1
Matematyka finansowa
Ćwiczenie 8
(rachunek kredytów)
4. (7.40) Zaciągnięto kredyt w wysokości 10 000 zł oprocentowany 24% w stosunku rocznym. Uzgodniono
następujące warunki spłaty:
a) cztery równe raty płatne po drugim, piątym, dziewiątym i dwunastym miesiącu;
b) cztery równe raty płatne po drugim, szóstym, dziesiątym i dwunastym miesiącu;
c) cztery równe raty płatne po czwartym, ósmym, dziesiątym i dwunastym miesiącu;
d) cztery raty płatne po czterech kolejnych kwartałach w wysokości 20% należnej kwoty, 25% należnej kwoty,
25% należnej kwoty, resztę należnej kwoty.
Obliczyć wysokość rat.
Odp.: a) 2856,37 zł, b) 2882,78 zł, c) 2940,93 zł, d) 2329,07 zł, 2911,34 zł, 2911,34 zł, 3493,61 zł.
Rozwiązanie
a) Oprocentowanie w skali miesiąca jest równe 2%. Niech x będzie wysokością raty umorzeniowej. Wyznaczamy
wysokość rat rozwiązując równanie:
000
10
06
,
1
08
,
1
06
,
1
04
,
1
08
,
1
06
,
1
04
,
1
06
,
1
04
,
1
04
,
1
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
x
x
x
x
,
37
,
2856
=
x
.
d) Niech
(
)
4
,...,
1
1
=
i
R
oznacza wysokość i - tej raty umorzeniowej. Ustalamy proporcje między wysokością rat.
Z treści zadania wynika, że druga i trzecia rata są o 25% wyższe od pierwszej, a ostatnia jest o 50% wyższa od
pierwszej:
1
4
1
3
1
2
5
,
1
,
25
,
1
,
25
,
1
R
R
R
R
R
R
⋅
=
⋅
=
⋅
=
. Równanie umorzeniowe przyjmuje postać:
000
25
15
,
1
5
,
1
15
,
1
25
,
1
15
,
1
25
,
1
15
,
1
4
1
3
1
2
1
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
R
R
R
R
.
Rozwiązaniem równania jest
.
07
,
2329
1
=
R
Znajomość
1
R
pozwala na wyznaczenie wartości pozostałych rat:
34
,
2911
07
,
2329
25
,
1
25
,
1
1
2
=
⋅
=
⋅
=
R
R
zł,
34
,
2911
07
,
2329
25
,
1
25
,
1
1
3
=
⋅
=
⋅
=
R
R
zł,
61
,
3493
07
,
2329
5
,
1
5
,
1
1
4
=
⋅
=
⋅
=
R
R
zł.
5. (7.33) Zaciągnięto kredyt w wysokości 25 000 zł na 15% rocznie. Kredyt ma być spłacony w czterech rocznych
ratach. Rata druga ma być o 20% wyższa od pierwszej, rata trzecia 10% niższa od drugiej, zaś suma rat pierwszej i
trzeciej ma być 20% większa od sumy rat drugiej i czwartej. Znajdź wysokość rat.
Odp.: 8954,19 zł, 10 745,03 zł, 9670,53 zł, 4775,57 zł.
Rozwiązanie
Niech
(
)
4
,...,
1
1
=
i
R
oznacza wysokość i - tej raty umorzeniowej. Równanie umorzeniowe przyjmuje postać:
000
25
15
,
1
15
,
1
15
,
1
15
,
1
4
1
3
3
2
2
1
=
+
+
+
R
R
R
R
.
Oznaczmy przez
R
nieznaną ratę umorzeniową będącą punktem odniesienia przy wyznaczania wysokości
1
R
czterech rat umorzeniowych. Niech
4
,...,
1
,
1
=
⋅
=
i
R
R
i
α
. Wartości
i
α wyznaczają relacje między wysokością rat.
