ANALIZA SYSTEMOWA
PODEJMOWANIE DECYZJI
Paweł Akielaszek 139987
Konrad Zaleski 140167
ANALIZA SYSTEMOWA
PODEJMOWANIE DECYZJI
Paweł Akielaszek 139987
Konrad Zaleski 140167
Plan prezentacji
• Analiza systemowa Vs. podejmowanie decyzji
• Rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów
– Przypadek ciągły
– Przypadek dyskretny
• Przykład rozdział zadań w układzie równoległych realizatorów
+ wykresy Gantt’a
• Podsumowanie
• Literatura
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
obiekt /
system
WE
WY
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Dane:
• model systemu
• wartość WE Є U
(zbiór
możliwych decyzji)
Dane:
• model systemu
• pożądana wartość WY
• U
(zbiór możliwych decyzji)
Szukane:
• wartość WY
Szukane:
• wartość WE
(taka, że na
WY uzyskamy pożądaną wartość)
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
modele Φ(u)
Dane
S
zu
k
a
n
e
u
y
zawsze mamy rozwiązanie
Szukane
D
a
n
e
u
y
może nie mieć rozwiązania
modele Φ(u)
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Trzy typowe zadania podejmowania decyzji
- w odniesieniu do celu (efektu), pożądanych własności -
1
o
y* (y = y
R
)
rozwiąż równanie
(układ równań)
2
o
y* (y
Rmin
≤ y ≤
y
Rmax
)
rozwiązanie nierówności
(układ nierówności)
3
o
y* (
ekstremum
y)
MAX lub MIN
rozwiąż zadanie
optymalizacyjne
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
1
o
y* (y = y
R
)
rozwiąż równanie (układ
równań)
u*
y*
y* pożądana wartość
u* decyzja zapewniająca uzyskanie y*
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
2
o
y* (y
Rmin
≤ y ≤ y
Rmax
)
rozwiązanie
nierówności
(układ nierówności)
u*
y
Rmin
y
Rmax
u*
I
y
Rmin
y
Rmax
u*
Il
nie ma
rozwiązania
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
3
o
y* (
ekstremum
y)
rozwiąż
zadanie
optymalizacyjne
u*
max
y
max
u
y
max
u*
max
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Przykłady
Dane:
• model systemu y = 2u
2
+ 3
• zbiór możliwych decyzji U = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5}
1
o
y* (y = 4)
2
o
y* (2 ≤ y ≤ 4)
3
o
y* (max y)
Szukane:
• decyzja (u* Є U) (y Є y*)
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Przykład nr 1 – pożądane wyjście to KONKRETNA WARTOŚĆ
Ad. 1
o
y* (y = 4):
y = 2u
2
+ 3
y = y* = 4
2u
2
+ 3 = 4
2u
2
= 1
u
2
= ½
Rozwiązanie:
u* =
kandydaci: u* = { , }
2
1
2
1
2
1
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Przykład nr 2 - posiadane wyjście to WARTOŚĆ Z ZAKRESU
Ad. 2
o
y* (2 ≤ y ≤ 4):
y = 2u
2
+ 3
y ≤ 4
y ≥ 2
u ≤ 2,5
u ≥ 0,5
po analizie: u* = { 0,5 ≤ u ≤ }
2
1
u*
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA
Ad. 3
o
y* ( min y ):
y = 2u
2
+ 3
U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }
-3
3
0
-1
-2
2
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA
Ad. 3
o
y* ( min y ):
y = 2u
2
+ 3
U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }
y’(u) = 4·u
4·u = 0 u
min
= 0
u
min
Є { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }
-3
3
0
-1
-2
2
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
u*
0,5
2,5
Analiza systemowa
Vs.
Podejmowanie
decyzji
Przykład nr 3 - pożądane wyjście to WARTOŚĆ MINIMALNA
Ad. 3
o
y* ( min y ):
y = 2u
2
+ 3
U* = { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }
y’(u) = 4·u
4·u = 0 u
min
= 0
u
min
Є { 0,5 ≤ u ≤ 2,5 }
u* = u
min
= 0,5
-3
3
0
-1
-2
2
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
u*
0,5
2,5
Rozważmy PRZYPADEK CIĄGŁY:
– cel - minimalizacja t
F
– założenia:
Z - zbiór zadań
R - liczba realizatorów
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
R
i
i
Z
u
1
0
i
u
R
u
u
u
u
....
