Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Procesy cieplne.

Przewodzenie ciepła, Wnikanie ciepła,

Promieniowanie ciał stałych, Przenikanie

ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Przewodzenie ciepła jest to wymiana ciepła pomiędzy bezpośrednio stykającymi
się częściami jednego lub różnych ciał, polegająca na przekazywaniu energii
kinetycznej przez cząsteczki wykonujące mikroskopowy ruch.

Przewodzenie ciepła

W przypadku gazów i cieczy ten rodzaj transportu ciepła polega na przenoszeniu
energii kinetycznej od cząstek o większej energii do cząstek o mniejszej energii w
wyniku kolejnych zderzeń

Zarówno w przypadku gazów, jak i cieczy transport ciepła powoduje również
przemieszczanie się elementów płynu, co wywołuje sprzężony, konwekcyjny ruch
ciepła

Przenoszenie ciepłą w ciałach stałych zależy od rodzaju ciała: ciała stałe
nieprzeźroczyste – przewodzenie jest wyłącznym sposobem transportu, ciała stałe
przeźroczyste – przewodzenie oraz pewna ilość energii przenoszona jest przez
promieniowanie.

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Model fizyczny przewodzenia ciepła w ciałach stałych jest określany przez prawo
Fouriera, wiążące gęstość strumienia ciepła z gradientem temperatury.

X1

X2

X3

z

x

y

dx

dy

dz

Wx

„Wektor

gęstości

strumienia

ciepła

w

przewodnictwie

danego

punktu

ciała

równomiernie nagrzanego, w danym momencie
czasu – jest wprost proporcjonalny do wektora
gradientu temperatury”

Wz

Wy

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Dla nieustalonego przewodzenia ciepła w czynniku nieruchomym ogólne
równanie różniczkowe (równanie Fouriera) ma postać:

t

a

t

2









lub po rozwinięciu:







































2

2

2

2

2

2

p

z

t

y

t

x

t

C

t





t

Dla takiego samego elementu płynu w ruchu, w pochodnej

temperatura jest

jeszcze zależna od położenia w przestrzeni, a zatem od x, y, z.

Tworząc różniczkę:

dz

z

t

dy

y

t

dx

x

t

d

t

dt



























stąd:

z

t

w

y

t

w

x

t

w

t

d

dt

z

y

x



























gdzie:

x

w

d

dx





y

w

d

dy





z

w

d

dz



































z

T

y

T

x

T

T

T

,

,

grad

gdzie:

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Otrzymujemy równanie Fouriera-Kirchoffa, które jest postacią różniczkową funkcji
t=f(x, y, z,



) dla płynącej strugi:

























































2

2

2

2

2

2

p

z

y

x

z

t

y

t

x

t

C

z

t

w

y

t

w

x

t

w

t

lub w zapisie:
- operatorowym:

t

a

z

t

w

y

t

w

x

t

w

t

z

y

x

2



























- wektorowym:





t

grad

div

a

z

t

w

y

t

w

x

t

w

t

z

y

x



























Ustalone przewodzenie ciepła, a zatem przewodzenie ciepła, gdy pole temperatur
nie zależy od czasu, jest opisane przez równanie Fouriera, które dla
przewodzenia jednokierunkowego z wybranym kierunkiem osi współrzędnych ma
postać:

ds

dt

A

Q

d













Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Gradient temperatury dt/ds jest ujemny ze względu na to, że ruch ciepła odbywa
się w kierunku od wyższych temperatur do niższych. Dla ciał jednorodnych i
niewielkich zmian temperatury, co pozwala uznać współczynnik przewodzenia
ciepła za stały, równanie:

Równanie można scałkować w granicach grubości warstwy przewodzącej ciepło i
odpowiadającym im różnic temperatur:

t

a

t

2



















2

t

1

t

2

s

1

s

dt

A

ds

Q



Jeżeli ruch ciepła odbywa się w ten sposób, że powierzchnia przekroju na drodze
przewodzenia jest stała (w praktyce dotyczy to ścian płaskich), to w wyniku
całkowania otrzymuje się:

)

t

t

(

A

s

Q

2

1











gdzie:



- współczynnik przewodzenia ciepła (zwany też przewodnością cieplną) [W/(m

.

K), A –

powierzchnia prostopadła do kierunku ruchu ciepła [m

2

], s – grubość warstwy [m], t – temperatura [K]

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Równanie Fouriera, oparte jest na wielu założeniach:

- ustalony ruch ciepła drogi przewodzenia,
- stałość współczynnika przewodzenia ciepła w materiale,

- przejęcie układu płaskiego.

Wielkość s/λ nazywa się oporem cieplnym przewodzenia lub też oporem cieplnym
środowiska.

)

t

t

(

A

s

Q

2

1











Jeśli w całym obrębie ciała, w którym zachodzi przewodzenie ciepła współczynnik
przewodzenia ciepła jest stały, to pomijając zmiany współczynnika przewodzenia
ciepła ze zmianą temperatury, profil temperatury jest prostoliniowy co oznacza, że
temperatura obniża się prostoliniowo wzdłuż drogi przewodzenia ciepła.

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Przypadek ściany płaskiej w procesie przewodzenie ciepła jest przypadkiem
szczególnym.