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
2
Korzystając z zależności
4
,...,
1
,
1
=
⋅
=
i
R
R
i
α
, równanie umorzeniowe zapisujemy w następującej postaci:
000
25
15
,
1
15
,
1
15
,
1
15
,
1
4
4
3
3
2
2
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
R
R
R
R
α
α
α
α
.
Ustalamy zależności zachodzące między
i
α :
1
2
2
,
1
α
α
=
(rata druga ma być o 20% wyższa od pierwszej),
2
3
9
,
0
α
α
=
(rata trzecia ma być 10% niższa od drugiej),
(
)
4
2
3
1
2
,
1
α
α
α
α
+
=
+
(suma rat pierwszej i trzeciej ma być o 20% większa od sumy rat drugiej i czwartej).
Otrzymaliśmy układ trzech równań z czterema niewiadomymi. W celu wyznaczenia jego rozwiązania przyjmujemy,
że
1
1
=
α
i dołączamy to równanie do układu równań. Arbitralne określenie wartości
1
α nie powoduje żadnych
komplikacji, gdyż zależy nam na ustaleniu proporcji między wysokością rat, a nie ich wysokości: znając proporcje
bez trudu wyznaczymy ich wysokość.
Rozwiązaniem układu równań jest
533
,
0
,
08
,
1
,
2
,
1
,
1
4
3
2
1
=
=
=
=
α
α
α
α
. Podstawiając otrzymane wartości do
równania umorzeniowego otrzymujemy:
000
25
15
,
1
533
,
0
15
,
1
08
,
1
15
,
1
2
,
1
15
,
1
1
4
3
2
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
⋅
R
,
19
,
8954
=
R
.
Znajomość
i
α oraz
R
pozwala na wyznaczenie wysokości rat umorzeniowych:
19
,
8954
19
,
8954
1
1
=
⋅
=
⋅
=
R
R
i
α
zł,
03
,
745
10
19
,
8954
2
,
1
2
2
=
⋅
=
⋅
=
R
R
α
zł,
53
,
9670
19
,
8954
08
,
1
3
3
=
⋅
=
⋅
=
R
R
α
zł,
6. (7.38) Zaciągnięto kredyt w wysokości 12 000 zł oprocentowany na 24%. Uzgodniono następujące warunki
spłaty: cztery raty w równej wysokości płatne po drugim, szóstym, ósmym i dwunastym miesiącu. Dłużnik
nieoczekiwanie otrzymał spadek i chce spłacić kredyt już po szóstym miesiącu. Jaka powinna być wysokość
ostatniej raty? Oblicz wartość nominalną kwoty zaoszczędzonej dzięki wcześniejszej spłacie.
Odp.: Rata: 9776,16 zł; zaoszczędzono 507,84 zł.
Rozwiązanie
Oprocentowanie w skali miesiąca jest równe 2%. Niech x będzie wysokością raty umorzeniowej. Wyznaczamy
wysokość raty w przypadku spłaty rat zgodnie z ustalonym harmonogramem:
000
12
04
,
1
04
,
1
08
,
1
04
,
1
04
,
1
08
,
1
04
,
1
08
,
1
04
,
1
04
,
1
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
x
x
x
x
,
99
,
3427
=
x
Bieżąca wartość pozostałej po spłacie pierwszej raty części kredytu jest równa:
86
,
8703
04
,
1
99
,
3427
000
12
=
−
.
Wartość przyszła (na moment spłaty po 6 miesiącu) pozostałego do spłaty kredytu jest równa
86
,
9776
08
,
1
04
,
1
86
,
8703
=
⋅
⋅
.
Nominalna wartość zaoszczędzonej kwoty wyraża się wzorem:
84
,
507
86
,
9776
99
,
3427
3
=
−
⋅
.
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
3
Wyznaczając wartość nominalną zaoszczędzonej kwoty od wartości trzech pozostałych po upływie 6 miesięcy do
spłaty rat odejmujemy wysokość ostatniej raty. Przedstawiony sposób wyznaczania zaoszczędzonej kwoty może
budzić wątpliwości, gdyż przy jego obliczaniu sumowaliśmy wysokości rat płatne w różnych momentach czasu
(więc nieporównywalne).
