Konspekt cw

OJĘCIA PODSTAWOWE I ELEMENTY KRYSTALOGRAFII

INERAŁ

– pierwiastek lub związek chemiczny, który w stanie naturalnym jest krystaliczny, powstały w

wyniku procesów geologicznych lub kosmologicznych.

UBSTANCJE MINERALNE

– nie objęte powyŜszą definicją składniki Ziemi i ciał kosmicznych.

Mogą nimi być:

bezpostaciowe ciała stałe (obsydian, allofany, węgle)

substancje ciekłe (woda, ropa naftowa, rtęć rodzima)

substancje gazowe (gaz ziemny, CO

)

Substancje mineralne nie mają uporządkowanej budowy wewnętrznej, a zazwyczaj równieŜ ściśle

zdefiniowanego składu chemicznego.

IAŁO KRYSTALICZNE

to ciało jednorodne i anizotropowe pod względem co najmniej jednej

własności. Ciało krystaliczne o prawidłowej, wielościennej postaci zewnętrznej wykształconej samorzutnie

KRYSZTAŁ

. Ciało krystaliczne charakteryzuje się uporządkowaną budową wewnętrzną.

Uporządkowanie w ciałach krystalicznych występuje najczęściej w trzech kierunkach, nie leŜących w jednej

płaszczyźnie (periodyczność przestrzenna), rzadziej wzdłuŜ dwóch kierunków (periodyczność w

płaszczyźnie) – np. grafit, kaolinit. Uporządkowanie wzdłuŜ jednego kierunku (periodyczność wzdłuŜ

prostej) występuje w niektórych substancjach organicznych.

Charakterystyka minerału jako ciała krystalicznego obejmuje określenie zarówno jego budowy wewnętrznej,

jak i zewnętrznej. W odniesieniu do budowy wewnętrznej uŜywamy terminu struktura (krystaliczna), który

oznacza sposób przestrzennego rozmieszczenia atomów. W sposób ścisły określamy strukturę, podając

współrzędne X, Y, Z poszczególnych atomów w układzie osi krystalograficznych. Mówiąc o zewnętrznej

budowie kryształu, czyli jego postaci geometrycznej, uŜywamy terminów: morfologia, pokrój, postać

zewnętrzna kryształu.

YMETRIA

– prawidłowe powtarzanie się w przestrzeni pewnego motywu według określonego przepisu.

Takim motywem moŜe być w przypadku kryształu atom lub grupa atomów, gdy bierzemy pod uwagę jego

sieć krystaliczną, bądź teŜ element jego postaci zewnętrznej, np. ściana. NaleŜy jednak pamiętać o tym, Ŝe

niektóre przekształcenia symetryczne rządzące połoŜeniami atomów w krysztale nie odzwierciedlają się w

jego morfologii.

RZEKSZTAŁCENIA SYMETRYCZNE

(

OPERACJE SYMETRYCZNE

)

to przepisy

określające, w jaki sposób następuje powtarzanie się pewnego motywu kryształu. Odpowiadają im elementy

symetrii, będące zbiorami punktów nie ulegających przemieszczeniu w czasie tych operacji.

Do oznaczenia elementów symetrii stosujemy symbole graficzne i literowe. Najczęściej stosuje się 3 systemy

symboli literowych elementów symetrii punktowej:

Kreutza-Zaremby

Schönfliesa

Hermanna-Manguina (międzynarodowy) – zalecany przez Międzynarodową Unię Krystalograficzną

Przekształcenia symetryczne moŜna podzielić na:

proste (I rodzaju) – sprowadzają się do jednej operacji

złoŜone (II rodzaju) – są iloczynem przekształceń

RZEKSZTAŁCENIA SYMETRYCZNE PROSTE

NWERSJA

– przekształcenie względem punktu zwanego

ŚRODKIEM

lub

CENTRUM SYMETRII

rodek symetrii (C) ma tę własność, Ŝe kaŜda przechodząca przez niego prosta napotyka w tej samej

odległości, w przeciwnych kierunkach, te same motywy powierzchni lub struktury kryształu. Nie ulega on

przemieszczeniu w czasie przekształcenia. Inwersja przekształca kaŜdy motyw niepunktowy w połoŜenie

antyrównoległe, tzn. równoległe i przeciwnie skierowane.

