Metody Numeryczne w Mechanice -

Ćwiczenia laboratoryjne (M.Pyrz)

Rozwiązywanie układu równań liniowych

1.

Programowanie

Napisać skrypt w Scilabie umożliwiający rozwiązanie układu równań liniowych

Ax = b

za pomocą

metody Gaussa-Jordana (A jest znaną macierzą regularną rzędu n, b jest znanym wektorem prawych
stron a x jest poszukiwanym wektorem). W procedurze rozwiązywania układu zastosujemy strategię
doboru linii z elementem podstawowym o największej wartości bezwzględnej w odpowiedniej
kolumnie macierzy A.
Program powinien czytelnie wyświetlić na ekranie dane wejściowe oraz uzyskane rozwiązanie.

2.

Test procedury

Przetestować procedurę na trzech następujących przykładach:

2

1

0

4

4

2

3

7

A

4

1

2

8

0

3

12

1









−

−

−





=





−





−

−

−





2

9

b

2

2









−





=













19

5

7

A

2

7

2

1

6 11









=













8

b

2

1

 

 

=

 

 

 

;

1

2

3

A

4

5

6

2

4

6

−









=









−

−





2

b

5

3









= −













;

Sprawdzić dokładność rozwiązania obliczając

−

Ax b

.

Porównać z wynikiem uzyskanym za pomocą polecenia

A\b

.

3.

Przyklad obliczeniowy: Aproksymacja wyników eksperymentalnych

a)

W wyniku testów laboratoryjnych uzyskano n=7 punktów doświadczalnych o następujących
współrzędnych (x

i

,y

i

) :

(-1.5, 0.9) (-1.0, 1.2) (-0.5, -0.8) (0.0, -2.0) (0.5, -1.3) (1.0, -0.5) (1.3, 0.5)

Wyznaczyć współczynniki a

k

paraboli y(x) = a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

najlepiej aproksymującej podane dane (w

sensie najmniejszych kwadratów). Wartości parametrów można obliczyć rozwiązując następujący
układ równań liniowych:

2

0

1

1

1

2

3

1

1

1

1

1

2

3

4

2

2

1

1

1

1

n

n

n

i

i

i

i

i

i

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

i

a

n

x

x

y

x

x

x

a

x y

x

x

x

x y

a

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=









 









 









 









 

=

  







  







  







  





  









∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

b) Wyznaczyć następnie współczynniki a

0

, a

1

prostej y = a

0

+ a

1

x , która najlepiej aproksymuje dane

punkty doświadczalne (jest to tzw. problem regresji liniowej). Rozwiązanie otrzymamy rozpatrując
analogiczny układ równań o dwóch niewiadomych a

0

, a

1

, powstały przez usunięcie trzeciej linii i

trzeciej kolumny z układu przedstawionego powyżej.

c) Przedstawić na rysunku punkty eksperymentalne oraz wynik aproksymacji parabolicznej i liniowej.

d) Powtórzyć aproksymacje parabolą i następnie linią prostą dla n=10 punktów eksperymentalnych, o

współrzędnych wygenerowanych losowo w przedziale

]

20

,

0

[

∈

i

x

,

]

10

,

0

[

∈

i

y

.

Zadania dodatkowe (nieobowiązkowe) :

Opracować wersję zapisującą wynik w pliku (i ewentualnie czytającą dane z pliku).