7. (7.32) Pożyczono 10 000 zł na pół roku. Dług należy zwrócić w dwóch równych ratach płatnych po trzecim i po
szóstym miesiącu. Wysokość każdej raty wynosi 6000 zł. Oblicz roczną stopę oprocentowania pożyczki.
Odp.: 52,26%.
Rozwiązanie
Wyznaczamy wartość czynnika dyskontującego v , dla której spełniona jest równość:
000
1
6000
6000
2
=
⋅
+
⋅
v
v
.
Rozwiązujemy równanie kwadratowe
1
:
0
10
6
6
2
=
−
+ v
v
.
Jego pierwiastkami są:
8844
,
0
12
276
6
;
0
12
276
6
2
1
=
+
−
=
<
−
−
=
x
x
.
Ze względu na wymaganą nieujemność v odrzucamy pierwszy pierwiastek i wyznaczamy oprocentowanie
odpowiadające v równemu
8844
,
0
. Rozwiązujemy równanie:
8844
,
0
1
1 =
+ p
.
Poszukiwaną wartością
p
jest
130764
,
0
, z czego wynika, że stopa oprocentowania kredytu jest równa
%)
26
,
52
(
5225
,
0
130764
,
0
4
≈
⋅
.
8. (7.29) W sprzedaży ratalnej wpłacono 20 zł jako 7% opłatę manipulacyjną. Jaka będzie wysokość równych rat
spłacanych na koniec 12 kolejnych miesięcy, jeżeli stopa procentowa wynosi 15%?
Odp.: 25,79 zł.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez
K
wysokość kredytu. Wyznaczamy jego wysokość korzystając z informacji, że 7% kredytu to 20
zł:
1
07
,
0
20
K
=
,
71
,
285
=
x
.
Miesięczne oprocentowanie kredytu wynosi
%)
25
,
1
(
0125
,
0
12
15
,
0
=
. Wysokość rat wyznaczamy z równania:
(
)
71
,
285
0125
,
1
...
0125
,
1
12
=
+
+
x
x
.
Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego otrzymujemy:
1
Podzielenie współczynników równania kwadratowego przez stałą dodatnią nie zmienia wartości pierwiastków równania.
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
4
71
,
285
0125
,
1
1
1
0125
,
1
1
1
0125
,
1
1
12
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
x
,
79
,
25
=
x
.
9. (7.10) Kredytobiorca zaciąga roczny kredyt oprocentowany na 10%, przy czym odsetki są potrącane z góry, to jest
w całości pobierane z pożyczonej kwoty przy jej wypłacie. Ponadto w momencie wypłaty kredytobiorca płaci
bankowi 3% prowizji. Cały pożyczony kapitał jest spłacany w jednej racie po roku. Obliczyć RRSO tego kredytu.
Odp.: RRSO: 0,1494 = 14,94%.
Rozwiązanie
Wysokość zaciągniętego kredytu: K .
Odsetki:
K
1
,
0
.
Prowizja:
K
03
,
0
.
Do dyspozycji kredytobiorcy (kapitał netto) pozostaje
K
87
,
0
.
Rata kredytu płatna po upływie roku: K .
Rzeczywistą stopę oprocentowania kredytu p~ (RRSO) wyznaczamy z równania:
(
)
K
K
p
=
⋅
+
⋅
~
1
87
,
0
,
%)
94
,
14
(
1494
,
0
~ =
p
.
10. (7.6) Klient zaciągnął w banku kredyt w wysokości 3000 PLN, który spłaci w dwunastu malejących ratach o
stałej części kapitałowej. Bank przy udzieleniu kredytu pobiera prowizję w wysokości 5% kwoty kredytu oraz opłatę
za ubezpieczenie kredytu równą 1,5% kwoty kredytu pomnożoną przez liczbę rat. Nominalna stopa procentowa tego
kredytu wynosi 12%. Obliczyć RRSO zaciągniętego kredytu.