BRÓT

– to przekształcenie polegające na obrocie wokół pewnych kierunków, zwanych osiami symetrii.

Ś SYMETRII

(L) stanowi zbiór punktów nie ulegających przemieszczeniu w czasie przekształcenia,

tzw. niezmiennik przekształcenia. Osie symetrii są to więc kierunki, wokół których następuje przy obrocie

powtarzanie identycznych połoŜeń określonego motywu powierzchni lub struktury kryształu.

Krotność osi n to iloraz

360

, w którym

jest najmniejszym kątem obrotu, po jakim następuje powtórzenie

identycznego połoŜenia motywu w przestrzeni. W krystalografii moŜliwe są osie 1, 2, 3, 4 i 6-krotna, przy

czym oś jednokrotna ma znaczenie jedynie formalne.

Ś POLARNA

– to rodzaj osi symetrii łączącej róŜnie wykształcone motywy powierzchni kryształu – np.

wierzchołek i środek ściany lub krawędzi. Obecność osi polarnej w krysztale odzwierciedla się w niektórych

jego własnościach fizycznych, np. piroelektryczności. Przeciwieństwem osi polarnych są

OSIE

DWUBIEGUNOWE

DZWIERCIEDLENIE

to przekształcenie względem płaszczyzny zwierciadlanej, zwanej równieŜ

płaszczyzną symetrii.

ŁASZCZYZNA SYMETRII

(P) przeprowadza kaŜdy motyw powierzchni lub

struktury kryształu w motyw równowaŜny w ten sposób, Ŝe kaŜdy odcinek łączący analogiczne punkty

przekształcanego elementu jest prostopadły do tej płaszczyzny i przedzielony przez nią na dwie równe

części. Obecność płaszczyzny symetrii objawia się więc w krysztale tym, Ŝe moŜna go podzielić na dwie

części mające się do siebie jak przedmiot i jego odbicie w zwierciadle. Takie dwa motywy, symetryczne

względem płaszczyzny, nazywamy enancjomorficznymi (przykładowo lewa i prawa dłoń).

RANSLACJA

to przekształcenie polegające na równoległym przesunięciu jakiegoś motywu budowy

wewnętrznej kryształu w określonym kierunku o stały odcinek. W wyniku translacji uzyskujemy periodyczne

rozmieszczenie tych motywów wzdłuŜ prostych równoległych.

RZEKSZTAŁCENIA SYMETRYCZNE ZŁOśONE

– to kombinacje przekształceń polegające na

tym, Ŝe wykonujemy kolejno dwie operacje symetryczne pomijając pośrednie połoŜenia przekształcanego

motywu. Tak sprzęŜone działanie dwóch operatorów nazywamy iloczynem przekształceń, w

przeciwieństwie do sumy przekształceń, gdzie połoŜenia pośrednie są uwzględniane.

Do przekształceń złoŜonych zaliczamy:

obrót inwersyjny (elementem symetrii jest oś inwersyjna)

obrót zwierciadlany (elementem symetrii jest oś zwierciadlana, czyli przemienna)

obrót śrubowy (elementem symetrii jest oś śrubowa; moŜe być prawa lub lewa)

odzwierciedlenie poślizgowe (elementem symetrii jest płaszczyzna poślizgu)

Ze względu na charakter powstałego wskutek przekształcenia utworu wyróŜnia się przekształcenia:

zamknięte (punktowe) – inwersja, obrót, odzwierciedlenie

otwarte (przestrzenne) – translacja

Rozpatrując symetrię postaci zewnętrznej kryształów i ich budowy wewnętrznej moŜna zauwaŜyć, Ŝe

dopuszcza ona współwystępowanie pewnych przekształceń symetrycznych. Wszystkie dopuszczalne w

krystalografii kombinacje przekształceń symetrycznych (elementów symetrii) moŜna wyprowadzić

matematycznie za pomocą teorii grup, a w przypadku symetrii punktowej równieŜ za pomocą rozwaŜań

geometrycznych.

