Potencjał elektryczny
Ile pracy trzeba wykonać aby przenieść ładunek q w
polu elektrostatycznym pomiędzy punktami a i b?
a
b
q
F
r
d
r
d
F
b
a
W
b
a
)
(
praca jest wykonywana
przeciw
siłom elektrycznym
r
d
E
r
d
q
F
q
b
a
W
b
a
b
a
)
(
Praca wykonana przy przeniesieniu jednostkowego ładunku
r
d
E
r
r
)
(
Potencjał pola w punkcie określonym wektorem
względem punktu znajdującego się w nieskończoności
r
Funkcję nazywamy potencjałem związanym z polem
wektorowym . Jest to funkcja skalarna zależna od położenia
punktu – pole skalarne. Zadając pole wektorowe możemy
wyznaczyć potencjał z dokładnością do stałej.
E
E
b
a
b
r
r
b
a
b
a
b
a
b
r
q
r
r
q
r
q
r
d
r
q
r
d
r
r
r
q
r
d
r
r
r
q
b
a
0
0
0
2
0
2
0
2
0
4
1
1
4
1
4
4
0
cos
4
4
W przypadku pola wytworzonego przez ładunek punktowy
W przypadku pola wytworzonego przez układ ładunków punktowych
i
bi
i
b
r
q
0
4
Powierzchnia ekwipotencjalna powierzchnia jednakowego
potencjału
zbiór wszystkich punktów, w których potencjał pola
elektrostatycznego ma taką samą wartość.
Powierzchnie ekwipotencjalne są powierzchniami prostopadłymi w
każdym punkcie do linii sił pola. Powierzchnie ekwipotencjalne są
sferami o środkach znajdujących się w punkcie, w którym znajduje
się ładunek.
+q
-Q
dla ładunków punktowych
Własności elektryczne ciał zależne są od ruchliwości nośników
ładunku – elektronów, jonów.
Jak wygląda pole wewnątrz przewodnika po ustaleniu się
stacjonarnego rozkładu ładunków?
Rozkład stacjonarny wszystkie siły się równoważą
jeśli na nośniki ładunku działają siły niekulombowskie, to
oznacza, że w przewodniku istnieje pewne skończone pole
elektryczne znoszące działanie innych sił.
Jednorodny izotropowy przewodnik - pole
musi znikać
wewnątrz takiego przewodnika.
Przewodniki prądu w polu
elektrostatycznym
Ładunki zostały uwolnione i zaczynają się poruszać. Ruch
ładunków będzie trwał do osiągnięcia stanu równowagi –
nie przesuwają się poza powierzchnię przewodnika.
Wewnątrz wytwarza się pole kompensujące pole
początkowe
Elektrycznie obojętne, nieprzewodzące ciało zawiera
unieruchomione ładunki dodatnie i ujemne.
Pole elektryczne jest jednakowe wewnątrz ciała i poza nim.
Stan równowagi – pole
wewnątrz przewodnika musi
znikać – gdyby tak nie było
ładunki poruszałyby się nadal (F
= qE).
Potencjał może zmienić się
gwałtownie na powierzchni
przewodnika – skok potencjału –
na zewnątrz E 0.
const
E
0
Powierzchnia przewodnika powierzchnia ekwipotencjalna
Funkcja potencjału wewnątrz pudła musi spełniać równanie
Laplace’a. Powierzchnia pudła jest ekwipotencjalna,
p
= const.
Funkcja =
b
w całym rozpatrywanym obszarze spełnia warunek
brzegowy i równanie Laplace’a. Ze względu na twierdzenie o
jednoznaczności nie może być innych rozwiązań
0
E
grad
E
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
Wewnątrz puszki wykonanej z
przewodnika brak jest pola
elektrycznego – ekranowanie
elektryczne.
Dielektryki
Dielektryk (izolator) – materiał nie przewodzący prądu elektrycznego
dokładniej – przewodzi prąd o 10
15
– 10
20
razy słabiej od przewodników.
+
-
dielektryk
1
0
C
C
stała dielektryczna
Pojemność kondensatora
Jeśli okładki kondensatora są odłączone od źródła napięcia Q =
const
U
Q
C
U
C
U
C
CU
U
C
CU
Q
0
0
0
0
0
0
U
U
napięcie na
kondensatorze zmaleje ε
razy
Dla kondensatora płaskiego
0
E
E
d
U
E
natężenie pola
elektrycznego maleje ε
razy
Dlaczego?
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
Na powierzchni dielektryka muszą wystąpić ładunki wytwarzające
pole elektryczne w przeciwnym kierunku –
ładunki polaryzacyjne
(związane)
przewodnik
(ładunki swobodne)
-
-
-
+
+
+
E
0
E
natężenie pola w pustym kondensatorze
0
0
E
gęstość
powierzchniowa
ładunków swobodnych
0
p
E
gęstość
powierzchniowa
ładunków
polaryzacyjnych
0
0
0
p
p
E
E
E
E
e
p
0
1
podatność
elektryczna
dielektryka
E
e
p
0
Przyczyną pojawienia się ładunku polaryzacyjnego na
powierzchni dielektryka jest zjawisko
polaryzacji dielektryka.
