Układy ze sprzężeniem

zwrotnym

Koncepcję sprzężenia zwrotnego, w latach trzydziestych dwudziestego wieku,

opublikował H. S. Black i obecnie jest ono (sprzężenie zwrotne) powszechnie

stosowne w analogowych układach elektronicznych.

Wspólną a zarazem istotną cechą działania układów regulacji automatycznej

jest zastosowanie w nich specjalnego połączenia, zwanego sprzężeniem

zwrotnym.

Najprostszy typ układu ze sprzężeniem zwrotnym

Istotą zastosowanego połączenia jest sygnał y, który występuje na wyjściu

układu i jest wprowadzany z powrotem poprzez element B(p) na jego wejście.

Takie rozwiązanie nazywa się sprzężeniem zwrotnym, a układ, w którym go

zastosowano układem ze sprzężeniem zwrotnym.

Sygnał v wprowadzić z powrotem do układu w taki sposób, aby się dodawał lub

odejmował od sygnału x. W przypadku dodawania mamy mówimy o sprzężeniu

zwrotnym dodatnim, a w przypadku odejmowania o sprzężeniu zwrotnym

ujemnym.

Termin sprzężenie zwrotne jest związany z teorią transmisji sygnałów i oznacza,

że napięcie wyjściowe dowolnego liniowego układu analogowego, np. wzmacniacza

akustycznego, w odpowiedniej proporcji oraz w miarę potrzeby odpowiednio

odfiltrowane ponownie jest kierowane do wejścia wzmacniacza i dodaje się lub

odejmuje się od sygnału sterującego

Możemy obliczyć jaka jest zależność pomiędzy sygnałami x, e, y w tych układach.
 
= K(p), = B(p),
 
a dodatkowe równanie dla węzła sumującego ma postać
 
E(p) = X(p) ± V(p);
stąd

=

)

(

)

(

p

E

p

Y

)

(

)

(

p

Y

p

V

)

(

)

(

p

X

p

Y

)

(

)

(

1

)

(

p

B

p

K

p

K



Stosunek Y(p)/X(p) określa funkcję przejścia elementu ze sprzężeniem

zwrotnym. Jeśli oznaczymy ją jako K

z

(p) to otrzymamy równanie:

K

z

(p) = ,

W przypadku sprzężenia zwrotnego ujemnego we wzorze obowiązuje znak + ;

mamy wówczas:

K

z

(p) = ,

Można więc powiedzieć, że element o funkcji przejścia K w którym

zastosowano sprzężenie zwrotne ujemne jest równoważny elementowi o

funkcji przejścia K

z

= K/(1+KB) 

)

(

)

(

1

)

(

p

B

p

K

p

K



)

(

)

(

1

)

(

p

B

p

K

p

K



W przypadkach sprzężenia zwrotnego dodatniego we wzorze
obowiązuje znak - .

K

z

(p) = ,

 

Element o funkcji przejścia K, w którym zastosowano sprzężenie

zwrotne dodatnie równoważy element o funkcji przejścia

K

z

= K/(1-KB)

)

(

)

(

1

)

(

p

B

p

K

p

K



Przykład

 
Niech dany będzie wzmacniacz o funkcji przejścia

K(p) = k

Jeżeli zastosujemy w nim sprzężenie zwrotne ujemne zgodnie ze wzorem

K

z

(p) =

oraz uwzględniając to, że B(p) = 1, otrzymamy (rysunek)

K

z1

= = ,

pT

k



1

)

(

)

(

1

)

(

p

B

p

K

p

K



pT

k

pT

k







1

1

1

1

1

pT

k

k



 )

1

(

1



k

k

1



k

T

k

T

Wzmacniacz inercyjny z ujemnym sprzężeniem zwrotnym

k

z1

(t) =

(

1-e

-

t/

),

Jeżeli k  l, to wzór k

z1

można uprościć przyjmując k+1

 k. otrzymamy

wówczas

k

z1

(t) = (1-e

-t/



),

 =

 =

Jeżeli w rozpatrywanym wzmacniaczu zastosujemy dodatnie sprzężenie zwrotne
według schematu z rysunku

Wzmacniacz inercyjny z dodatnim sprzężeniem
zwrotnym

to na podstawie wzoru

K

z

(p) = ,

otrzymamy

K

z2

(p)

= =

k

z2

(t) = (1-e

-t/

),

 =

Jeżeli k  l, to wzór k

z2

k

z2

(t) = -(1-e

-t/

),

 = -

Znalezione funkcje przejścia pozwalają nam obliczyć przebiegi sygnałów wyjściowych

wywołanych załączeniem dowolnych sygnałów wejściowych x(t).

Szczegółowe obliczenia przeprowadzimy dla przypadku x(t)=x

o

1(t), x

o

= const.

)

(

)

(

1

)

(

p

B

p

K

p

K



pT

k

pT

k







1

1

1

1

1

pT

k

k







)

1

(

1



 k

k

k

T

1



 k

T

I tak, jeżeli sprzężenie zwrotne jest ujemne, to przy założeniu k > l mamy
na podstawie wzoru

y(t) = x

o

(1-e

-t/

),

na podstawie wzoru e(t) = x(t) –
y(t) mamy

e(t) = x

o

e

-t/

Jeżeli sprzężenie zwrotne jest dodatnie, to przy analogicznym założeniu k > l

mamy na podstawie wzoru

y(t) = -x

o

(1-e

-t/

),

.

oraz, uwzględniając e(t) = x(t)
+ y(t),

e(t) = x

o

e

-t/

,

Przebiegi sygnałów x(t), e(t) i y(t) dla przypadków ujemnego i dodatniego

sprzężenia zwrotnego pokazane są odpowiednio na rys. A i B.

A. Przebiegi sygnałów x(t), e(t), y(t)w przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego

B. Przebiegi sygnałów x(t),e(t),y(t)w przypadku dodatniego sprzężenia zwrotnego

Jak widać, zastosowanie ujemnego sprzężenia zwrotnego

spowodowało to, że odpowiedź wzmacniacza y(t) na sygnał

jednostkowy x

o

dąży do tej samej wartości x

o

, niezależnie od zmian,

jakim może ulegać wartość wzmocnienia k na skutek wahań

zasilania, starzenia elementów itp., byle tylko zachowany był

warunek k

 1.

Tę własność stabilizacji można uważać za pewną cechę prostych

układów z ujemnym sprzężeniem zwrotnym.

Zastosowanie

natomiast

dodatniego

sprzężenia

zwrotnego

spowodowało to, że odpowiedź y(t) i sygnał e(t) rosną teoretycznie

nieograniczenie. W takim przypadku mówimy o wzbudzeniu się

układu.