2
1
decyzje:
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
efekt: t
F
= max {T
1
,T
2
,..T
R
}
ψ
Algorytm
decyzyjny
y* = min y
U
u
Φ
1
Φ
2
Φ
R
m
a
x
t
F
=y
…
T
1
T
2
T
3
modele czasowe Φ
okoliczności
(zakłócenia)
(zbiór możliwych
decyzji)
T
i
= α
i
· u
i
γ
i
α, γ – parametry modelu
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
Przykład jak ustala się U
Z = 4 – ilość zadań
R = 3 – ilość realizatorów
N = 15 – ilość możliwych kombinacji
u
1
u
2
1 2 3 4
4
3
2
1
u
1
= 2
u
2
= 1
u
3
= Z – (u
1
+ u
2
) = 1
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
• Zagadnienie: wyznaczanie decyzji u, czyli przydział zadań między
realizatorów
• Dane:
(I) zbiór decyzji U zależny od R oraz Z
(Z – zbiór zadań, R – liczba realizatorów)
(II) czasowe charakterystyki realizatorów (modele wielomianowe)
T
i
= α
i
· u
iγ
i
(i=1, 2, …, R)
• Szukane: jak wyznaczyć
(u* Є U) y=y* czyli t
F
(u) t
F
(u*) min t
F
(u)
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
• Rozwiązanie:
(1) REALIZATORY RÓŻNORODNE (ogólny)
γ
i
– różne, α
i
– różne
* korzystamy z „idei”:
t
F
min jeśli T
1
=T
2
=…=T
R
** układ równań:
T
1
= T
2
α
1
· u
1γ
1
= α
2
· u
2γ
2
T
2
= T
3
α
2
· u
2γ
2
= α
3
· u
3γ
3
…
T
R-1
= T
R
α
R-1
·
u
R-1γ
R-1
=
α
R
·
u
Rγ
R
chcemy aby wszystkie
realizatory skończyły
pracę w tym samym
czasie
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
• Rozwiązanie:
(2) REALIZATORY JEDNORODNE
γ
1
= γ
2
= … = γ, α
i
– różne
ψ u
i
= ψ (Z, R, γ, {
α
1
, α
2
,…, α
R
})
Algorytm podejmowania decyzji:
Z
u
R
i
i
i
i
1
1
1
)
(
)
(
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
• Rozwiązanie:
(3) REALIZATORY LINIOWE
γ = 1, α
i
– różne
Algorytm podejmowania decyzji:
Z
u
R
i
i
i
i
1
1
1
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
Przykład zadania z realizatorami liniowymi:
Dane:
• Z=4, R=3
• oraz α
1
=10, α
2
=7.5, α
3
=10
Aby rozwiązać zadanie podstawiamy
odpowiednie wartości do wzoru:
Z
u
R
i
i
i
i
1
1
1
2
,
1
*
6
,
1
*
2
,
1
*
*
3
2
1
u
u
u
u
Po obliczeniu
otrzymujemy
rozwiązanie:
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
Rozważmy PRZYPADEK DYSKRETNY
(realizatory
liniowe)
:
Model czasowo - kosztowy
Algorytm
decyzyjny
cel:
min J(t
F
, K
F
)
U
(zbiór decyzji)
modele
{α
i
}, {β
i
}
α
1
β
1
max
α
2
β
2
α
R
β
R
+
+
+
T
1
T
2
T
R
K
1
K
2
K
R
y
1
=t
F
y
2
=K
F
…
Model czasowy (realizatora)
T
i
= α
i
· u
i
Model kosztowy (realizatora)
K
i
= β
i
· u
i
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
System ma dwa wyjścia:
y
1
= t
F
= max {T
i
}
R
oraz
y
2
= K
F
=
Problem:
jak wyznaczyć najlepszą decyzję?
wskaźniki jakości (J)
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
R
i
i
K
1
Wskaźniki jakości:
J (u) = J ( t
F
(u), K
F
(u) )
1
o
J (u) = t
F
(u) · K
F
(u)
2
o
J (u) = t
F
(u) + иK
F
(u)
и – współczynnik wagowy
(a) и 0 => J(u) ≈ t
F
(u)
(b) и ∞ => J(u) ≈ K
F
(u)
(c) и 1 => J(u) = t
F
(u) + K
F
(u)
3
o
(a) ( min t
F
(u) ) ^ ( K
F
(u) ≤ K
kryt
)
(b) ( min K
F
(u) ) ^ ( t
F
(u) ≤ t
kryt
)
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
• Przykład systemu z rozdziałem zadań w układzie
równoległych realizatorów, wyliczanie J
Czas
α
1
=10
α
2
=5
α
3
=10
Koszt = spalanie
β
1
=1
β
2
=2
β
3
=3
Zadanie: rozwieźć 4 pizze. Jak rozdzielić zadania na dostawców
aby wskaźnik jakości był jak najmniejszy?
