Przykład

Wyznaczyć impedancję Z(

ω) dwójnika pokazanego na rysunku.

R

1

L

R

2

C

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω) = [Y

2

(

ω)]

–1

Z(

ω) = Z

1

(

ω) + Z

2

(

ω)

Z

1

(

ω) = R

1

+ j

ωL [Ω]

Y

2

(

ω) = G

2

+ j

ωC [S]

C

G

L

R

Y

L

R

Z

jω

1

jω

)

ω

(

1

jω

)

ω

(

2

1

2

1

+

+

+

=

+

+

=

(

)(

)

C

G

C

G

C

G

L

R

Z

jω

jω

jω

jω

)

ω

(

2

2

2

1

−

+

−

+

+

=

( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

1

ω

ω

ω

j

ω

)

ω

(

C

G

C

L

C

G

G

R

Z

r(

ω)

j

⋅x(ω)

( )

( )

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

+

+

=

+

=

2

2

2

2

2

2

2

1

ω

ω

ω)

(

ω

ω)

(

ω)

(

j

ω)

(

)

ω

(

C

G

C

L

x

C

G

G

R

r

x

r

Z

Z(

ω)

Reaktancja x(

ω) [Ω] Charakter

impedancji

Z(

ω) [Ω]

( )

0

ω

ω

ω)

(

2

2

2

>

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

C

G

C

L

x

Indukcyjny

( )

0

ω

ω

ω)

(

2

2

2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

C

G

C

L

x

Rezystancyjny

( rezonans )

( )

0

ω

ω

ω)

(

2

2

2

<

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

=

C

G

C

L

x

Pojemnościowy

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

r

(

ω)

x

(

ω)

Z

(

ω)

α

(

ω)>0

r

(

ω)

x

(

ω)

Z

(

ω)

r

(

ω)

Z

(

ω)

α

(

ω)<0

α

(

ω)=0

Charakter

L

Charakter

R

Charakter

C

x

(

ω)=0

Trójkąty impedancji: Z(

ω) = r(ω) + j x(ω)

im

re

g

(

ω)

b

(

ω)

Y

(

ω)

β

(

ω)>0

g

(

ω)

b

(

ω)

Y

(

ω)

g

(

ω)

Y

(

ω)

β

(

ω)<0

β

(

ω)=0

Charakter

L

Charakter

R

Charakter

C

b

(

ω)=0

Trójkąty admitancji: Y(

ω) = g(ω) + j

b(

ω)

im

re

Przykład

Wyznaczyć graficznie impedancję Z(

ω) dwójnika z poprzedniego przykładu.

ωL

Z

1

(

ω)

G

2

ωC

Y

2

(

ω)

Pomocniczy trójkąt admitancji

Trójkąt impedancji

Y

2

(

ω)

ϕ

–

α

Z

2

(

ω)=[Y

2

(

ω)]

–1

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω)

im

re

1

2

3

4

+

α

„Odwracanie” admitancji

Rozwiązanie

R

1

Z(

ω)

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Zamiana postaci dwójnika znajdującego się w SUS

r(

ω)

j

⋅x(ω)

Z(

ω) = r(ω) + j

x(

ω)

g(

ω)

j

⋅b(ω)

Y(

ω) = g(ω) + j

b(

ω)

Warunek transfiguracji: Z(

ω)Y(ω) = 1

U

I

I

U

Dana jest postać szeregowa: Z(

ω) = r(ω) + j

x(

ω). Wyznaczyć postać równoległą.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

+

−

=

+

=

=

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

j

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

j

)

ω

(

)

ω

(

j

)

ω

(

1

)

ω

(

1

)

ω

(

2

2

2

2

2

2

x

r

x

x

r

r

x

r

x

r

x

r

Z

Y

Dane Wynik

Z(

ω) = r(ω) + j

x(

ω)

Y(

ω) = g(ω) + j

b(

ω)

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

−

=

+

−

=

=

+

=

2

2

2

2

2

2

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

Z

x

x

r

x

b

Z

r

x

r

r

g

Y(

ω) = g(ω) + j

b(

ω)

Z(

ω) = r(ω) + j

x(

ω)

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

−

=

+

−

=

=

+

=

2

2

2

2

2

2

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

)

ω

(

Y

b

b

g

b

x

Y

g

b

g

g

r

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład Znając postać szeregową impedancji Z(

ω) wyznaczyć jej postać równoległą Y(ω).