Dopuszczalne kombinacje elementów symetrii punktowej nazywamy

GRUPAMI PUNKTOWYMI

Własnością takiej grupy jest, Ŝe moŜe ona przekształcać nieskończone trójwymiarowe sieci lub wielościany

krystalograficzne w ten sposób, by co najmniej jeden ich punkt nie zmienił przy tym połoŜenia. Istnieją 32

grupy symetrii punktowej. Grupy te nie zawierają translacji jako elementu twórczego, nie wystarczają więc

do opisania symetrii budowy wewnętrznej kryształów, ale wyczerpująco określają symetrię ich postaci

zewnętrznych. 32 grupom symetrii punktowej odpowiadają 32 tzw. klasy symetrii.

Opis symetrii rozmieszczenia atomów w krysztale wymaga wprowadzenia przekształceń zawierających

translację. Kombinacja samych translacji daje tzw.

GRUPY TRANSLACYJNE

(grupy Bravais’go). Jest

ich 14 i odpowiada im 14 typów sieci translacyjnych.

Do opisania rzeczywistych kryształów niezbędne jest zastosowanie wszystkich przekształceń symetrii

punktowej, translacji oraz przekształceń złoŜonych zawierających translację. Utworzone przy ich pomocy

grupy nazywamy

GRUPAMI PRZESTRZENNYMI

. Istnieje 230 grup przestrzennych.

KaŜdej substancji krystalicznej moŜna przyporządkować taki prawidłowy zbiór punktów w przestrzeni,

zwany

SIECIĄ PRZESTRZENNĄ

, Ŝe kaŜda ściana kryształu danej substancji będzie równoległa do

odpowiedniej płaszczyzny przechodzącej przez co najmniej trzy punkty nie leŜące na jednej prostej. Punkty

te reprezentują w rzeczywistości środki cięŜkości atomów lub ich ugrupowań. Najprostszym elementem sieci

jest

PUNKT IDENTYCZNY

(

WĘZEŁ SIECIOWY

)

. Poddając go translacji o pewien odcinek

uzyskujemy

PROSTĄ SIECIOWĄ

, będącą zarazem siecią jednowymiarową (liniową). Odległość

sąsiednich punktów nazywamy okresem (periodem) identyczności a, a odpowiedni wektor przemieszczenia

podstawowym wektorem translacji. JeŜeli kaŜdy punkt prostej sieciowej poddamy translacji b w kierunku

nierównoległym do a, uzyskamy

PŁASZCZYZNĘ SIECIOWĄ

, będącą siecią dwuwymiarową (płaską).

Poddając z kolei kaŜdy punkt płaszczyzny sieciowej trzeciej translacji c, nierównoległej do wektorów a i b,

uzyskujemy

SIEĆ PRZESTRZENNĄ

. Jest to tzw.

SIEĆ PRYMITYWNA

, poniewaŜ zawiera tylko

jeden rodzaj punktów identycznych. Dla jednoznacznego określenia przestrzennej sieci prymitywnej

potrzebna jest znajomość trzech podstawowych translacji a, b i c oraz zawartych między nimi kątów

przy czym

jest kątem między b i c,

- między a i c, a

- między a i b. Tych sześć wielkości nazywamy

PARAMETRAMI SIECI

Istnieje ścisły związek pomiędzy sieciową budową wewnętrzną kryształu a jego zewnętrzną postacią

geometryczną. Ujmuje go

ZASADA PARALELIZMU

(prawo sieciowe) – kaŜdej ścianie kryształu

odpowiada zbiór równoległych do niej płaszczyzn sieciowych, a kaŜdej krawędzi – zbiór równoległych

prostych sieciowych. Ściany pojawiające się na realnych kryształach są równoległe do płaszczyzn

sieciowych wykazujących najgęstsze obsadzenie przez węzły reprezentujące atomy.

W kaŜdej sieci przestrzennej moŜna wyróŜnić powtarzający się motyw –

KOMÓRKĘ

ELEMENTARNĄ

(równoległościan elementarny), której krawędzie utworzone są przez 3 najkrótsze

translacje a, b, c, a w naroŜach znajduje się osiem najbliŜszych punktów identycznych. Jako komórkę

elementarną obieramy z reguły ten równoległościan, który oparty jest o najkrótsze wektory translacji. Od tej

zasady odstępujemy tylko wtedy, gdy wybór dłuŜszej translacji prowadzi do komórki o prostszej geometrii.

