Elżbieta Szwajczak 
WMiFS PRz

Mechanika

MECHANIKA KLASYCZNA

KINEMATYKA

Kinematyka nie uwzględnia materii zawartej 

w cząstce materialnej oraz przyczyn ruchu.

Do opisu zachowania się cząstki materialnej 

w mechanice klasycznej niezbędna jest 
znajomość:
położenia (zmiany położenia) – r(t),
prędkości –  υ(t),
przyspieszenia – a(t)

w zależności od czasu t.

POŁOŻENIE CZĄSTKI

 

można przedstawić w kartezjańskim układzie 

współrzędnych (x,y,z) za pomocą wektora r (tj. 

wektora wodzącego punktu materialnego):
         r  = x  +  y  +  z   

lub        r  =  i  x + j y + k z
lub       r  =  ρ |r|  = ρ  r
gdzie   i, j, k  są wersorami, 
            ρ służy do pokazania kierunku wektora r  w 

przestrzeni -  ρ = r  / |r| = r / r,
x,y,z  są długościami wektorów x,y,z, odpowiednio, 

lub współrzędnymi końca wektora wodzącego r. 

Przy czym wektor r jest funkcją czasu -  r(t). 

Zmiana położenia. Jeśli ciało fizyczne 
znajduje się w chwili t w punkcie A, to w 
punkcie B znajdzie się w chwili późniejszej 
(t + Δt).

Tor ruchu – krzywa geometryczna, którą 
zakreśla punkt materialny podczas swego 
ruchu.

Droga – długość łuku, który punkt 
materialny zakreśla podczas swego ruchu  
w przedziale czasowym 
 <t

A

, t

B

>.

 

PRĘDKOŚĆ

Prędkość średnia
 

Prędkość chwilowa

t

t

t

t

t

















r

r

r

υ

śr

)

(

)

(

dt

d

t

t

t

t

t

t

t

r

r

r

r

υ



























lim

lim

0

0

)

(

)

(

Prędkość (chwilowa) jest, z punktu 

widzenia fizyki, zmianą położenia ciała w 
czasie, zaś z punktu widzenia matematyki 
pierwszą pochodną „położenia po czasie”. 
Jest to wektor styczny do toru w każdym 
punkcie.

Jeśli r  =  ρ |r|  = ρ  r    to (zgodnie z 

definicją pochodnej iloczynu) prędkość 
jako wielkość wektorowa zależy zarówno 
od zmiany długości wektora wodzącego, 
jak również od zmiany jego kierunku

 

-

         

 

 

 

 -  pierwszy wyraz opisuje prędkość liniową ciała tak jak 
w ruchu po prostej (gdy zmianie w czasie ulega długość
wektora wodzącego r).

- drugi wyraz opisuje  prędkość liniową tak jak w ruchu
po okręgu (gdy zmianie w czasie ulega kierunek wektora 
wodzącego r).  

-

         

 

-

         

 

 

 

dt

d

r

dt

dr

dt

d

dt

d

ρ

ρ

r

ρ

r

υ











Prędkość

)

(

)

(

)

(

t

t

t

r

ω

ρ

υ

υ







Jeśli skorzystać z wzorów Freneta, to 
prędkość można przedstawić następująco

:

 

gdzie ω  jest wektorem prędkości kątowej

.

 

PRZYŚPIESZENIE

Przyśpieszenie średnie

t

t

t

t

t

a

















υ

υ

υ

śr

)

(

)

(

2

2

0

lim

dt

d

dt

d

t

t

a

r

υ

υ















Przyspieszenie chwilowe 

Przyspieszenie całkowite

Jeśli do definicji przyspieszenia podstawić
wyrażenie na prędkość, a następnie skorzystać z 
wyrażenia na wektor wodzący punktu 

materialnego, 

to okaże się, że:

przyspieszenie całkowite jest sumą 
przyspieszenia stycznego, 
przyspieszenia normalnego (w ruchu po okręgu 

zwanego dośrodkowym) 

oraz przyspieszenia Coriolisa, 

)

8

.

1

(

a

a

a

a

C

n

s







przyspieszenie styczne

 

związane jest ze zmianą wartości 

prędkości 

liniowe(czyli stycznej do toru) i jest 

wektorem 

stycznym do toru w każdym punkcie

: 

dt

d

a





s

r

n

2







a

przyspieszenie normalne 



       

występujące w ruchu krzywoliniowym, jest 
wektorem skierowanym radialnie (wzdłuż wektora 
wodzącego, lecz z przeciwnym zwrotem), czyli 
prostopadle do krzywizny toru w danym punkcie. W 
ruchu po okręgu jest skierowany wzdłuż promienia 
okręgu, do środka okręgu i nazywa się 
przyspieszeniem dośrodkowym

.

przyspieszenie Coriolisa

Przyspieszenie Coriolisa

υ'

ω

C



2

a

występuje wtedy, gdy cząstka 
poruszająca się z prędkością liniową υ’ 
znajduje się w wirującym układzie 
odniesienia (z prędkością kątową ω). 
Występuje zatem przy złożeniu równoczesnych 
ruchów: postępowego i obrotowego.

Przykład – podmywanie brzegów rzek płynących 
południkowo.