Odp.: RRSO: 0,6584=65,84% .
Rozwiązanie
Wysokość jednej raty kapitałowej: 3000 : 12 = 250.
Nominalna stopa procentowa p wynosi 12%, więc odsetki w każdym miesiącu wynoszą 1% kwoty niespłaconego
kredytu.
Wyznaczamy wysokości poszczególnych rat:
R1 = 250 + 0,01·3000 = 250 + 30 = 280
R2 = 250 + 0,01·2750 = 250 + 27,50 = 277,50
R3 = 250 + 0,01·2500 = 250 + 25 = 275
R4 = 250 + 0,01·2250 = 250 + 22,50 = 272,50
R5 = 250 + 0,01·2000 = 250 + 20 = 270
R6 = 250 + 0,01·1750 = 250 + 17,50 = 267,50
R7 = 250 + 0,01·1500 = 250 + 15 = 265
R8 = 250 + 0,01·1250 = 250 + 12,50 = 262,50
R9 = 250 + 0,01·1000 = 250 + 10 = 260
R10 = 250 + 0,01·750 = 250 + 7,50 = 257,50
R11 = 250 + 0,01·500 = 250 + 5 = 255
R12 = 250 + 0,01·250 = 250 + 2,50 = 252,50
Prowizja: 0,05·3000 = 150 zł.
Ubezpieczenie kredytu: 0,015·3000·12 = 540 zł.
Pożyczony kapitał netto: 3000 – 150 – 540 = 2310 zł.
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
5
Rzeczywisty czynnik dyskontujący v~ , gdzie
1
~
1
1
~
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
p
v
,
wyznaczamy rozwiązując równanie
2
:
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
~
5
,
252
~
255
~
5
,
257
~
260
~
5
,
262
~
265
~
5
,
267
~
2705
~
5
,
272
~
275
~
5
,
277
~
280
2310
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
94799
,
0
~ =
v
.
Rzeczywista stopa procentowa
p~
zaciągniętego kredytu jest równa:
%)
84
,
65
(
6584
,
0
1
~
1
12
~
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⋅
=
v
p
.
11. (7.37) Kredyt oprocentowany 24% w stosunku rocznym ma być spłacony w dwunastu równych ratach płatnych
na koniec każdego roku. Kredytobiorca nie uregulował czterech pierwszych wpłat i przez następne osiem lat będzie
musiał spłacać raty w wysokości 3600 zł rocznie. W jakiej wysokości został zaciągnięty kredyt?
Odp.: 5209,51 zł.
Rozwiązanie
Wysokość zaciągniętego kredytu
K
wyznaczamy z równania (pierwsza rata jest płatna po 5 miesiącach):
51
,
5209
4471
,
1
3600
24
,
1
1
1
24
,
1
1
1
24
,
1
3600
3600
24
,
1
3600
...
24
,
1
3600
8
5
12
5
=
⋅
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
⋅
=
+
+
=
K
.
12. (7.16) Kredyt w wysokości L jest oprocentowany nominalną stopą procentową 5% i może być spłacany przez 20
lat za pomocą jednej z dwóch metod: stałe raty umorzeniowe albo stałe raty kapitałowe. Pierwszą ratę w każdym z
tych przypadków płaci się na końcu pierwszego roku. Wyznaczyć pierwszy rok, w którym spłata ze stałą ratą
kapitałową będzie niższa od stałej raty umorzeniowej.
Odp.: W dziesiątym roku.
Rozwiązanie
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
−
R
- rata umorzeniowa;
−
i
RK
- rata ze stałą ratą kapitałową.
Wyznaczamy wysokość raty umorzeniowej:
L
R
R
=
+
+
20
05
,
1
...