R

j

ωL

Z(

ω) = R + j

ωL

( )

2

2

ω

ω)

(

L

R

R

g

+

=

( )

( )

2

2

ω

ω

ω)

(

L

R

L

b

+

−

=

( )

( )

( )

2

2

2

2

ω

ω

j

ω

ω)

(

L

R

L

L

R

R

Y

+

−

+

=

Przykład

Dzielnik napięcia pokazany na rysunku znajduje się w SUS i zasilany jest napięciem sinusoidalnym:

u(t)= 6cos(

ωt + 45

°

) V;

ω= 1 Mrad/s. Wyznaczyć jego napięcie wyjściowe u

2

(t). Wyliczyć wszystkie prądy i

napięcia oraz narysować wykresy wskazowe. Dane: R

1

= 0,5 k

Ω, R

2

= 1 k

Ω, C

1

= 1 nF, C

2

=8 nF.

R

2

C

2

Y

1

(

ω)

Y

1

(ω)= [Z

1

(ω)]

–1

= G

1

+ jωC

1

[S]

Y

2

(ω)= [Z

2

(ω)]

–1

= G

2

+ jωC

2

[S]

R

1

C

1

Y

2

(

ω)

U

U

2

U

U

2

1

2

2

Z

Z

Z

+

=

U

1

I

U

U

1

1

1

U

U

2

1

1

2

1

2

2

1

2

2

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Z

Z

Z

+

=

+

=

+

=

U = 6

e

j45

°

V =

1)

j

1

(

2

3

+

V

G

1

= 2 mS, B

1

=

ωC

1

= 10

6

⋅1⋅10

–9

= 1 mS:

Y

1

= ( 2 + j1 ) mS

G

2

= 1 mS, B

2

=

ωC

2

= 10

6

⋅8⋅10

–9

= 8 mS:

Y

2

= ( 1 + j8 ) mS

(

)(

)

(

)(

)

(

)

V

2

e

j1

1

6e

j9

3

j9

3

j9

3

j1

2

6e

j9

3

j1

2

U

4

π

4

π

4

π

j

j

j

2

=

−

=

−

+

−

+

=

+

+

=

V

2

U

2

=

;

V

10

cos

2

)

(

6

2

t

t

u

=

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

NPK: U

1

+ U

2

= U:

V

3)

j

2

(

2

2

1)

j

1

(

2

3

U

1

+

=

−

+

=

mA

3)

j

2

(

2

2

U

G

I

1

1

R

1

+

=

⋅

=

mA

2)

j

3

(

2

U

jB

I

1

1

C

1

+

−

=

⋅

=

mA

2

mA

2

1

U

G

I

2

2

R

2

=

⋅

=

⋅

=

mA

2

j8

mA

2

j8

U

jB

I

2

2

C

2

=

⋅

=

⋅

=

mA

8)

j

1

(

2

I

I

I

I

I

2

2

1

1

C

R

C

R

+

=

+

=

+

=

U

U

2

U

1

I

C2

I

R2

I

I

R1

I

C1

re

im

ϕ < 0

( charakter C )

Wykres wskazowy napięć i prądów

Z

1

Z

2

Z

Trójkąt impedancji

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Przykład

W obwodzie SLS ( mostek Boucherota ) o schemacie pokazanym na rysunku wyznaczyć prąd I.

L

C

Z(

ω)

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω)

I

E

jL

ω

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω)

B

A

B

A

Z

w

(

ω)

jCω

1

jL

ω

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω)

B

A

U

0

(

ω)

jCω

1

E

U

1

(

ω)

U

L

(

ω)

I

L

I

C

jL

ω

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω)

B

A

Z

w

(

ω)

jCω

1

Obliczanie napięcia jałowego U

0

Obliczanie impedancji wewnętrznej Z

w

Metoda I ( tw. Thevenina )

2

2

1

2

1

2

1

LCω

1

Lω

j

Lω

j

1

Cω

j

1

1

)

ω

(

−

+

+

=

+

+

+

=

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Z

w

NPK: U

1

– U

L

– U

0

= 0

Z(

ω)

I

A

Z

w

(

ω)

