1
Podstawowe charakterystyki
niezawodno
ś
ci
sem. 8. Niezawodno
ść
elementów i systemów, Komputerowe systemy pomiarowe
1
Podstawowe charakterystyki
niezawodno
ś
ci
sem. 8. Niezawodno
ść
elementów i systemów, Komputerowe systemy pomiarowe
2
Niezawodno
ść
R (t) to prawdopodobie
ń
stwo pewnych zdarze
ń
Intensywno
ść
uszkodze
ń λ
(t) wyra
Ŝ
a prawdopodobie
ń
stwo wyst
ą
pienia
uszkodzenia w ci
ą
gu jednostki czasu pracy w okre
ś
lonych warunkach
Statystyka matematyczna daje nam mo
Ŝ
liwo
ść
wyznaczenia jedynie
estymatorów,
a jak jest warto
ść
rzeczywista nie wiemy
Estymator intensywno
ś
ci uszkodze
ń
- przedział ufno
ś
ci, który z okre
ś
lonym prawdopodobie
ń
stwem
β
zawiera warto
ść
rzeczywist
ą λ
β
λ
λ
λ
=
≤
≤
}
{
g
d
P
Wst
ę
p
3
β
λ
λ
λ
=
≤
≤
}
{
g
d
P
g
d
λ
λ
,
- dolna i górna granica przedziału ufno
ś
ci,
β
- poziom ufno
ś
ci, zwykle 0,6 lub 0,9
0,01
0,001
0,1 – 2
0,05
0,02
0,08 – 0,8
0,3
0,1
Poł
ą
czenia lutowane
Poł
ą
czenia owijane
Kondensatory
Rezystory obj
ę
to
ś
ciowe
Rezystory warstwowe
Tranzystory krzemowe
Mikroukłady analogowe
Mikroukłady cyfrowe
λ
[x 10
-6
1/h]
Rodzaj elementu
4
Podstawowe charakterystyki niezawodno
ś
ci
- liczbowe,
- funkcyjne.
Liczbowe
Obiekty nienaprawialne
FIT –
ś
redni czas pracy do uszkodzenia
→
uszkodzenie/10
9
godzin
/10
6
godzin
Failured in time
R (T) – niezawodno
ść
jako prawdopodobie
ń
stwo
n
m
T
R
=
)
(
m – liczba poprawnie pracuj
ą
cych wyrobów czasie T,
n – liczba wyrobów, które rozpocz
ę
ły prac
ę
w momencie t = 0
wykres
Reliability
10
6
godzin
41 666,6 dni
117,04 lat
5
Z (T) – wska
ź
nik uszkodze
ń
n
m
n
T
Z
−
=
)
(
m – liczba poprawnie pracuj
ą
cych wyrobów czasie T,
n – liczba wyrobów, które rozpocz
ę
ły prac
ę
w momencie t = 0
wykres
Liczba uszkodze
ń
odniesiona do czasu
→
% uszkodze
ń
/10
6
godzin
/10
9
godzin
Failure rate
6
W normach podawane s
ą
Wadliwo
ść
dopuszczalna – AQL/1000 h
Liczba uszkodze
ń
, która mo
Ŝ
e wyst
ą
pi
ć
po 1000 godzin
Accepted quality limit
Wadliwo
ść
dyskwalifikuj
ą
ca – LTPD/1000 h
Liczba uszkodze
ń
, która dyskwalifikuje oszacowany wska
ź
nik
Lot Tolerance Percent Defective
Badania kontrolne
Mil-S-19500
Mil-M-38510
7
Rzadziej stosowane wska
ź
niki
Ś
rednie ryzyko uszkodzenia w czasie eksploatacji
∑
=
=
n
i
i
t
n
1
*
1
µ
n - liczba obiektów,
t
i
* - czasy kolejnych uszkodze
ń
.
Wariancja i odchylenie standardowe
2
2
1
*
2
)
(
1
1
σ
σ
µ
σ
=
−
−
=
∑
=
n
i
i
t
n
8
Przykład
n = 10
132
116
107
101
84
63
48
41
36
33
t
i
*
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
i
37
1135
76
2
=
=
=
σ
σ
µ
9
Wska
ź
niki funkcyjne
- dystrybuanta czasu poprawnej pracy F (t),
- funkcja g
ę
sto
ś
ci uszkodze
ń
f (t),
- funkcja intensywno
ś
ci uszkodze
ń
– funkcja ryzyka
λ
(t),
- funkcja niezawodno
ś
ci R (t).