05
,
1
,
Kredyt możemy potraktować jako zwykłą rentę czasową. Z punktu widzenia pożyczkodawcy udzielony kredyt jest
funduszem rentowym, a spłaty rat kredytu dokonywane przez dłużnika - wypłatami renty. Korzystając z czynnika
dyskontującego zwykłej renty czasowej otrzymujemy
L
R
=
⋅
−
⋅
05
,
0
05
,
1
1
05
,
1
20
20
,
z czego wynika, że
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
6
L
L
R
⋅
=
⋅
−
⋅
=
8024
,
0
1
05
,
1
05
,
0
05
,
1
20
20
.
Wyznaczamy wysokość rat ze stałą ratą kapitałową:
20
,...,
1
,
05
,
0
20
1
20
20
1
=
⋅
⋅
+
−
+
⋅
=
i
L
i
L
RK
i
.
Pierwszy składnik sumy określa wysokość części kapitałowej raty, drugi - wysokość odsetek płatnych w danej racie.
Wysokość rat maleje, gdyż odsetki są płatne od zmniejszającego się w postępie arytmetycznym niespłaconego
kapitału.
Szukamy pierwszej raty ze stałą ratą kapitałową niższą od stałej raty umorzeniowej, Wyznaczamy najmniejszą
wartość i , dla której zachodzi nierówność:
L
i
L
L
⋅
⋅
+
−
+
⋅
>
⋅
−
⋅
05
,
0
20
1
20
20
1
1
05
,
1
05
,
0
05
,
1
20
20
.
Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy:
903
,
8
>
i
.
Oznacza to, że 9 (płatna w dziesiątym roku) rata ze stałą częścią kapitałową będzie mniejsza od stałej raty
umorzeniowej.
13. (7.30) Udzielono kredytu w wysokości 35 460 zł. Umowa przewiduje, że ma być on spłacony w dwóch równych
ratach po 20 000 zł płatnych kolejno po sześciu i dwunastu miesiącach. Wyznacz stopę procentową kredytu.
Odp.: 16,84%.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez r oprocentowanie pro rata (oprocentowanie między kapitalizacjami odsetek):: nominalna stopa
procentowa jest równa r
2
.
Równanie umorzeniowe przyjmuje postać:
(
)
460
35
1
000
20
1
000
20
2
=
+
+
+
r
r
.
Dokonujemy elementarnych przekształceń:
(
)
000
20
460
35
1
1
1
1
2
=
+
+
+
r
r
,
773
,
1
2
1
2
2
=
+
+
+
r
r
r
,
0
227
,
0
546
,
2
773
,
1
2
=
−
+
r
r
.
Pierwiastkami otrzymanego równania kwadratowego są:
0
546
,
3
8466
,
2
546
,
2
1
<
−
−
=
r
,
0842
,
0
546
,
3
8466
,
2
546
,
2
2
=
+
−
=
r
.
Oprocentowanie kredytu wynosi r
2
, tj.
%)
84
,
16
(
1684
,
0
0842
,
0
2
=
⋅
.
2
Metoda rozwiązywania tego rodzaju równań została krótko omówiona przy omawianiu sposobu rozwiązania
zadania 14 (7.18).
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
7
14. (7.18) Kredyt w wysokości 10 000 zł będzie spłacany za pomocą 12 rat płatnych na końcu każdego miesiąca.
Wysokość raty wynosi 850 zł. Wyznacz wysokość oprocentowania kredytu.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez p oprocentowanie nominalne: wówczas oprocentowanie pro rata (oprocentowanie między
kapitalizacjami odsetek) wynosi
12
p
.
Dla uproszczenia zapisu równanie umorzeniowe zapisujemy korzystając z czynnika dyskontującego v :
(1)
(
)
000
10
...
850
12
=
+
+
⋅
v
v
,
gdzie
(2)
12
1
1
p
v
+
=
.
W ogólnym przypadku
(
]
1
,
0
∈
v
. Z (2) wynika, że jeżeli
,
0
=
p
to
1
=
v
, natomiast dla
∞
→
p
,
0
→
v
.