Wektor polaryzacji
i
ei
p
V
P
1
elektryczny
moment dipolowy
Dipol elektryczny – układ dwóch ładunków
punktowych różnoimiennych, q
1
= q
2
=q
Wartość momentu dipolowego takiego
układu
Moment dipolowy rozkładu ładunków
ql
p
p
i
i
i
r
q
p
Jeżeli wektory momentów dipolowych wszystkich atomów
(cząsteczek) są jednakowe, to wektor polaryzacji
e
e
p
n
p
n
V
P
0
1
liczba atomów (cząsteczek) w
jednostce objętości - koncentracja
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
Wewnątrz dielektryka sumaryczny ładunek Q =
0. W każdej warstwie przypowierzchniowej
wartość ładunku
l
l
qn
S
Q
Sl
qn
Q
p
p
p
0
0
e
p
p
n
0
p
e
p
n
P
0
Bezwzględna wartość gęstości ładunku polaryzacji = polaryzacji
E
P
e
0
gdy wektory są zgodne
P
E
,
E
D
0
wektor indukcji elektrycznej
Trzy wektory pola elektrycznego
E
E
P
E
P
0
0
0
1
E
E
P
0
0
Wektor indukcji elektrycznej wiąże się z ładunkiem swobodnym –
linie wektora zaczynają się i kończą na ładunkach swobodnych
Wektor polaryzacji wiąże się wyłącznie z ładunkiem
polaryzacyjnym. Linie wektora zaczynają się i kończą na
ładunkach polaryzacyjnych. Zwrot wektora - od ładunku
ujemnego do dodatniego (jak w każdym dipolu)
Wektor związany jest z całkowitym ładunkiem – swobodnym i
polaryzacyjnym.
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + +
D
E
0
P
D
P
P
E
Dielektryki niepolarne w jednorodnym
polu elektrycznym – polaryzacja
elektronowa
Rozważmy symetryczną cząsteczkę wodoru H
2
.
H
H
r
E
r
eE
F
r
e
F
e
,
4
2
0
2
oddziaływanie
między protonem i
elektronem
działanie pola
zewnętrznego na
elektron
e
F
F
r
l
2
2
0
4
e
r
eE
r
l
3
0
4
Er
p
el
e
indukowany moment dipolowy
l
r
l
Dielektryki polarne w jednorodnym polu
elektrycznym – polaryzacja orientacyjna
Zewnętrzne pole elektryczne
powoduje takie ustawienie
cząsteczek dielektryka, aby ich
moment dipolowy był zgodny z
kierunkiem pola elektrycznego.
Ruch cieplny cząsteczek
przeciwdziała takiemu ustawieniu.
Można wykazać, że wektor polaryzacji dielektryka polarnego
T
k
E
p
n
P
B
e
3
2
0
k
B
= stała Boltzmanna
Ferroelektryki
Charakteryzują się:
• dużą przenikalnością dielektryczną, np. tytanian baru (BaTiO
3
) –
ε = 5900
• nieliniową zależnością polaryzacji od przyłożonego pola
elektrycznego
• wartości polaryzacji (a więc i D) zależą od historii dielektryka,
przy cyklicznych zmianach pola P(E) ma kształt pętli
histerezy
pole E < 0 P = 0 dla E = E
c
pole
koercji
wzrasta pole E - polaryzacja rośnie
1
1
maleje pole E – polaryzacja
maleje
2
2
pole E = 0 –
P = Ps
polaryzacja spontaniczna
dalsza zmiana pola E - P zmienia się tak jak na krzywej
3
3
Polaryzacja początkowa = 0.
Własności ferroelektryczne kryształów obserwuje się w pewnych
temperaturach – zanikają powyżej tzw.
temperatury Curie
W ferroelektrykach istnieją spontanicznie spolaryzowane
obszary – domeny. Po wprowadzeniu ferroelektryka w pole
elektryczne następuje zmiana orientacji momentów
dipolowych domen i kryształ uzyskuje trwałą polaryzację.
Elektrety
Dielektryki wykazujące trwałą polaryzację elektryczną –
odpowiednik trwałych magnesów.
Wewnętrzna
struktura
elektretu
P
Można je wytworzyć z dielektryków
polarnych, których cząsteczki mają duży
moment dipolowy.
Dielektryk ogrzany do wysokiej
temperatury, nawet powyżej topnienia,
umieszcza się w silnym polu elektrycznym
i ochładza.
Polaryzacja istniejąca w wysokiej
temperaturze zostaje w dielektryku
utrwalona, nawet po wyłączeniu pola.
Elektrety wykorzystuje się np. w
mikrofonach elektretowych.
Piezoelektryki
Zjawisko piezoelektryczne – powstawanie polaryzacji pod
wpływem odkształceń mechanicznych.
Odwrotne zjawisko piezoelektryczne – kryształy zmieniają swoje
rozmiary pod wpływem pola elektrycznego.
+
+
+
-
-
-
Całkowity moment
dipolowy = 0
+
+
+
-
-
-
Odkształcenie mechaniczne,
całkowity moment dipolowy
0
+
+
+
-
-
-
Przyłożenie zewnętrznego pola powoduje odkształcenie
cząsteczek – wydłużenie lub skrócenie kryształu w kierunku
pola.
Przyłożenie
zmiennego napięcia
powoduje pobudzenie
piezoelektryka do
drgań mechanicznych
.
Amplituda tych drgań jest maksymalna (rezonans) gdy
częstość zmian napięcia = częstości drgań własnych kryształu.
Zastosowania:
• wytwarzanie ultradźwięków,
• stabilizacja częstości drgań w układach elektronicznych
Piroelektryki