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany jednowarstwowej

Rys. 1. Profil temperatury w obrębie ściany
płaskiej: mała wartość λ, duża wartość λ

Rys. 2. Profil temperatury w obrębie ściany
płaskiej, gdy współczynnik przewodzenia ciepła
jest zależny od temperatury

)

t

t

(

A

s

Q

2

1











Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany jednowarstwowej cylindrycznej

Rys. 3. Przewodzenie ciepła

przez ścianę cylindryczną

Powierzchnia przez którą następuje ruch ciepła w kierunku od powierzchni
wewnętrznej do powierzchni zewnętrznej - stale się zwiększa. Wielkość
zmieniającej się powierzchni, przez który jest przewodzone ciepło wynosi:

rl

2

A





gdzie: A –powierzchnia, m

2

, r - aktualna odległość od osi przewodu, m; l -

długość przewodu, m







































2

2

2

2

2

2

p

z

t

y

t

x

t

C

t

rl

2

A





Po podstawieniu do równania Fouriera powierzchni i całkując w granicach od r

w

do

r

z

otrzymuje się:

)

t

t

(

r

dr

l

2

Q

2

1

śr

z

r

w

r













w

z

2

1

śr

r

r

ln

l

2

)

t

t

(

Q











w

z

2

1

śr

d

d

ln

l

2

)

t

t

(

Q











Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Jeżeli pomnożyć licznik i mianownik równania przez wyrażenie d

z

- d

w

,otrzymuje

się:

w

z

2

1

śr

d

d

ln

l

2

)

t

t

(

Q















2

1

w

z

w

z

w

z

śr

t

t

d

d

ln

d

d

l

2

d

d

Q













































w

z

w

z

d

d

ln

d

d



Wyrażenie stanowi średnią logarytmiczną z wartości d

z

i d

w

Przy uwzględnieniu, że A = πdl, oraz że d

z

-d

w

= 2s, gdzie s stanowi grubość ściany

przewodu, otrzymuje się:





2

1

w

z

w

z

śr

t

t

A

A

ln

A

A

s

Q







































gdzie:





























w

z

w

z

śr

A

A

A

A

A

ln





2

1

śr

śr

t

t

A

s

Q













Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Przewodzenie ciepła przez zmienną powierzchnię występuje również w przypadku
ścian kulistych. Powierzchnia zależy od promienia zgodnie z zależnością:

2

r

4

A















2

t

1

t

2

s

1

s

dt

A

ds

Q







2

1

śr

śr

t

t

A

s

Q













z tym że w tym przypadku A

śr

oznacza średnią geometryczną powierzchni

wewnętrznej i zewnętrznej:

z

w

z

w

śr

d

d

A

A

A













Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Powierzchnia, przez którą w kierunku do niej prostopadłym jest przewodzone
ciepło może być zmienna. Często w praktyce spotykanym przykładem jest
przewodzenie ciepła przez ścianę wielowarstwową.

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany wielowarstwowej

Rys. 4. Rozkład temperatur w ścianie trzywarstwowej

)

(

2

1

1

1

1

t

t

A

s

Q











)

(

3

2

2

2

2

t

t

A

s

Q











)

(

4

3

3

3

3

t

t

A

s

Q











w obrębie danej warstwy λ=constans,

kąt załamania linii zależny od λ

Q

)

(

w

z

t

t

A

s

Q











Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Jeśli rozpatrzyć przewodzenie ciepła przez układ złożony z trzech warstw płaskich
przylegających bezpośrednio do siebie i przyjąć, że przewodzenie ciepła zachodzi w
sposób ustalony, czyli do każdej warstwy w tym samym czasie dopływa i odpływa ta
sama ilość ciepła to można zapisać:













4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

t

t

A

s

t

t

A

s

t

t

A

s

Q





















stad otrzymać można trzy niezależne równania:

1

1

1

0

s

A

Q

t

t











2

2

2

1

s

A

Q

t

t











3

3

3

2

s

A

Q

t

t































3

3

2

2

1

1

4

1







s

s

s

A

Q

t

t



które można przekształcić do postaci:

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Ogólnie, dla n warstw o współczynnikach przewodzenia ciepła od λ

1

i do λ

n

i

grubościach od s

1

do s

n

zapisać można wyrażenie na przewodzony strumieni

cieplny:





4

1

1

1

t

t

A

s

Q

n

n

n















Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Ustalone przewodzenie ciepła dla ściany wielowarstwowej cylindrycznej

Ściana wielowarstwowa w przypadku ogólnym może mieć powierzchnię zakrzywioną, niekiedy również
cylindryczną

Rys. 5. Przewodzenie ciepła przez ścianę
wielowarstwową cylindryczną













3

2

3

m

3

3

2

1

2

m

2

2

1

0

1

m

1

1

t

t

A

s

t

t

A

s

t

t

A

s

Q



























gdzie: Am

1

, Am

2

, Am

3

- średnie logarytmiczne powierzchnie dla warstw

o grubościach s

1

, s

2

i s

3

.

1

1

1

m

1

0

s

A

Q

t

t











2

2

2

m

2

1

s

A

Q

t

t











3

3

3

m

3

2

s

A

Q

t

t











































3

m

3

3

2

m

2

2

1

m

1

1

3

0

A

s

A

s

A

s

Q

t

t



po zsumowaniu:

3

m

3

3

2

m

2

2

1

m

1

1

3

0

A

s

A

s

A

s

t

t

Q























i przekształceniu:

Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Ogólnie, dla n cylindrycznych warstw o współczynnikach przewodzenia ciepła od λ

1

do

λ

n

i grubościach od s

1

do s

2

można zapisać wyrażenie na przewodzony strumień ciepła:











n

1

mn

n

n

n

0

A

s

t

t

Q



Inżynieria procesowa w gospodarce odpadami

Wykład: Procesy cieplne. Przewodzenie ciepła

Dziękuję za uwagę