Zauważmy, że
1
≠
v
. Istotnie,
000
10
200
10
12
850
≠
=
⋅
: suma w nawiasie musi być nieco mniejsza od 1. Tak więc
( )
1
,
0
∈
v
.
Równania (1) nie można rozwiązać metodami analitycznymi (nie istnieją wzory pozwalające wyznaczyć
poszczególne pierwiastki równania). Można je wyznaczyć stosując metody numeryczne.
Poszukując rozwiązań równania (1) skorzystamy z faktu, że równanie to ma jeden pierwiastek dodatni, który zawiera
się w przedziale
( )
1
,
0
.
W celu uproszczenia dalszych obliczeń dokonujemy następujących przekształceń. Zauważamy, że wartość
wyrażenia w nawiasie jest sumą skończonego ciągu geometrycznego, co pozwala zapisać (1) w następującej postaci:
(1)
000
10
1
1
850
12
=
−
−
⋅
⋅
v
v
v
,
prowadząc do równania:
(3)
0
7647
,
11
7647
,
12
13
=
+
−
v
v
.
Pierwiastek równania równy 1 odrzucamy i szukamy pierwiastka (3) zawartego w przedziale
( )
1
,
0
.Wiemy, że
istnieje tylko jeden taki pierwiastek
3
.
Oznaczmy przez
( )
v
f
lewą stronę (3). Będziemy poszukiwać przedziału, w którym znajduje się pierwiastek,
zmniejszając długość tego przedziału w kolejnych iteracjach o połowę. Dokonując wystarczająco dużej liczby
iteracji będziemy mogli wyznaczyć wartość pierwiastka z dowolną, zadaną dokładnością.
Zbadajmy znak
( )
v
f
dla
991
,
0
=
v
oraz
999
,
0
=
v
:
991
,
0
=
v
;
( )
0039642
,
0
=
v
f
,
3
Zauważmy, że równanie
0
1
=
+ v
ma jeden pierwiastek równy -1: 1, v są wyrazami ciągu geometrycznego. Stosując wzór na
sumę ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie
0
1
1
2
=
−
−
v
v
, które ma dwa pierwiastki, niemniej zbiór pierwiastków
równania
0
1
=
+
v
jest zawarty w zbiorze pierwiastków równania
0
1
1
2
=
−
−
v
v
. Rozumowanie to można uogólnić na równania
wyższych stopni. Wiedząc, że pierwiastek (1) znajduje się w przedziale
( )
1
,
0
wnioskujemy, że pierwiastek (3) znajdujący się w
tym przedziale ma tę samą wartość.
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
8
999
,
0
=
v
;
( )
0001576
,
0
−
=
v
f
.
Ponieważ przy wzroście wartości v od 991
,
0
do 999
,
0
( )
v
f
zmienia znak, w przedziale tym musi istnieć taka
wartość *
v
, dla której
( )
*
v
f
jest równe 0. Wiemy więc, że pierwiastek znajduje się w przedziale
(
)
999
,
0
,
991
,
0
.
Badamy znak
( )
v
f
dla
995
,
0
=
v
(wartości połowiącej przedział):
995
,
0
=
v
;
( )
0007382
,
0
=
v
f
.
Analizując znaki wnioskujemy, że pierwiastek zawiera się w przedziale
(
)
999
,
0
,
995
,
0
. Badamy znak
( )
v
f
dla
997
,
0
=
v
:
997
,
0
=
v
;
( )
0000116
,
0
−
=
v
f
.
Pierwiastek znajduje się w przedziale
(
)
997
,
0
,
995
,
0
. Badamy znak
( )
v
f
dla
996
,
0
=
v
:
996
,
0
=
v
;
( )
0002887
,
0
=
v
f
.
Pierwiastka szukamy w przedziale
(
)
997
,
0
,
996
,
0
. Badamy znak
( )
v
f
dla
9965
,
0
=
v
:
9965
,
0
=
v
;
( )
0001197
,
0
=
v
f
.
