przemieszczenia klucza
obudowy –
funkcja upodatnienia złącza wg (3)
Jak wynika z przedstawionych wyników obliczeń numerycznych
praca statyczna obudowy łukowej ŁP, przy różnych funkcjach
upodatnienia, jest jakościowo różna.
Przy
funkcji
upodatnienia
opisanej
zależnością (2)
charakterystyka
„obciążenie-
przemieszczenie klucza”
składa się z dwóch
odcinków prostych (rys. 12), natomiast przy funkcji
upodatnienia według zależności (3) charakterystykę tę
tworzą
trzy odcinki proste.
Ponadto całkowicie odmienne są wartości sił
wewnętrznych
w
złączu
obudowy
wraz
ze
wzrastającym obciążeniem
(rys. 18).
?
którą z funkcji upodatnienia przyjąć do
schematu obliczeniowego obudów ŁP
.
Za przyjęciem funkcji (3) przemawia fakt, że taki
model pracy złącza dopuszcza zaklinowanie się dwóch
części łuku, co nie jest możliwe przy przyjęciu funkcji
(2).
Schematy obliczeniowe obudowy ŁP
Przed określeniem schematów obliczeniowych obudowy ŁP
należy przedstawić jej schemat statyczny. W pierwszym rzędzie
zostanie przedstawiony schemat statyczny obudowy ŁP przy braku
jej współpracy z górotworem (nie uwzględnia się odporu).
W tym przypadku schemat statyczny takiej obudowy
jest zdeterminowany sposobem zamocowania końców
łuku. Jeśli założymy podparcie przegubowe to schemat
statyczny tej konstrukcji jest ciągłym łukiem
przegubowym (rys. 19).
Jest to ustrój jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny
.
Obliczanie
takiej
konstrukcji można przeprowadzić przy użyciu
metody sił
lub metody przemieszczeń.
Po upodatnieniu się złącza schemat statyczny takiej
obudowy zależy od postaci funkcji upodatnienia., a
schematy obliczeniowe przedstawiono na rys. 2 i 3.
Wynika z nich, że model obudowy upodatnionej jest
odcinkowo liniowy, wobec tego, w ogólności, nie zachodzi
tu zasada superpozycji, a zachowanie się konstrukcji jest
bezpośrednio związane ze sposobem jej obciążania.
Rys 19 – Model obliczeniowy obudowy ŁP bez
uwzględnienia odporu
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
Gdy obudowa współpracuje z otaczającym ją górotworem powyższy
schemat statyczny nie odpowiada tym warunkom
.
W tym przypadku
przy uwzględnieniu współpracy obudowy z
górotworem, schemat obliczeniowy jest uwarunkowany przyjętym
modelem matematycznym otoczenia obudowy (górotworu jako
podłoża).
Schematy obliczeniowe obudowy ŁP uwzględniające
współpracę z górotworem
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
Rys. 20 Model obliczeniowy obudowy ŁP przy uwzględnieniu
współpracy
z otaczającym górotworem
Modelem
matematycznym
otoczenia
obudowy (górotworu jako podłoża) jest
najczęściej przyjmowany model liniowo-
sprężysty
Winklera-Zimermana
.
W tym przypadku (rys. 20)
schemat
statyczny obudowy jest nieskończeniekrotnie
statycznie
niewyznaczalny
.
Dlatego
do
obliczeń statycznych przyjmuje się układ
dyskretny,
tzn.
po
dyskretyzacji
geometrycznej.
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
Współpracę
obudowy z
górotworem
modeluje się
„sprężynkami”
o
charakterystyce
otoczenia
(górotworu), np.
jak na rysunku.
Ustalenie modelu obliczeniowego obudowy
ŁP
przy
uwzględnieniu
współpracy
z
otaczającym górotworem
W przypadku obciążeń nie powodujących upodatnienia złącza
obliczenia prowadzone przy użyciu metody sił
lub
przemieszczeń, z wykorzystaniem programu numerycznego, nie
stanowią większego problemu.
Jeśli natomiast do obudowy przyłożone zostaną obciążenia
powodujące upodatnienie złącz to problem, niestety, dość
znacznie się komplikuje
.
Komplikacja ta jest wynikiem
przemieszczania się obudowy do wyrobiska
. Wynika to z tego,
że elementy sprężyste modelujące oddziaływanie górotworu na
obudowę mogą przenosić tylko siły ściskające, natomiast w
przypadku przemieszczania się obudowy do wnętrza wyrobiska
elementy te zostają poddane siłom rozciągającym.
Wobec tego po upodatnieniu się złącza należy te elementy odrzucić
z rozważań. Bliższa analiza wskazuje, że po upodatnieniu się złącza
charakterystyka pracy obudowy jest silnie nieliniowa (rys. 21)
Ponieważ przemieszczenia się obudowy do wnętrza wyrobiska po
upodatnieniu są bardzo gwałtowne, charakterystykę pracy
obudowy można uprościć do odcinkowo liniowej. W takim
przypadku uproszczony model obliczeniowy obudowy łukowej
przedstawia rys. 22.
Rys.21 Charakterystyka pracy obudowy : 1 –
rzeczywista
, 2 -
uproszczona
v
k
[m]
p [MN/m]
1
2
p
v
> p
k1
p
b
=
K
p
v
2b
=
p
k1
p
b
=
K
p
k1
2b
F
1
F
2
F
3
F
4
p-p
k1
p
b
=
K
(p
- p
k1
)
2b
F
1
F
2
F
3
F
4
+
0
4
)
,
(
1
N
S
N
F
o
Rys. 22 Model obliczeniowy obudowy ŁP
współpracującej z górotworem dla
p
v
> p
k
–
funkcja upodatnienia złącza wg
Zachowanie się konstrukcji z uwzględnieniem współpracy z górotworem w schemacie obliczeniowym
(rys. 22) jest odmienne niż w schemacie nie uwzględniającym odpór górotworu jak na rys 2.
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
p
k
p
b
=
K
p
k
2b
1a
=
p
v
- p
k
p
b
=
K
(p
v
–
p
k
)
2b
1b
+
Rys. 2 Model obliczeniowy obudowy ŁP dla p
v
> p
k
– funkcja upodatnienia złącza wg
0
4
)
,
(
1
N
S
N
F
o
Różnice przedstawiono na rys. 24 na przykładzie przemieszczenia
klucza obudowy
1
2
p
v
v
k
Rys. 24 Przemieszczenie klucza obudowy w zależności od przyłożonego
obciążenia:
1
- wg schematu 22 (uwzględniającego współpracę obudowy z górotworem),
2 - wg schematu
2
(nie uwzględniającego współpracę obudowy z
górotworem)
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
p
k
p
b
=
K
p
k
2b
1a
p
v
- p
k
p
b
=
K
(
p
v
–
p
k
)
2b
1b
Rys. 2 Model obliczeniowy obudowy ŁP dla p
v
> p
k
– funkcja upodatnienia złącza
wg (2)
p
v
p
b
=
K
p
v
2b
p
k
p
b
=
K
p
k
2b
p
k1
- p
k
p
b
=
K
(p
k1
–
p
k
)
2b
p-p
k1
-p
p
b
=
K
(p
-p
k
-
p)
2b
p
p
b
=
K
p
2b
Rys. 3 Model obliczeniowy obudowy ŁP dla p
v
> p
k1
– funkcja upodatnienia złącza wg (3)