B

U

0

Z

Z

U

I

0

+

=

w

E

LCω

1

LCω

U

E

1

LCω

LCω

E

jCω

1

jLω

jLω

)

ω

(

U

E

)

ω

(

U

2

2

2

1

1

0

2

2

L

2

1

1

1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

+

=

−

=

+

=

+

=

Z

Z

Z

Z

Z

Z

(

)

(

)

E

jLω

LCω

1

LCω

LCω

1

E

LCω

1

Lω

j

LCω

1

LCω

I

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

+

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

−

+

=

−

+

+

+

−

+

+

=

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Jeśli:

ωC

1

ωL

=

, to:

E

jCω

jLω

E

I

−

=

=

Metoda II ( PK )

Cω

1

j

Z

C

−

=

Z

L

= j

ωL ,

Jeśli:

ωC

1

ωL

=

, to:

Z

L

= – Z

C

.

PPK W

A

: I

L

= I + I

C

(*)

(*) mnożymy obustronnie przez Z

L

Z

L

I

L

= Z

L

I + Z

L

I

C

Z

L

I

L

– Z

L

I

C

= Z

L

I

Z

L

I

L

+ Z

C

I

C

= Z

L

I

E =

Z

L

I = – Z

C

I

C

L

Z

E

Z

E

I

−

=

=

E

jCω

jLω

E

I

−

=

=

Elementy sprzężone magnetycznie w SUS

L

1

L

2

i

1

i

2

u

1

u

2

M

12

= M

21

= M

dt

di

dt

di

u

dt

di

dt

di

u

2

2

1

21

2

2

12

1

1

1

L

M

M

L

+

±

=

±

+

=

U

1

= + jX

1

⋅I

1

± jX

M

⋅I

2

U

2

=

± jX

M

⋅I

1

+ jX

2

⋅I

2

gdzie: X

1

=

ωL

1

, X

2

=

ωL

2

, X

M

=

ωM.

(0,1)

k

;

L

L

k

M

2

1

∈

=

Jeśli w obwodzie SLS występują elementy sprzężone magnetycznie, to w celu
rozwiązania obwodu należy stosować metody PRĄDOWE !

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Elementy sprzężone magnetycznie mające wspólny węzeł

L

2

i

2

u

2

M

L

1

i

1

u

1

i

2

u

2

i

1

u

1

– M

u

Sprzężenie ZGODNE

Bez sprzężeń

L

2

+

M

L

1

+

M

L

2

i

2

u

2

M

L

1

i

1

u

1

i

2

u

2

L

1

–

M

i

1

u

1

+ M

u

Sprzężenie PRZECIWNE

Bez sprzężeń

L

2

–

M

Przykład

Wyznaczyć impedancję zastępczą Z dwójnika A-B pokazanego na rysunku.

L

I

1

M

L

I

I

2

C

U

R

L + M

C

R

– M

Bez sprzężeń

O

1

O

2

A

L + M

I

U

Z

=

A

B

A

B

Sposób I ( zastosowanie PK)

PPK W

A

:

I = I

1

+ I

2

NPK O

1

:

( j

ωL

I + j

ωM

I

1

) + ( j

ωL

I

1

+ j

ωM

I

) + R

I

1

= U

Cω

j

1

NPK O

2

:

( j

ωL

I

1

+ j

ωM

I

) + R

I

1

–

I

2

= 0

Powyższy układ równań należy rozwiązać tak, aby wyznaczyć impedancję

I

U

Z

=

dwójnika A-B.

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Sposób II ( zastosowanie metody eliminacji sprzężeń)

jMω

jCω

1

1

M)ω

j(L

R

1

1

M)ω

j(L

Z

−

+

+

+

+

+

=

[

]

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

+

+

+

=

Cω

1

Lω

j

R

jMω

jCω

1

M)ω

j(L

R

M)ω

j(L

Z

(

)

2

2

CMω

1

jRCω

)

LCω

1

(

M)ω

j(L

R

M)ω

j(L

Z

+

+

−

+

+

+

+

=

ITD.…

Transformacja impedancji przez sprzężenie magnetyczne

L

1

Z

1

(

ω)

Z

2

(

ω)

L

2

M

1

1′

2

2′

I

1

I

2

U

1

O

1

O

2

Z

11

′

(ω)