Dystrybuanta czasu poprawnej pracy F (t)
F (t) = P [t < t
1
]
uszkodzenie wyrobu nast
ą
pi
nie pó
ź
niej ni
Ŝ
w chwili t
1
Funkcja g
ę
sto
ś
ci uszkodze
ń
f (t)
dt
t
dR
dt
t
dF
t
f
)
(
)
(
)
(
−
=
=
Funkcja niezawodno
ś
ci R (t)
R (t) = P [t
≥
t
1
]
uszkodzenie wyrobu nast
ą
pi
nie wcze
ś
niej ni
Ŝ
w chwili t
1
R (t) = 1 – F (t)
okre
ś
la szybko
ść
zmian liczby uszkodzonych
wyrobów w obserwowanej populacji
10
Dystrybuanta i funkcja niezawodno
ś
ci mog
ą
by
ć
wyra
Ŝ
one
przez funkcj
ę
g
ę
sto
ś
ci uszkodze
ń
∫
∫
∞
=
=
t
t
du
u
f
t
R
du
u
f
t
F
)
(
)
(
)
(
)
(
0
Prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e wyrób uszkodzi si
ę
w przedziale [t, t +
∆
t]
wynosi f (t) ·
∆
t, przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e
∆
t jest małe
t
t
f
t
t
t
t
P
∆
⋅
≈
∆
+
≤
<
)
(
]
[
11
Funkcja intensywno
ś
ci uszkodze
ń
– funkcja ryzyka
λ
(t)
Pobieramy do bada
ń
prób
ę
reprezentatywn
ą
składaj
ą
c
ą
si
ę
z n wyrobów
Nale
Ŝ
y znale
źć
prawdopodobie
ń
stwo zdarzenia,
Ŝ
e wyrób, który pracował
od rozpocz
ę
cia bada
ń
(t = 0) uległ uszkodzeniu w przedziale czasu [t, t +
∆
t]
P [t,
∆
t]
Z definicji – prawdopodobie
ń
stwo jest stosunkiem liczby zdarze
ń
elementarnych
do ogólnej liczby zdarze
ń
Liczba zdarze
ń
elementarnych - n·f (t)·
∆
t
ka
Ŝ
dy z wyrobów mo
Ŝ
e ulec uszkodzeniu w przedziale [t, t +
∆
t]
Ogólna liczba zdarze
ń
elementarnych - n·R (t)
12
Wobec tego prawdopodobie
ń
stwo zdarzenia mo
Ŝ
na zapisa
ć
jako:
t
t
R
t
f
t
R
n
t
t
f
n
t
t
P
∆
=
⋅
∆
⋅
⋅
=
∆
)
(
)
(
)
(
)
(
]
,
[
Funkcja intensywno
ś
ci uszkodze
ń
jest definiowana jako prawdopodobie
ń
stwo
zdarzenia losowego (uszkodzenia wyrobu) w przedziale czasu [t, t +
∆
t]
odniesione do czasu trwania przedziału
∆
t
)
(
)
(
)
(
)
(
]
,
[
)
(
t
R
t
f
t
t
t
R
t
f
t
t
t
P
t
=
∆
∆
=
∆
∆
=
λ
13
Zale
Ŝ
no
ś
ci
dt
t
dR
dt
t
dF
t
f
)
(
)
(
)
(
−
=
=
)
(
)
(
)
(
t
R
t
f
t
=
λ
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
R
dt
t
dR
t
R
t
f
t
−
=
=
λ
dt
t
t
R
t
dR
)
(
)
(
)
(
λ
=
−
)
(
)
(
)
(
)
(
t
R
t
f
t
R
dt
t
dR
=
−
przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e R (0) = 1
]
)
(
exp[
)
(
0
∫
−
=
t
du
u
t
R
λ
14
Okres
Ŝ
ycia wyrobów (obiektów) nienaprawialnych
Krzywa „siodłowa”
Krzywa „wannowa”
Krzywa stosowana od lat 50. XX wieku –
na podstawie analizy czasu
Ŝ
ycia
lamp elektronowych i pierwszych
maszyn cyfrowych
Trzy okresy
Ŝ
ycia:
I – okres uszkodze
ń
wczesnych, uszkodzeniu ulegaj
ą
wyroby o złej jako
ś
ci, wadliwe,
II - okres normalnej eksploatacji, liczba uszkodze
ń
jest stała, uszkodzenia s
ą
przypadkowe, wynikaj
ą
ce z przeci
ąŜ
e
ń
, niepoprawnych warunków pracy,
III – okres zu
Ŝ
ycia
15
Obecnie wzorem okre
ś
laj
ą
cym przebieg funkcji ryzyka jest krzywa „grzbietowa”
Podział jest podobny, ale okres uszkodze
ń
wczesnych mo
Ŝ
e mie
ć
ró
Ŝ
ny przebieg
wykres
16
Charakterystyki obiektów naprawialnych (odnawialnych)
1. Obiekty z pomijalnym czasem odnowy
2. Obiekty z istotnym czasem odnowy
1. Obiekty z pomijalnym czasem odnowy
Liczbowe
Ś
redni czas pracy mi
ę
dzy uszkodzeniami (w okre
ś
lonym czasie T)
MTBF
Mean Time between Failure
Ś
redni czas pracy do uszkodze
ń
(w okre
ś
lonym czasie T)
MTTF
Mean Time to Failure
m
t
t
t
MTTF
m
+
+
+
=
...