Sześć wielkości: a, b, c,

nazywamy

PARAMETRAMI KOMÓRKI ELEMENTARNEJ

W celu analitycznego opisania połoŜenia w przestrzeni elementów morfologii lub struktury kryształu,

spośród elementów sieci obieramy osie odniesienia, zwane

OSIAMI KRYSTALOGRAFICZNYMI

Mogą to być krawędzie kryształu, lub krawędzie komórki elementarnej. Wszystkie typy sieci, które moŜna

opisać za pomocą tego samego układu osi krystalograficznych, grupujemy w jeden

UKŁAD

KRYSTALOGRAFICZNY

. Kryształy naleŜące do jednego układu wykazują pewne wspólne cechy

symetrii narzucone przez dany system osiowy. Do kaŜdego układu zaliczamy kilka klas krystalograficznych,

wykazujących pewną

SYMETRIĘ MINIMALNĄ

. Układ ograniczony jest jednak równieŜ przez ilość i

rodzaj dopuszczalnych elementów symetrii – tzw.

SYMETRIĘ MAKSIMUM

Pełna charakterystyka układów krystalograficznych obejmuje parametry sieci, symetrię minimum i

maksimum. Pięć układów ma trzy osie krystalograficzne X, Y, Z, dwa pozostałe natomiast (trygonalny i

heksagonalny) mają wspólny system czterech osi X

, X

, Z, róŜnią się natomiast symetrią minimum.

Kryształy układu trygonalnego moŜemy opisać równieŜ za pomocą układu trzech osi krystalograficznych,

obranych spośród krawędzi komórki romboedrycznej. Niekiedy zastępuje się więc układ trygonalny

układem romboedrycznym, niekiedy teŜ klasy układu trygonalnego są włączane do heksagonalnego, a

wówczas liczba układów redukuje się do sześciu.

KaŜdej substancji krystalicznej moŜna przyporządkować taki prawidłowy zbiór punktów w przestrzeni,

zwany

SIECIĄ PRZESTRZENNĄ

, Ŝe kaŜda ściana kryształu danej substancji będzie równoległa do

odpowiedniej płaszczyzny przechodzącej przez co najmniej trzy punkty nie leŜące na jednej prostej.

Dla

jednoznacznego

określenia

przestrzennej sieci prymitywnej (czyli

takiej, która zawiera tylko jeden

rodzaj

punktów

identycznych)

potrzebna

jest

znajomość

trzech

podstawowych translacji a, b i c oraz

zawartych między nimi kątów

przy czym

jest kątem między b i c,

- między a i c, a

- między a i b.

Tych sześć wielkości nazywamy

PARAMETRAMI

SIECI

kaŜdej sieci przestrzennej moŜna wyróŜnić powtarzający się motyw –

KOMÓRKĘ ELEMENTARNĄ

(równoległościan elementarny), której krawędzie utworzone są przez 3 najkrótsze translacje a, b, c, a w

naroŜach znajduje się osiem najbliŜszych punktów identycznych. Sześć wielkości: a, b, c,

nazywamy

PARAMETRAMI KOMÓRKI ELEMENTARNEJ

W celu analitycznego opisania połoŜenia w

przestrzeni elementów morfologii lub struktury kryształu, spośród elementów sieci obieramy osie

odniesienia, zwane

OSIAMI KRYSTALOGRAFICZNYMI

. Wszystkie typy sieci, które moŜna opisać

pomocą

tego

samego

układu

osi

krystalograficznych,

grupujemy

jeden

UKŁAD

KRYSTALOGRAFICZNY

Stosunki kątowe i osiowe

Układ

krystalograficzny

kąty międzyosiowe

parametry ściany

jednostkowej

Symetria minimum

Symetria maksimum

Trójskośny

≠

lub C

Jednoskośny

= 90

≠

lub P

+P+C

Rombowy

= 90

≠

lub L

+2P

+3P+C

Tetragonalny

= 90

a = b

≠

lub L

)+4L

+5P+C

Heksagonalny

= 90

= 120

= a

≠

lub L

)

+6L

+7P+C

Regularny

= 90

a = b = c

lub 4L

+4L

+6L

+9P+C

do układu heksagonalnego zaliczamy się najczęściej takŜe dwie klasy o symetrii trójkrotnej