Transformator powietrzny

NPK O

1

:

U

1

= Z

1

⋅I

1

+ j

ωL

1

⋅I

1

– j

ωM⋅I

2

NPK O

2

:

0 = Z

2

⋅I

2

+ j

ωL

2

⋅I

2

– j

ωM⋅I

1

U

1

= ( Z

1

+ j

ωL

1

)

⋅I

1

– j

ωM⋅I

2

0 = – j

ωM⋅I

1

+ ( Z

2

+ j

ωL

2

)

⋅I

2

U

1

=

Z

11

⋅I

1

– j

ωM⋅I

2

0 = – j

ωM⋅I

1

+ Z

22

⋅I

2

gdzie:

Z

11

= Z

1

+ j

ωL

1

– impedancja własna obwodu pierwotnego;

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Z

22

= Z

2

+ j

ωL

2

– impedancja własna obwodu wtórnego.

⎪

⎪
⎩

⎪

⎪
⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

=

1

22

2

2

11

1

1

22

2

I

Z

M

ω

Z

U

I

Z

ωM

j

I

Impedancja dwójnika 1-1

′:

'

22

11

22

2

2

11

11

Z

Z

Z

M

ω

Z

Z

'

+

=

+

=

Impedancja wnoszona z obwodu wtórnego do pierwotnego:

( )

22

2

22

Z

ωM

Z

=

'

Z

1

(

ω)

1

1′

I

1

U

1

O

1

Z

11

′

(ω)

jωL

1

( )

( )

ω

jL

Z

ωM

Z

ωM

Z

2

2

2

22

2

22

+

=

=

'

Z

11

(

ω)

Impedancja wnoszona z obwodu
wtórnego do obwodu pierwotnego.

Schemat zastępczy indukcyjności sprzężonych magnetycznie

Przykład

Dobrać taką wartość pojemności C

2

aby

∠( U, I ) = 0 ( były w fazie ).

L

1

R

1

C

2

L

2

M

1

1′

2

2′

I

U

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

R

1

1

1′

I

U

Z

11

′

(

ω)

j

ωL

1

( )

ω

jL

ω

jC

1

ωM

Z

2

2

2

22

+

=

'

Z

11

(

ω

)

∠( U, I ) = 0 Î Im[Z

11

′

] = 0

( )

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

+

=

ω

C

1

ω

L

ωM

ω

L

j

R

Z

2

2

2

1

1

11

'

[0,1)

k

;

)ω

k

(1

L

1

)ω

M

L

(L

L

C

2

2

2

2

2

2

1

1

2

∈

−

=

−

=

Transformacja napięciowego źródła ( energii )

L

1

Z

w

(

ω)

Z

2

(

ω)

L

2

M

2

2′

I

1

I

2

E

0

U

2

NZE

2′

2

Z

1

(

ω)

E

NZE

1′

1

Określenie impedancji wewnętrznj Z

w

Zgodnie z uprzednimi rozważaniami:

(

) ( )

ω

jL

Z

ωM

ω

jL

Z

Z

M

ω

Z

Z

1

1

2

2

2

11

2

2

22

+

+

+

=

+

=

w

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE

Określenie napięcia źródłowego E

0

NPK dla obwodu pierwotnego ( I

2

= 0 ):

E = ( Z

1

+ j

ωL

1

)

⋅I

1

NPK dla obwodu wtórnego ( I

2

= 0 ):

U

2

= j

ωM⋅I

1

= E

0

( uwaga na początki !)

E

ω

jL

Z

ωM

j

E

1

1

0

+

=

Przykład Dla jakiej pulsacji

ω kąt ∠(E,I

2

) = 0.

L

1

Z

w

(

ω)

R

L

2

M

2

2′

I

1

I

2

E

0

2′

2

E

1′

1

U

2

C

U

2

R

I

2

R

Z

E

I

0

2

+

=

w

E

L

M

E

;

L

ωM

Cω

1

ω

L

j

Z

1

0

1

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

w

E

L

M

L

ωM

Cω

1

ω

L

j

R

1

I

1

1

2

2

2

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

)

M

L

L

(

C

L

ω

2

2

1

1

−

=

Dr inż. Jacek Czosnowski

Katedra Elektrotechniki AGH Wydział EAIiE