2
1
gdzie: m – liczba uszkodze
ń
w czasie T,
t
i
- i - ty czas do uszkodzenia
17
MTBF
Ś
redni czas mi
ę
dzyawaryjny
Przykład
Zastosowanie do okre
ś
lenia
Ŝ
ywotno
ś
ci twardych dysków
MTBF wynosi 200 000 godzin – okre
ś
lony dla danej serii dysków
MTBF – 200 tysi
ę
cy godzin, czyli prawdopodobie
ń
stwo uszkodzenia dysku
w ci
ą
gu roku jest równe około 4,5%
200 000 godzin: 24 = 8333.3 dni : 356 = 23,4 lat
23,4 – 100%
1 - 4,27%
Mamy 22 dyski – 1 dysk w ci
ą
gu roku mo
Ŝ
e ulec uszkodzeniu, - pracuje 24 godziny
Je
Ŝ
eli pracuje mniej, to ….
18
2. Obiekty z istotnym czasem odnowy
Współczynnik gotowo
ś
ci technicznej (dyspozycyjno
ś
ci)
MRT
MTBF
MTBF
t
k
k
g
t
g
+
=
=
∞
→
)
(
lim
gdzie: MRT –
ś
redni czas napraw
Mean Repair Time
k – prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e w danej chwili t wyrób (obiekt)
b
ę
dzie zdatny do pracy,
t
i
– i –ty czas do uszkodzenia, czyli zmienna losowa t
19
Funkcyjne
Charakterystyka niezawodno
ś
ci wyrobów (obiektów) odnawialnych
– funkcja odnowy H (t)
Definiowana jest jako oczekiwana liczba m odnów wyrobu (obiektu) od momentu
rozpocz
ę
cia jego pracy do chwili t
G
ę
sto
ść
odnowy
Λ
(t) – szybko
ść
narastania liczby dokonywanych odnów
z upływem czasu pracy t
dt
t
dH
t
)
(
)
(
=
Λ
Zwi
ą
zek mi
ę
dzy H (t) i
Λ
(t) mo
Ŝ
na zapisa
ć
:
∫
Λ
=
t
du
u
t
H
0
)
(
)
(
20
Charakterystyki niezawodno
ś
ciowe wyrobów (obiektów) pracuj
ą
cych na
Ŝą
danie
Wyroby pracuj
ą
ce na
Ŝą
danie:
- nieodnawialne,
- odnawialne.
Wyroby nieodnawialne
wykres
P
Ŝ
(t) jest zwykle funkcj
ą
monotonicznie malej
ą
c
ą
, bo w wyrobie (obiekcie) zachodz
ą
zmiany zwi
ą
zane z procesami starzenia, nawet je
Ŝ
eli wyrób nie pracuje.
P
Ŝ
(t) wyrobu (obiektu) odnawialnego jest funkcj
ą
okresow
ą
. Dzi
ę
ki naprawom
uszkodzenia s
ą
usuwane, a wi
ę
c i procesy starzenia nie wyst
ę
puj
ą
w sposób oczywisty.
P
Ŝ
(t) – prawdopodobie
ń
stwo pracy na
Ŝą
danie
21
W rzeczywisto
ś
ci efekty starzenia mimo napraw te
Ŝ
wyst
ę
puj
ą
i funkcja P
Ŝ
o
(t)
jest funkcj
ą
okresow
ą
, malej
ą
c
ą
.
Wyroby odnawialne
wykres
Odnowa usuwa skutki uszkodzenia i P
Ŝ
o
(t) po
odnowie = 1,
P
Ŝ
o
(t) wyrobu (obiektu) odnawialnego jest funkcj
ą
okresow
ą
. Dzi
ę
ki naprawom
uszkodzenia s
ą
usuwane, a wi
ę
c i procesy starzenia nie wyst
ę
puj
ą
w sposób oczywisty.
wykres
P
Ŝ
o
(t) – prawdopodobie
ń
stwo odmowy pracy