Badając znaki wnioskujemy, że pierwiastek znajduje się w przedziale
(
)
997
,
0
,
9965
,
0
. Badamy znak
( )
v
f
dla
99675
,
0
=
v
:
99675
,
0
=
v
;
( )
0000494
,
0
=
v
f
.
Pierwiastek znajduje się w przedziale
(
)
997
,
0
,
99675
,
0
. Kontynuując postępowanie, znajdujemy pierwiastek z
dowolną dokładnością. Zauważmy, że wartości bezwzględne
( )
v
f
są coraz mniejsze, co oznacza, że kolejne
wartości v coraz mniej różnią się od poszukiwanego pierwiastka równania.
Wyznaczmy przedział, w którym zawarte jest p . Korzystając z (2) otrzymujemy:
12
12 −
=
v
p
.
Dla
99675
,
0
=
v
,
0391
,
0
=
p
.
Dla
997
,
0
=
v
,
0361
,
0
=
p
.
Aby otrzymać p z dokładnością do 4 miejsc po przecinku, trzeba wykonać kolejne iteracje przedstawionego wyżej
algorytmu, nazywanego metodą bisekcji.
15. (7.15) Kredyt jest spłacany w równych ratach w wysokości 1500 zł płatnych na koniec każdego półrocza przez
okres 5 lat. Nominalna stopa oprocentowania wynosi i%. Znajdź wysokość tego oprocentowania wiedząc, że spłata
odsetek w ramach ósmej raty wynosi 206 zł.
Odp.: 0,1009=10,09%.
Rozwiązanie
Wyznaczamy udział spłaty odsetkowej i spłaty kapitałowej w ratach, rozpoczynając postępowanie od ósmej raty.
8 rata
Odsetki: 206.
Niespłacony kapitał (od którego płacimy odsetki):
r
206
.
Kapitał spłacony w ramach raty (rata – odsetki):
1294
206
1500
=
−
.
Kapitał do spłaty (w dwóch ostatnich ratach):
1294
206 −
r
.
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
9
9 rata
Niespłacony kapitał:
1294
206 −
r
.
Odsetki:
r
r
r
⋅
−
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
1294
206
1294
206
.
Kapitał spłacony w ramach raty:
(
)
r
r
⋅
+
=
⋅
−
−
1294
1294
1294
206
1500
.
Kapitał do spłaty (w ostatniej racie):
(
)
r
r
r
r
206
2588
1294
1294
1294
1294
206
+
−
⋅
−
=
⋅
+
−
−
.
10 rata
Niespłacony kapitał:
r
r
206
2588
1294
+
−
⋅
−
.
Odsetki:
r
r
r
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
−
206
2588
1294
.
Spłata kapitałowa + spłata odsetkowa = rata. Odpowiednie równanie przyjmuje postać:
1500
206
2588
1294
206
2588
1294
=
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⋅
−
+
+
−
⋅
−
r
r
r
r
r
.
Dokonując elementarnych przekształceń otrzymujemy:
0
206
3882
3882
1294
2
=
+
−
⋅
−
⋅
−
r
r
r
,
0
206
3882
3882
1294
2
3
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
r
r
r
.
Pierwiastkami równania są:
050474
,
0
;
9097
,
0
525
,
1
;
9097
,
0
525
,
1
3
2
1
=
−
−
=
+
−
=
r
i
r
i
r
.
Równanie to ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni (zob. komentarz 2 do zadania 6.6). Oprocentowanie nominalne
jest równe
%)
09
,
10
(
100948
,
0
050474
,
0
2
2
3
=
⋅
=
⋅ r
.
16. (7.8) Pan Kowalski chce zaciągnąć kredyt w wysokości 10 000 zł spłacany przez okres jednego roku.
W A-banku zaproponowano mu kredyt oprocentowany na 10,85%, przy czym całość odsetek od kredytu należało
spłacić z góry w chwili jego zaciągnięcia, natomiast równe miesięczne raty kapitałowe na końcu każdego miesiąca.
