Egzamin z analizy matematycznej dla ekonomist´
ow, 15 czerwca 2003 r
Ka ˙zde zadanie musi by´
c napisane na oddzielnej kartce
Zaczynamy od podpisania wszystkich kartek w lasnymi danymi
:
Lewy g´
orny r´
og strony:
Prawy g´
orny r´
og strony:
nr indeksu
rok studi´
ow, nr grupy ´cwiczeniowej
Nazwisko i imie
Nazwisko osoby prowadzacej ´cwiczenia
data urodzenia: dd mm rr
Nazwisko wyk ladowcy
Wszystkie obliczenia musza by´
c umieszczone w pracy, w rozumowaniach nale˙zy powo lywa´
c sie na twierdzenia z
wyk ladu lub z ´
cwicze´
n, w przypadku stosowania twierdze´
n, kt´
ore nie wystapi ly na zajeciach, nale˙zy je udowodni´
c.
1.
Obliczy´c lim
n→∞
n
+
5
√
n
5
+ 160n
4
2n + 2
!
n
.
Ciekawostka:
lim
x→0
(1 + x)
a
− 1
x
= a
2.
Obliczy´c f
0
(−1) , je´sli f(x) =
x
(x + 1)(x + 2) · . . . · (x + 1683)
(x + 1684)(x + 1685) · . . . · (x + 1863)
.
3.
Niech f (x) =
3
r
(x
2
− 2)(x
2
− 1)
2
x
2
.
Mamy f
0
(x) =
4
3
(x
4
− x
2
− 1) x
2
− 2
−2/3
x
2
− 1
−1/3
x
−5/3
oraz f
00
(x) =
4
9
x
8
− 8x
6
+ 20x
4
− 25x
2
+ 10
(x
2
−2)
−5/3
(x
2
−1)
−4/3
x
−8/3
. Pierwiastkami wielomianu x
4
−x
2
−1 sa dwie liczby
rzeczywiste: x
1
≈ −1,27 , x
2
≈ 1,27 oraz dwie nierzeczywiste, pierwiastkami wielomianu x
8
−8x
6
+20x
4
−25x
2
+10
– liczby x
3
≈ −2,20 , x
4
≈ −0,82 , x
5
≈ 0,82 , x
6
≈ 2,20 oraz cztery liczby nierzeczywiste. W jakich punktach
funkcja f jest r´
o˙zniczkowalna (tzn. ma sko´
nczona pochodna I rzedu)? Znale´z´c przedzia ly, na kt´
orych funkcja
f
maleje, na kt´
orych ro´snie, na kt´
orych jest wypuk la, na kt´
orych jest wkles la. Obliczy´c granice funkcji f przy
x
−→ ∞ , przy x −→ −∞ , przy x −→ 0
−
, przy x −→ 0
+
oraz granice f
0
w ko´
ncach przedzia l´
ow, na kt´
orych
funkcja f jest r´
o˙zniczkowalna. Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .
4.
Obliczy´c
Z
ln π
−∞
e
3x
sin 2x dx .
5.
Obliczy´c lim
x→0
cos(x
√
2) + tg (sin
2
x
) − cos x
2003
x
+ ln(1 − sin x)
· (x + x
2003
)
2
wiedzac, ˙ze
kolejnymi pochodnymi funkcji tangens w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , 2 , 0 , 16 , 0 , 272 , . . . ,
kolejnymi pochodnymi funkcji sinus w punkcie 0 sa liczby: 1 , 0 , −1 , 0 , 1 , 0 , −1 , . . .
kolejnymi pochodnymi funkcji ln w punkcie 1 sa liczby: 1 , −1 , 2 , −6 , 24 , −120 , 720 , . . .
6.
Za l´
o˙zmy, ˙ze a, b > 0 . Wykaza´c, ˙ze (2 −
√
3)a
2+
√
3
+ (2 +
√
3)b
2−
√
3
≥ 4
4
√
ab
.
7.
Znale´z´c gradient funkcji f okre´slonej wzorem (2 + tg
2
x
)
sin(2 ln(√
y))
w punkcie (
π
4
, e
π/2
) .
8.
Zdefiniujmy zbiory A i B wzorami A = {(x, y, z):
2x + 3y − 4z = 1 i 2 < x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3} ,
B
= {(x, y, z):
2x + 3y − 4z = 1 i x
2
+ y
2
+ z
2
= 3} . Znale´z´c podprzestrzenie styczna i prostopad la w punkcie
(1, 1, 1) do zbioru B (podprzestrze´
n w tym przypadku oznacza prosta lub p laszczyzne). Dla ka˙zdego ze zbior´
ow A
i B rozstrzygna´c, czy jest on:
ograniczony, wypuk ly, otwarty, domkniety, zwarty.
9.
Niech A = {(x, y, z):
5x
2
+ 5y
2
− z
2
= 0 i x + 2y + 3z = 20} . Znale´z´c kresy g´orny i dolny funkcji f zdefiniowanej
wzorem f (x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
na zbiorze A . (W badaniu ograniczono´sci zbioru A moga pom´
oc nier´
owno´sci:
|x + 2y| ≤
√
5
px
2
+ y
2
, 20 ≥ 3|z| − |x + 2y| ).
10.
Niech f (x, y) = 2e
y
− x
3
− 2x
2
+ x
2
+ 6x
5
+ 15x
4
− 10x
3
− 30x
2
. Znale´z´c wszystkie punkty, w kt´
orych gradient
funkcji f jest wektorem zerowym i wyja´sni´c, w kt´
orych z nich funkcja ma lokalne minima, w kt´
orych lokalne
ekstrema, a w kt´
orych lokalnego ekstremum nie ma. Znale´z´c kresy funkcji f na p laszczy´znie. Informacja:
∂f
∂x
(x, y) =
2 − 3x
2
− 4x + 1
2e
y
− x
3
− 2x
2
+ x
+ 30x(x
2
− 1)(x + 2) ,
∂f
∂y
(x, y) = 4e
y
2e
y
− x
3
− 2x
2
+ x
.
Uwaga: w sformu lowaniu przekazanym studentom w trakcie egzaminu w zadaniu trzecim by l b lad, poda lem, ˙ze
wielomian x
4
−x
2
−1 ma cztery pierwiastki rzeczywiste. Ten b lad zosta l zauwa˙zony przez jednego z koleg´ow prowadzacych
´
cwiczenia. Studenci, kt´
orzy sporzadzili wykres zgodny z podanymi danymi beda mie´
c zaliczone punkty, to oczywiste.
Niestety ten wykres nie mo˙ze by´
c w pe lni zgodny z danymi, bo to po prostu nie istnieje funkcja o takim rozk ladzie
pierwiastk´
ow pierwszej i drugiej pochodnej, okre´
slona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych r´
o˙znych od zera. Oznacza
to, ˙ze sporzadzenie wykresu bedzie ni˙zej punktowane ni˙z planowano, wiecej punkt´
ow otrzymaja studenci za cze´
s´
c wstepna,
znalezienie granic, przedzia l´
ow monotoniczno´
sci itd. Studenci, kt´
orzy maja ochote przedyskutowa´
c punktacje moga to
uczyni´
c w ´
srode po 14, 18 czerwca, ile po 14 to nie jest jasne, najpierw zostana wpisane oceny tym, kt´
orzy pragna
jedynie wpisu.