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
40
0
0
40
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
40
0
0
40
4
0
0
4
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
40
0
0
40
4
0
0
4
160
44
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
40
0
0
40
4
0
0
4
160
44
2.
3
1
0
30
5
0
30
3
2
0
5
150
35
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
40
0
0
40
4
0
0
4
160
44
2.
3
1
0
30
5
0
30
3
2
0
5
150
35
3.
3
0
1
30
0
10
30
3
0
3
6
180
36
4.
2
2
0
20
10
0
20
2
4
0
6
120
26
5.
2
1
1
20
5
10
20
2
2
3
7
140
27
6.
2
0
2
20
0
20
20
2
0
6
8
160
28
7.
1
3
0
10
15
0
15
1
6
0
7
105
22
8.
1
2
1
10
10
10
10
1
4
3
8
80
18
9.
1
1
2
10
5
20
20
1
2
6
9
180
29
10.
2
1
2
20
5
20
20
2
2
6
10
200
30
11.
0
4
0
0
20
0
20
0
8
0
8
160
28
12.
0
3
1
0
15
10
15
0
6
3
9
135
24
13.
0
2
2
0
10
20
20
0
4
6
10
200
30
14.
0
1
3
0
5
30
30
0
2
9
11
330
41
15.
0
0
4
0
0
40
40
0
0
12
12
480
52
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
α
1
=10 α
2
=5 α
3
=10
β
1
=1 β
2
=2 β
3
=3
Lp
u
1
u
2
u
3
T
1
T
2
T
3
T
f
K
1
K
2
K
3
K
f
T
f
(u)*T
k
(
u)
T
f
(u)
+T
k
(u
)
1.
4
0
0
40
0
0
40
4
0
0
4
160
44
2.
3
1
0
30
5
0
30
3
2
0
5
150
35
3.
3
0
1
30
0
10
30
3
0
3
6
180
36
4.
2
2
0
20
10
0
20
2
4
0
6
120
26
5.
2
1
1
20
5
10
20
2
2
3
7
140
27
6.
2
0
2
20
0
20
20
2
0
6
8
160
28
7.
1
3
0
10
15
0
15
1
6
0
7
105
22
8.
1
2
1
10
10
10
10
1
4
3
8
80
18
9.
1
1
2
10
5
20
20
1
2
6
9
180
29
10.
2
1
2
20
5
20
20
2
2
6
10
200
30
11.
0
4
0
0
20
0
20
0
8
0
8
160
28
12.
0
3
1
0
15
10
15
0
6
3
9
135
24
13.
0
2
2
0
10
20
20
0
4
6
10
200
30
14.
0
1
3
0
5
30
30
0
2
9
11
330
41
15.
0
0
4
0
0
40
40
0
0
12
12
480
52
Rozdział zadań w układzie równoległych
realizatorów
• Wykresy Gantt’a –przykładowe ilustracje dla
wybranych decyzji:
(5)
(6)
(8)
(9)
R
1
R
2
R
3
R
1
R
2
R
3
R
1
R
2
R
3
t
F
= 20, t
N
=
15
t
F
= 20, t
N
=
20
t
F
= 20, t
N
=
15
R
1
R
2
R
3
t
F
= 10, t
N
=
0
Wykresy Gantt'a pokazują na osi czasu rozdział zadań na poszczególne realizatory.
Możemy odczytać czas pracy systemu (t
F
) oraz czas pusty (t
n
).
Podsumowanie
Omówione zagadnienia:
1.
Różnice między analizą systemowa a podejmowaniem
decyzji,
2.
3 typowe zadania podejmowania decyzji (rozwiązanie
równania, nierówności i zad. optymalizacyjnego)
3.
Problem rozkładu zadań w ukł. równoległych realizatorów
-
przypadek ciągły
-
przypadek dyskretny
4.
Czym jest wskaźnik jakości i kiedy jest nam potrzebny +
przykład zadania
5.
Wykresy Gantt’a – obrazowe przedstawienie czasu pracy
realizatorów i systemu
Literatura
[1] Notatki z wykładów dr inż. Leszek Koszałka
[2] Wikipedia www.wikipedia.org
[3] Wykresy Gantt’a www.ganttchart.com