W banku B zaproponowano kredyt oprocentowany na 20%, a równe raty umorzeniowe należało płacić na końcu
każdego miesiąca.
Który z banków daje panu Kowalskiemu atrakcyjniejszy kredyt?
Odp.: Bank A.
Rozwiązanie
Wybór atrakcyjniejszego kredytu sprowadza się do wyboru kredytu o mniejszym rzeczywistym oprocentowaniu.
Bank A
Kapitał: 10 000 PLN.
Kapitał netto: 10 000 – 10 000·0,1085 = 9891,50 PLN.
Rata kapitałowa: 10 000/12 = 833,33 PLN.
Równanie umorzeniowe:
(1)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
r
⋅
+
−
+
⋅
=
+
+
+
+
=
12
12
12
1
1
1
33
,
833
1
33
,
833
...
1
33
,
833
50
,
9891
,
J.Marcinkowski Rachunek kredytów
10
gdzie r jest oprocentowaniem w skali miesiąca: oprocentowanie nominalne jest r równe
r
⋅
12
.
Bank A
Oprocentowanie rzeczywiste jest równe nominalnej stopie procentowej.
Wyznaczenie r wymaga zastosowania metod numerycznych. Jego dokładna wartość nie jest nam jednak potrzebna,
gdyż naszym celem jest jedynie porównanie atrakcyjności kredytów, a więc stwierdzenie, czy oprocentowanie
rzeczywiste kredytu w banku A jest mniejsze od tegoż oprocentowania w banku B.
Oprocentowanie miesięczne w banku B wynosi
0166
,
0
12
20
,
0
=
. Jeżeli
0166
,
0
<
r
to opłaca się wziąć kredyt w banku A.
W celu porównania wysokości oprocentowania w obu bankach podstawiamy miesięczną stopę procentową
obowiązującą w banku B do równania (1):
(
)
(
)
(
)
61
,
8999
7996
,
10
33
,
833
0166
,
1
0166
,
1
1
0166
,
1
33
,
833
0166
,
0
1
33
,
833
...
0166
,
0
1
33
,
833
12
12
12
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
+
+
+
+
.
Przy spadku oprocentowania r suma bieżących wartości rat umorzeniowych wzrasta. Dla
0166
,
0
=
r
wartość
bieżąca rat umorzeniowych (9149,04 PLN) jest mniejsza od kapitału netto (9891,50 PLN). Oznacza to, ze
0166
,
0
<
r
: kredyt w banku A jest bardziej atrakcyjny.
17. (7.20) Pożyczka jest spłacana za pomocą 10 malejących rat płatnych na końcu każdego roku odpowiednio w
wysokości 20, 19, 18, 17, 16, 15, ....,11 dukatów. Oblicz wysokość odsetek płatnych w piątej racie, jeśli nominalna
stopa procentowa wynosi 10%.
Odp.: 6.
Rozwiązanie
Raty tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Rata jest równa sumie spłaty kapitałowej i odsetkowej. Ponieważ
oprocentowanie jest stałe, kapitał do spłaty (a więc i rata odsetkowa) muszą zmniejszać się z raty na ratę o stałą
dodatnią - w naszym przypadku równą 1.
W ostatnie racie spłacamy pozostały do spłaty kapitał oraz odsetki od tego kapitału. Niech
10
K
oznacza kapitał
pozostały do spłaty w ostatniej, dziesiątej racie. Jego wysokość wyznaczamy z równania:
(
)
11
1
,
0
1
10
=
+
⋅
K
,
10
10
=
K
.
Wysokość udzielonej pożyczki jest równa
100
10
10
=
⋅
=
K
.
Po spłacie czterech rat, w piątej racie niespłacony kapitał jest równy
60
10
4
100
=
⋅
−
, a zapłacone odsetki -
6
1
,
0
60
=
⋅
. Łatwo sprawdzić poprawność obliczeń: wysokość raty jest równa sumie raty kapitałowej i odsetkowej,
tj.
16
6
10
=
+
, czyli tyle, ile faktycznie ona wynosi.