 

    

KLASYFIKACJA  RUCHÓW

Klasyfikacja ruchów ze względu na:
* tor ruchu
* przyspieszenie.

Klasyfikacja została dokonana ze względu 

na 

przyspieszenie w ruchu postępowym i 
obrotowym (bez zapisu wektorowego). 

TAB.

prostoliniowy        
krzywoliniowy/obrotowy

t

t

s

s

dt

d

dt

ds

const

const

a

y

jednostajn

o

o

t

t

s

s

o





















































0

0

0

.

.

0

0

2

2

)

(

)

(

)

0

,

0

(

)

0

,

0

(

2

2

0

0

0

0

0

t

t

at

t

s

s

dt

t

d

dt

at

ds

t

at

dt

d

dt

a

d

const

o

a

const

a

opózniony)

zony,

(przyspies

zmienny

ie

jednostajn

o

o

o

o

t

o

t

o

s

s

o

o

t

t

o

o

o

















































































































!!

!

cakowanie

dt

d

dt

ds

dt

d

dt

a

d

const

const

a

zmienny



























DYNAMIKA

  

Zasady dynamiki Newtona

W dynamice szukamy związków między 
oddziaływaniem ciał a ich ruchem. 

Podstawę dynamiki stanowią zasady 

dynamiki Newtona. 

  
Oddziaływanie ciał  może być bezpośrednie 

lub  na 

odległość (poprzez pole).

Zasady dynamiki obowiązują w inercjalnych 

układach 

odniesienia.

I zasada dynamiki

 

Ciało pozostaje w spoczynku (υ=0) lub 
porusza się ruchem jednostajnie 
prostoliniowym (υ=const)  jeżeli na ciało 
nie działają żadne siły (F=0) lub działające 
siły równoważą się (∑F

i

=0). 

Jest to tzw.  zasada bezwładności.

0

lub

0

1











υ

υ

F

i

const

to

Jesli

i

II zasada dynamiki 

dt

d

to

Jesli

n

i

p

F

F

F

i







1

gdzie p = m υ, jest to pęd równy iloczynowi 
masy  m i prędkości υ punktu materialnego. 

Jeżeli na ciało działają siły niezrównoważone 
 to zmienia się w czasie pęd ciała; czyli 
zmianie może ulegać prędkość ciała, jak 
również jego masa.

a

υ

υ

υ

υ

F

m

dt

dm

dt

d

m

dt

dm

dt

m

d











)

(

To prawo można przedstawić inaczej:

t

dt

d









F

p

F

p

lub

 

przyrost pędu ciała równy jest popędowi 

siły wywartemu na to ciało. 

Jeżeli masa poruszającego się ciała nie 
zmienia się w 
czasie (m=const), to druga zasada dynamiki 
Newtona   
przyjmuje postać:

a

F m



Siła zatem jest wielkością proporcjonalną do 
przyspieszenia, które nadaje ciału, przy czym 
współczynnikiem proporcjonalności jest masa 
ciała.

III zasada dynamiki 

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F, to ciało B 
działa na ciało A siła  -F, równa co do wartości 
bezwzględnej lecz z przeciwnym zwrotem. 
 

BA

AB

F

F





Prawo to uwzględnia rodzaj czy sposób 
oddziaływań ciał. Znane jest jako prawo akcji i 
reakcji.

Równanie ruchu cząstki 

materialnej (

gdy m=const

) 

       

 

w inercjalnym układzie 

odniesienia









n

i

gdzie

m

1

i

F

F

F

a



        

 

w nieinercjalnym układzie odniesienia

















3

1

j

gdzie

m

bj

b

n

1

i

i

b

F

F

F

F

F

F

a

Jeśli ruch punktu materialnego rozpatrujemy 
w nieinercjalnym układzie odniesienia, to 
oprócz sił które występują w układach 
inercjalnych (będących wynikiem 
wzajemnego oddziaływania ciał), należy 
dodatkowo uwzględnić siły bezwładności. 
Przy czym siły bezwładności (pozorne, 
rzekome) to siły „przekory”, tzn. zwrot siły 
bezwładności F

b    

jest przeciwny do zwrotu 

przyspieszenia układu a

u.

u

b

a

F

m





II zasada dynamiki Newtona 

w ruchu obrotowym 

(krzywoliniowym)

 

dt

d

to

Gdy

n

i

K

M

M

M

i







1

gdzie M jest momentem siły, K momentem 
pędu:

 

p

r

K

F

r

M









Jeśli w czasie ruchu nie zmienia się masa 
ciała 
(bryły sztywnej) ani też rozkład masy  czyli 
moment bezwładności jest stały (I=const), 
to druga 
zasada dynamiki przyjmuje postać:

const

I

dla

I



 ε

M

Gdzie moment bezwładności definiuje się 
następująco

:

ego

materia

punktu

dla

m

I

ych

materia

punktów

n

ukladu

dla

m

I

sztywnej

bryly

dla

dm

I

n

i

ln

ln

2

1

2

2

r

r

r













Zasady zachowania 
Praca – moc, energia 
Zasady zachowania
Związki  pomiędzy wielkościami charakterystycznymi 
w ruchu prostoliniowym i obrotowym bryły sztywnej 
dookoła nieruchomej osi